第六章 定积分的应用 第一节：定积分的元素法 第二节：定积分在几何上的应用 第三节：定积分在物理上的应用

第一节 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 二、如何应用定积分解决问题 (L.P184)

回顾 曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由 及直线 所围成． 连续曲线 分割 近似 求和 取极限

问题：什么样的量可以用定积分表示？ 当所求量 符合下列条件： 的变化区间 1) 是与一个变量 有关的量； 为许多部分量 对于区间 具有可加性，也即：如果把 若将 分成许多部分区间，则 相应地分 而 等于所有部分量之和； 2) 3) 可以考虑用定积分来表示

问题：如何将 U 用定积分表示？ 一般步骤： 1) 根据问题的具体情况，选取一个变量，例如 作为积分变量，并确定它得变化区间 2) 设想把区间 分成 个小区间，取其中任意 一个小区间并记为 求出相应于这个小 区间的部分量 的近似值， 如果 量U的元素 记

3) 以所求量 的元素 为被积表达式，在 区间 上作定积分，得 所求量 的积分表达式. 即为 这个方法通常称为元素法． 应用方向： 　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力等．

定积分在几何学上的应用 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 四、 旋转体的侧面积 (补充)

一、平面图形的面积 1. 直角坐标系情形 曲边梯形的面积： 平面图形的面积：

例1. 计算由两条抛物线 和 所围成的 图形的面积 解 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素

例2. 计算由曲线 和 所围成的 图形的面积 解 两曲线的交点 选 为积分变量

于是所求面积 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 积分变量只能选 吗？

例3. 计算由曲线 和直线 所围成的 图形的面积 解 两曲线的交点 1. 选 为积分变量， 2. 选 为积分变量，

例4. 求椭圆 的面积. 解 由对称性知总面积等于 4 倍第一象限部分面积． 椭圆的参数方程

如果曲边梯形的曲边 　　　　　 由参数方程： 给出， 那么曲边梯形的面积 其中 在　　　或　　　上， 具有连续导数， 连续.

2. 极坐标系情形 设由曲线　　　　 及 围成一个曲边扇形, 射线 和 其中： 在 上连续， 且 面积元素： 曲边扇形的面积 求该曲边扇形的面积.

例5. 求双扭线 所围平面图形的面积. 解 由对称性知总面积= 4*第一象限部分面积

例6. 求心形线 所围平面 图形的面积. 解： 利用对称性知

二、体积 1. 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线 旋转一周而成的立体．这直线称为旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台

o y x 一般地，如果一个旋转体是由连续曲线 直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴 旋转一周而形成的立体，那么可用元素法求体积. 直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴 旋转一周而形成的立体，那么可用元素法求体积. 选 为积分变量 x y o 体积元素： 旋转体的体积为:

围成一个直角三角形．将它绕 轴旋转 例7. 连接坐标原点 及点 的直线与 轴及 直线 构成一个底半径为 高为 计算圆锥体 的圆锥体， 的体积． 直线 的方程为 解：

例8. 求星形线 绕 轴旋转构成 的旋转体的体积. 解 旋转体的体积：

类似地，若旋转体是由连续曲线 轴， 及直线 和 所围成的曲边梯形绕 轴旋转 一周而成的立体， 则 y +dy y

例9. 求摆线 的一拱 与 轴所围成的图形分别绕 轴， 轴旋转所形成 的旋转体的体积 解：绕 轴旋转

例9. 求摆线 的一拱 与 轴所围成的图形分别绕 轴， 轴旋转所形成 的旋转体的体积 解：绕 轴旋转

补充(柱壳法): 若旋转体是由连续曲线 直线 及 轴 所围成的曲边梯形绕 轴 旋转一周而形成的立体， 则

例9. 求摆线 的一拱 与 轴所围成的图形分别绕 轴， 轴旋转所形成 的旋转体的体积 解：绕 轴旋转， 利用柱壳法

例10. 求由曲线 及 所围成的图形绕 直线 旋转所构成的旋转体的体积. 解：取积分变量为 体积元素为

例10. 求由曲线 及 所围成的图形绕 直线 旋转所构成的旋转体的体积. 解：取积分变量为

2. 平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 表示过点 且垂直于 轴的 截面的面积， 为 的已知连续函数 立体体积

并与底面交成角 计算该平面截圆柱体所得立体 例11. 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心， 的体积. 解 取坐标系如图 底圆方程为 垂直于 轴的截面为直角三角形. 截面面积 立体体积

直径的线段为顶， 高为 的正劈锥体的体积. 例12. 求以半径为 的圆为底，平行且等于底圆 解 取坐标系如图 底圆方程为： 垂直于 轴的截面 为等腰三角形. 截面面积 立体体积

三、平面曲线的弧长 1. 平面曲线弧长的概念 设 是曲线弧上的两个端点， 在弧上插入分点 并依次连接相邻分点得到一内接折线, 折线的长: 记： 若 存在， 则称此极限为曲线弧的弧长。 并称弧AB是可求长的.

定理 光滑曲线弧是可求长的. 闭区间 上的连续曲线 是否一定可求长？ 不一定．仅仅有曲线连续还不够， 必须保证曲线光滑才可求长．

2. 直角坐标情形 其中 在 上具有一阶连续导数 . 设曲线弧为 以小切线段的长代替小弧段的长 弧长元素 弧长

例13. 计算曲线　　　　上相应于　 从　到　的　 一段弧的长度． 解 所求弧长为

例14. 计算曲线　　　　　　　的弧长 解

3. 参数方程情形 曲线弧为 其中　　　　 在　　　上具有连续导数． 弧长

例14. 求星形线　　　　　　　 的全长. 解 星形线的参数方程为

例15. 证明正弦线　　　　　　　　　 的弧长等于 椭圆 的周长. 证 设正弦线的弧长为 设椭圆的周长为 根据椭圆的对称性知 故原结论成立.

4. 极坐标情形 曲线弧为 其中， 在 上具有连续导数. 弧长

例16. 求极坐标系下曲线　　　　　 的全长. 解

例17. 求阿基米德螺线 　　　　　 上相应于 从 0 到 的弧长. 解

o 四*、旋转体的侧面积 y x 如果一个旋转体是由光滑曲线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而 形成的立体，如何求其侧面积？ 直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而 形成的立体，如何求其侧面积？ 直线 x y o 旋转体的侧面积:

例18. 求半径为 的球的表面积. x y O R 解

内容小结 1. 平面图形的面积 在直角坐标系下 参数方程形式下 极坐标系下 （注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）

2. 体积 (1) 旋转体的体积 绕 轴旋转一周 绕 轴旋转一周 绕平行于坐标轴的直线旋转一周 (2) 平行截面面积为已知的立体的体积

3. 平面曲线的弧长 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 旋转体的侧面积:

思考题 设曲线 过原点及点 且 为单调 函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两 坐标轴的平行线，其中一条平行线与 轴和曲线 坐标轴的平行线，其中一条平行线与 轴和曲线 函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两 设曲线 过原点及点 且 为单调 围成的面积是另一条平行线与 轴和曲线 围成的面积的两倍，求曲线的方程.

思考题解答 x y o 两边同时对 x 求导得到： 曲线过点 单调

思考题 轴旋转构成旋转体的体积. 求曲线 所围成的图形绕 轴 交点

作 业 P284 2(1,3), 4, 5(3), 8(2), 12, 15(1,4), 22, 30. 作业提交时间：2013年1月2日上午10:00AM