第三章 图像变换 图象变换可以看成是一幅图象经过一个系统生成的结果：f(x,y) → h(x,y) → g(x,y)。 如果系统h(x,y)满足一定的条件：齐次性、可加性和时不变性，就成为了线性时不变系统。一般而言，都将图像处理系统看成为线性时不变(位置不变)系统。 于是，可将图像变换看成是图象经过一线性位置不变系统的结果。所有线性系统理论都可以拿来使用。 图像变换是将图像从空域变换到其它域，如频域。 图像变换需满足某些条件。

图象处理——通过某种方法将数字图象中的象素进行改变，以达到预期效果。 通常，图象处理在以下三个域中进行： 空域处理：利用某种方法直接对数字图象中的象素进行修改。 频域处理：将空域图象经过傅立叶变换，使其成为“频域图象” ，而后对其各个频率成分进行处理；处理完成后，将 “频域图象” 图象经过傅立叶反变换为空域图象。 其它域处理：空域图象经过某种变换，使其成为“对应域图象” ，而后进行相应处理；处理完成后，将 “对应域图象” 图象经过对应反变换为空域图象。

图象为什么要变换 利用变换的某些性质，可以大大简化或加速图象处理过程 空域图象经过变换后形成 “对应域图象”，从中会看到在空域图象中不易看到的某些“东西”。 变换后形成 “对应域图象”，会呈现某些性态，利用这些性态可完成图象处理中某个应用领域的应用。 应选择什么样的变换才能满足各种要求是下面要讨论的主要问题之一。

变换选择的原则 1)变换必须是可逆的。 2)变换不能损失信息。 3)变换必须是有好处的。 4)变换算法必须是不复杂的。 G(i,j) = I f(x,y) → f(x,y) = I-1 G(i,j) 虽然满足1、2、4条件，但不满足第三条。

一、一维变换 1、正交函数集合的正交性和完备性 设：一维连续实值函数集合un(t)={u0(t),u1(t),u2(t)…}， 若此集合中的函数满足 时，称集合un(t)为正交函数集合。当C=1时，称集合un(t)为归一化正交函数集合。 从几何的观点来看正交性——相互垂直 例如： un(t) ={sin(Ωt)、 sin(2Ωt) 、 sin(3Ωt) 、 sin(4Ωt)、… cos(Ωt)、 cos(2Ωt) 、 cos(3Ωt) 、 cos(4Ωt)、……} —— 傅立叶级数中的函数族

任何一个满足条件的函数都可以由一个函数簇的加权和来逼近 若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号，可以用展开式表示为： 对任何平方可积的分段连续信号f(x)，对任意小的ε＞0，存在充分大的N和有限项展开式 使得 任何一个满足条件的函数都可以由一个函数簇的加权和来逼近 则称函数un(x)集合是完备的。 如果能够找到一组正交且完备的函数集合，则任何平方可积的分段连续信号f(x)都可由这个函数集合的加权和表示。这N个函数构成了N维正交基。

对上述一维连续实值正交函数集合un(t)进行等间隔采样，可以看作是下列向量的集合： 2、离散情况 对上述一维连续实值正交函数集合un(t)进行等间隔采样，可以看作是下列向量的集合： 若它们彼此正交，则向量的元素应满足下式： 矢量的点积 自点积＝常数 互点积＝0 当C=1时，称归一化正交，每一向量为单位向量，彼此垂直。这n个矢量构成了n维空间的n维正交基。

用满足上式的n维正交基矢量组成矩阵 一定满足： 该矩阵称为正交矩阵。

3、一维正交变换 利用上述矩阵对任一数据向量f进行运算为： g = Af 例 若要恢复f，则 以上过程称为正交变换。 正变换：将任意一个矢量分解成为一个由该矢量投影在给定正交基上的分量组成的矢量。 反变换：将任意一个由给定正交基上的分量组成的矢量合成为空间矢量。

4、酉变换 若A为复数方阵，正交的条件为： 其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉矩阵。对于任意向量f用酉矩阵的变换和恢复称为酉变换。将aij写成a(k,n)，有： 正交函数数字化后完备性的体现形式——任何一个矢量可以分解成正交投影的线性组合。

二、二维变换 与一维的思想一样，设：二维连续实值函数集合 Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y), a0,2(x,y), … a0,v(x,y), a1,0(x,y), a1,1(x,y), a1,2(x,y), … a1,v(x,y) … … … … … … … au,0(x,y), au,1(x,y), au,2(x,y), … au,v(x,y)} 若此集合中的函数(U×V个)满足 时，称集合Au,v(x,y)为正交函数集合。当C=1时，称集合Au,v(x,y)为归一化正交函数集合。

对正交函数集合的理解 u=0,1,…,m-1 v=0,1,…,n-1 在对应交叉点上定义了au,v(x,y) 对每一个au,v(x,y)在x,y方向上采样 u=0,1,…,m-1 v=0,1,…,n-1 v 1 2 4 3 5 u 在对应点上定义了un(t) 对每一个un(t)在t方向上采样 1 2 4 3 5 n 如果对正交函数集合auv(x,y)在某个给定区域内等间隔采样，则每个aij(x,y)就是一个矩阵，其元素值既和x、y有关，又和i、j有关。则这u×v个矩阵构成了u×v维空间的u×v维的正交基。

结论: 如果能够找到一组正交且完备的函数集合au,v(x,y) ，则任何平方可积分段连续的二维函数f(x,y)——图像，都可由这个函数集合的加权和表示。如果f(x,y)以离散形式( m×n矩阵)表示——数字图像，该数字图像f(x,y)可分解为在m×n维正交空间内，在m×n维正交基au,v(x,y)上的投影。同一维情况类似，有： 正变换：将任意一个数字图像分解成为一个由该图像投影在给定正交基上的分量组成的图像。 反变换：将任意一个由给定正交基上的分量组成的图像合成为空域图像。

则：有下式(设f(x,y)为一N×N维矩阵) 1、二维变换 将上式写成 如果矩阵为正交复数矩阵且是对称的 则：有下式(设f(x,y)为一N×N维矩阵) au,v(x,y) 空域图像点 正变换核(逆基图像) 反变换核(基图像)

＝∑ 二维变换的理解 F(u,v)中的任何一个像素为原图像所有像素的加权和。 F(0,0)为f(x,y)在u×v维正交基a0,0(x,y)分量上的投影。 f(x,y) a0,0(x,y) F(0,0) 对应点 积 之和 F(u,v) F(u,v) f(x,y) a*u,v(x,y)－基图像 加权和 ＝∑

AA*T=ATA*=I BB*T=BTB*=I A-1=A*T B-1=B*T 2、变换核的可分离性 上述f(x,y)、F(u,v)的计算所需的乘法和加法的次数是与N×M有关的数。如果u×v维空间的正交基ai,j(x,y)可以写成： —— 一个二维完备正交基＝两个一维完备正交基之积 其中{au(x), u=0,1,…,N-1}, {bv(y), v=0,1,…,N-1}为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示： A={a(u, x)}，B={b(v,y)} 通常选择A=B ，如果A、B是复数矩阵则它们为酉阵： AA*T=ATA*=I BB*T=BTB*=I A-1=A*T B-1=B*T 则称该正交基——变换核是可分离的。

例如 设：二维连续实值函数集合，U＝V＝N Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y), a0,2(x,y), … a0,v(x,y), a1,0(x,y), a1,1(x,y), a1,2(x,y), … a1,v(x,y) … … … … … … … au,0(x,y), au,1(x,y), au,2(x,y), … au,v(x,y)} 对集合内的每个函数沿x，y方向进行等间隔采样，采样点数为N×N，于是集合中的每一个函数都成为一个N×N的矩阵。

可分离变换核举例(采样网格为行、列数相等) 矩阵中的任何一项都可写成可分离形式。例 于是对于一个图像的变换可以写成

当A=B且为方酉阵时，二维酉变换的正变换表示为 用矩阵表示： F＝A f AT 反变换表示为 用矩阵表示： f＝A*TFA* 类似的，对于M×N的二维函数f(x,y) 行变换 列变换 对一幅图像的变换可以先对其列进行变换，然后在对行进行变换；反之亦然。

F(u,v) ——权因子，对于N×N的数字图像f(x,y)可以用N2个基图像的加权和来表示。 反变换 ——看成是基图像(随着u、v变化) F(u,v) ——权因子，对于N×N的数字图像f(x,y)可以用N2个基图像的加权和来表示。 可以看作一矩阵 则图象f可表示成 F(u,v)是f在各基图象 上的投影。 au* av*T ＝ 如果基图像是可分离的

A-1=A*T AA*T=A*TA=IN×N 三、酉变换的性质(设变换阵为方阵) 1、酉矩阵是正交阵。 A-1=A*T AA*T=A*TA=IN×N 2、A为酉阵，则A-1和AT都是酉阵。 3、酉变换是能量保持变换——帕斯瓦尔定理。 对于一维酉变换F=Af, 有||F||=||f|| ( ||f||=tr(fTf) ) 在二维情况下，有帕斯瓦尔定理： 帕斯瓦尔定理告诉我们：正交变换后的图像能量保持不变。

4、均值和方差 设f(x,y)的均值和协方差为μf和Σf，则F(u,v)的均值为： 则F(u,v)的协方差为： 变换图像阵的协方差 ＝图像协方差阵的变换 5、 其他性质： (1) A为酉阵，则其行列式值|A|=1 (2) 若a为向量，则作酉变换后向量模保持不变 b=Aa，则|b|=|a|。 *酉变换前后信息是保持的——帕斯瓦尔定理 变换图像阵的均值 ＝图像均值阵的变换

酉变换、正交变换与信号分析 正交变换是酉变换的特例。 它们都可以用于信号分析。 任何用于信号分析的基函数集合和变换矩阵都应满足正交性和完备性。

log(Y)=log(X)-log(Z) 四、傅立叶变换和性质 1、傅立叶变换分析的基本概念 变换分析：变换分析的基本目的之一是使问题的分析求解得到简化。 问题 Y=X/Z 变换 log(Y)=log(X)-log(Z) 复杂的分析 普通笔算除法 简化的分析 查表和相减 问题的解 逆变换 查反对数表

把一个信号的分解为许多不同频率的信号之和。 傅立叶变换分析的直观说明 把一个信号的分解为许多不同频率的信号之和。 傅立叶 变换 u F(u) 自然光 光谱 三棱镜

通常把分解后的各个频率的振幅和频率用一张图表示出来(对周期信号而言)。 傅立叶变换分析的图形表示 通常把分解后的各个频率的振幅和频率用一张图表示出来(对周期信号而言)。 频率 幅值 1 -f f 2f -2f 傅立叶变换：把一个自变量定义于-∞到+∞的函数变换为频率定义于-∞到+∞的函数。

设f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为： 2、一维连续傅立叶变换 设f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为： 从F(u)恢复f(x)称为傅立叶反变换，定义为： 傅立叶提供的正交函数族 实函数的傅立叶变换 ，其结果多为复数，表示为： F(u)=R(u)+jI(u)=|F(u)|exp[jΦ(u)] 幅度谱： 相位谱：

傅立叶变换的四种形态 时 域 x(t) 频 域 X(u)

3、一维离散傅立叶变换(DFT) 离散傅立叶级数 出发点：任何一个连续周期为T1的函数fp(x)都可以写成简单三角函数的线性组合 利用正交性和欧拉公式可将上式写成指数形式的傅立叶级数

对fp(x)进行采样，采样周期为T 定义数字角频率ω1(弧度)，采样区间内的变化弧度为ω1＝Ω1△x (弧度/秒×秒) 另外Ω1＝2π/ T1。设 T1=N△x、采样周期(宽度)△x =1，所以有ω1＝ 2π/N有 当u变化一个N的整倍数uN时，复指数项是一个周期函数，且周期同fp(n)。

既然是周期序列，就可以用一个周期表示该序列 如果将任意有限长序列看成是周期序列的主值区间,则任意有限长序列均可如此表示。 定义：一维离散傅立叶变换为 反变换为： 采样后的 正交矢量 幅度谱： 相位谱： 功率谱：

傅立叶变换前为什么差一个系数 ？ 根据傅立叶变换对的定义有： 傅立叶变换正交性验证： 据等比级数公式，N项和Sn=(a1(1-qn))/(1-q)。有：

当r=u时，由展开式可知，和式＝N 当r≠u时，根据欧拉公式，由式***分子项，可知：和式＝0。 为了保证变换前后能量的一致，要求变换不仅是正交的，也应是归一化的。因此，在变换式前面乘以系数1/N。 在使用正交变换对时，归一化系数可以写在正变换公式中，也可以写在反变换公式中，也可以用其开方值分别写在两个变换公式中。

4、二维傅立叶变换 二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来： 逆变换： F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v) =|F(u,v)|exp[jΦ(u,v)] 幅度谱： 相位谱： 功率谱：

5、二维离散傅立叶变换 对于二维傅立叶变换，其离散形式为： 逆变换为： 幅谱(频谱)、相位谱、功率谱： 谱图像

二维傅立叶变换实例图 由反变换公式 可知基图像为 若图像为4×4，则基图像为

v → 0 2 3 4 y → 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 u x ↓ ↓ W ★ B 0 1 2 3 二 维 傅 里 叶 基 图 像 ★ = -j W = 1 B = -1 0 = j 0 1 2 3 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 3

6、二维离散傅立叶变换的性质 1)、 线性性质： 2)、比例性质： 3)、 可分离性：

4)、空间位移： 5)、频率位移： 图像中心化：当u0=v0=N/2时， 6)、周期性： 7)、 共轭对称性： 8)、 旋转不变性： 9)、 平均值：

10)、卷积定理(连续)：如果函数 y(t) 满足下列关系式 则称函数 y(t) 为函数 x(t) 和 h(t) 的卷积。 有 f(x,y)*g(x,y) <=> F(u,v)G(u,v) f(x,y)g(x,y) <=> F(u,v)*G(u,v) 卷积积分的图解表示： f(z) z g(z) 1/2 1 1

* 卷积积分的图解表示 g(- z) z 1/2 -1 折迭 位移 g(x-z) x 1 f(z) z g(x-z) x y(x) 积分 1

卷积定理(离散) 离散卷积的定义 :由下面的求和公式给出 这里，fe(x) 和 ge(x) 都是周期为 M 的周期函数。 离散卷积的表示和连续函数的卷积一样，离散卷积通常写作: ye(x)=xe(x)* ge(x) 。 如果f(x)序列的周期为A， g(x)序列的周期为B，其卷积周期M应大于或等于A+B-1时，卷积周期才不会重叠。即：M≥A+B-1。

有限长波形的离散卷积：仍考虑前面的两个连续函数 离散卷积的图解表示 有限长波形的离散卷积：仍考虑前面的两个连续函数 z 1 f(z) g(z) z 1/2 1 1/2 2 x y(x) fe(m) A=6 M=9 1/2 m ge(m) B=6 M=9 2 m ye(m) M=9 m 不满足卷积周期的关系，卷积结果会产生混叠。

满足卷积周期的关系，卷积结果不会发生混叠。 卷积周期的关系满足：M ≥ A+B-1——线性卷积 xe(m) m A=6 M=11 1 1/2 m ge(m) B=6 M=11 1 x ye(x) M=11

* 11)、相关定理 两个函数相关的定义： 其中，f*(x) 为 f(x) 的复共轭。 g(-z) z 1/2 -1 折迭 g(x+z) f(z) z 1 x 1 y(x) -1 x 积分 位移 g(x+z) z 1/2 x 1 f(z) z *

二维函数的卷积 二维连续函数卷积定义： 二维离散函数卷积定义： 如果f(x,y)图象的x方向的周期为A， y方向的周期为B；g(x,y)图象的x方向的周期为C， y方向的周期为D；其卷积结果f(x,y) x方向的周期M大于或等于A+C-1， y方向的周期N应大于或等于C+D-1时，卷积周期才不会重叠。

相关定义(离散) 二维连续函数相关定义： 二维离散函数相关定义： 相关定理 互相关：f(x,y)⊙g(x,y) <=> F(u,v)G*(u,v) f(x,y)g*(x,y) <=> F(u,v)⊙G(u,v) 自相关：f(x,y)⊙f(x,y) <=> |F(u,v)|2 |f(x,y)|2 <=> F(u,v)⊙F(u,v)

12)、帕斯瓦尔定理——能量定理 也就是说，在时域中计算的波形 h(t) 的能量等于在频域中计算的 H(F) 的能量。 帕斯瓦尔定理的离散形式表达：

五、由采样重建图象 问题的提出： 连续时间信号先要在时间和幅度上进行离散化后才能被计算机处理 。同理，连续图象信号也首先要在时间和幅度上进行离散化后才能被计算机处理 。 为了达到对原来连续时间信号或连续图像信号较好的近似，或者说要使经采样后得到的离散数字信号或数字图象不失真，需要多大的采样率？是不是越高越好？最低不能低于多少？

1、抽样定理 如果函数 f(x) 在 x=T 处连续，则函数 f(x) 在时间 T 的一个样本表示为： 函数的抽样波形：如果函数f(t) 在 x=nT =nΔx，n＝0，1，2… 处连续，则称 为 f(x) 函数的抽样波形。 函数的抽样波形是一个等间隔的无限脉冲序列，每一个脉冲的幅度就等于函数f(x) 在脉冲出现时刻的值。定义： 为采样函数。

实际上就是连续函数 f(x) 和脉冲序列 s(x)的乘积。 函数的抽样波形 实际上就是连续函数 f(x) 和脉冲序列 s(x)的乘积。 f(x)s(x) x f(x) x 相 乘 s(x)周期函数 s(x) x 复指数的傅立叶变换

应用频率的卷积定理，连续函数 f(x) 和脉冲序列的乘积就等于频域中两个函数的傅立叶变换的卷积的傅立叶逆变换。 函数的抽样后的频域波形 应用频率的卷积定理，连续函数 f(x) 和脉冲序列的乘积就等于频域中两个函数的傅立叶变换的卷积的傅立叶逆变换。 卷 积 逆变换 -fc fc S(u) F(u) F(u) S(u) -1/Δx u 1/Δx

混迭效应 如果时域的抽样间隔时间太大，则等距脉冲序列 f 的间隔太小，它们与频率函数 F(u) 的卷积就产生了波形的相互重迭，抽样后函数的傅立叶变换的这种畸变称为混迭效应。 F(u) F(u) S(u) 逆变换 -fc fc u 卷 积 S(u) u u

函数 f(x) 的傅立叶变换(即F(u))的最高频率称为截止频率。如下面 (a) 图所示，其中的 fc 即为截止频率。 S(u) (b) u 避免混迭效应：如果抽样间隔 T 等于截止频率倒数的一半，混迭效应就不会出现。此时，脉冲序列 S(u) 的间隔为 2fc ，如上面 (b) 图所示。

1)、要保证信号信息不丢失对于比 fc 高的频率，f(x) 的傅立叶变换必须为零(带限)。 结论——抽样定理的两个条件 1)、要保证信号信息不丢失对于比 fc 高的频率，f(x) 的傅立叶变换必须为零(带限)。 -fc fc F(u) u 2)、抽样间隔选择为 T=1/2fc。这是使抽样定理成立的最小抽样间隔。 2fc 称为奈奎斯特采样频率。

函数的恢复——从频域恢复 f(x) x F(u) S(u) 逆 变 换 u F(u) 相 乘 H(u) -fc u -fc fc u

函数的恢复——从时域恢复 f(x) f(x)s(x) 在采样点上复制h(x) x x 卷 积 h(x) H(u) -fc u x

结论：在频域中处理经截断后的信号，不可能完全恢复原信号状态；但是能够恢复截断部分的采样信号。 2、有限区间函数的采样与恢复 f(x)s(x) H(u)*[F(u)*S(u)] 混迭 效应 K x u h(x) H(u) 1 u X x 结论：在频域中处理经截断后的信号，不可能完全恢复原信号状态；但是能够恢复截断部分的采样信号。

频域采样 s’(x) x - 1/u 1/u S(u) u u G(u)*[F(u)*S(u)] 混迭 效应 f(x)s(x) K

将有限区间的采样看成是周期函数采样值的主值区间 有限区间函数采样值的恢复 [f(x) s(x)] *s’(x) x T u F(u)*S(u) 将有限区间的采样看成是周期函数采样值的主值区间 结论：离散周期函数的傅立叶变换是离散周期函数

式中Δx和Δy为x、y两个方向的采样间隔，上式为脉冲函数δ(x, y)沿x、y两个方向的展开。 3、二维连续图像信号的采样 设图像f (x, y)是一连续二维信号，其空间频谱F(fx, fy)在x方向具有截止频率fxc，在y方向具有截止频率fyc。所谓采样是对f (x, y)乘以空间采样函数： 式中Δx和Δy为x、y两个方向的采样间隔，上式为脉冲函数δ(x, y)沿x、y两个方向的展开。 频域图形 ？

二维奈奎斯特(Nyquist)条件 经过采样以后所得的信号为： 只有在iΔx和jΔy的采样点上，fs才有数值。 为使采样以后的信号fs(Δx, Δy)能完全恢复原来连续信号f (x, y)，采样间隔和Δx和Δy就必须满足在x和y方向的采样频率必须大于图像在x和y方向最高频率的两倍。 这是一维空间采样的Nyquist条件在二维空间的重现。

二维信号重建 同样把一维重构公式推广到二维情况： 二维sinc函数的图形表示 原始图像

六、快速傅立叶变换 需要N次复数乘法，N-1次复数加法。因此总共需要N2次复数乘法，N(N-1)次复数加法。1965年，Cooley和Tukey提出快速算法，算法时间复杂度为Nlog2N。

1、快速傅立叶变换算法的推导 如果记 则有： WNux的性质： (1) 对称性： (2) 周期性： (3) 可分性： 证明：

设N=2n=2M，f(x)的定义域分为偶数部分和奇数部分 即f(2x)和f(2x+1)，有: 记为：

F(u+M)=？(尝试) 而由W的性质： 所以： 观察

快速傅立叶变换(FFT)——图解 N=8，M=4 N=4，M=2 N=2，M=1

快速傅立叶变换(FFT)——图解续

2、FFT 的倒序问题 由FFT的过程可以看出，运算是从底层开始的，而底层序列的数据排列与原序列的数据排列不同，这一现象称为倒序。倒序规则为：将原序列的指数 n 先写成二进制形式，再进行位序颠倒即可得到底层的倒序序列。 原序列 对应二进制 二进制倒序 倒序序列 f(0) 000 f(1) 001 100 f(4) f(2) 010 f(3) 011 110 f(6) f(5) 101 f(7) 111

3、二维快速傅立叶变换 基于变换核的可分离性 所以对二维离散序列进行2次一维的FFT变换，即可得到二维离散傅立叶变换。

傅立叶正变换的复共扼的傅立叶正变换×N后取复共扼 4、傅立叶反变换 两边同乘1/N求复共扼 一维傅立叶反变换＝ 傅立叶正变换的复共扼的傅立叶正变换×N后取复共扼 二维傅立叶反变换＝ 傅立叶正变换的复共扼的傅立叶正变换×MN后取复共扼

七、图象处理中常用的其它可分离变换 称g(x,y,u,v,)为正变换核。 称h(x,y,u,v,)为反变换核。 如果g(x,y,u,v,)＝g1(x,u)g2(y,v)成立，则称该变换核是可分离的。显然，傅立叶正反变换核都是可分离的。 图象处理中使用的正交变换均具备以下共同特点： 1)、变换是正交、完备且是规一的——信息不损失； 2)、正反变换核都是可分离的——二维变成一维处理； 3)、变换具有快速算法——体现使用的方便性。

傅立叶变换的优点与主要问题 优点：1)、傅立叶变换的系数恰好表现的是被变换信号各个频率点上的幅值。可以根据要求精确地设计滤波器滤除不需要的频率成分。对图象而言，高频部分代表细节；低频部分表示背景或大面积的灰度变化不剧烈的部分。2)、利用卷积定理可以方便地对图象进行滤波处理。 缺点： 傅立叶变换的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。 为此，我们希望有一种能够达到相同功能的变换。在此期望下，产生了DCT变换。

1、余弦变换 ——1974年提出，距傅立叶变换152年。 1)、一维离散余弦变换 1、余弦变换 ——1974年提出，距傅立叶变换152年。 1)、一维离散余弦变换 傅立叶变换的不足之处在于其计算是复数计算，寻找实数变换一直是人们的期望——余弦变换就是通过简化傅立叶变换而得到的一种实数变换。 给定实数序列{f(x)；x=0,1,2…N-1}将此序列以x=-1/2为轴做偶对称镜像该序列，形成2N点序列g(x)。 1 2 3 4 5 6 －1/2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 f(x) g(x) x

对g(x)序列做傅立叶变换——以x=-1/2为轴 利用对称性，对上式的第一项做变量代换y=-x，有： g(x)=g(-x) 利用对称性仅计算一半点

令u=0， 。所以一维离散余弦变换的归一化系数a(u)|u=0=1/2；但u≠0时a(u) ≠1/2。 一维离散余弦变换的归一化系数是多少？ 一维离散余弦正变换： 令u=0， 。所以一维离散余弦变换的归一化系数a(u)|u=0=1/2；但u≠0时a(u) ≠1/2。 此时，a(u)=1。将a(u)与原系数2/N合并在一起： 正反变换核是一样的 一维离散余弦正变换： 一维离散余弦反变换：

2)、二维余弦变换 对二维序列f(x,y)按下面的原则镜像： 形成关于(-1/2, -1/2)对称的偶函数。 原信号位置 镜像信号位置 y

可得二维正余弦变换为 二维反余弦变换为 其中 其矩阵表示为： 也可表示为： 其中

正变换矩阵为 N=4时 余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 u=0时 将归一化系数开方写入正反变换 各行列之间是正交的。 N=4时 余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 余弦变换主要用于图象的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。

2、哈达玛(Hadamard)变换 与傅立叶变换、余弦型变换不同，哈达玛(Hadamard) 变换和下面将要介绍沃尔什(Walsh)的变换的基波都是方波的变形。通常这种变换的计算速度很快，这主要的原因是因为其中的许多乘法操作都非常简单。 一维哈达玛变换对的定义：其中N=2n。 正变换 反变换 其中：bk(z)是z的二进制表达中的第k位。

二维哈达玛变换对的定义 正变换；其中N=2n。 反变换；其中N=2n。 其中：bk(z)是z的二进制表达中的第k位。 例如：b2(4) → 000100 → =1 000100 000011 001111 100000 → 0×0＋0×1=0

哈达玛变换的正反变换核是一样的。变换核生成有一规律，使其生成非常方便(如果图像是N×N，N=2n )。 每一行的符号的变化次数称作这个行的列率。 哈达玛变换的正反变换核是一样的。变换核生成有一规律，使其生成非常方便(如果图像是N×N，N=2n )。

3、沃尔什(Walsh)变换 我们从哈达玛变换知道：它的构造是由小块堆积成大块的。但是分析其列率就知道其排列是无规则的。 将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的哈达玛变换就成为沃尔什变换。 当N=2n时，有一维沃尔什变换对：

例如：N=8时，有沃尔什变换阵 可见，沃尔什变换阵可由哈达玛变换阵重排列率构成。

二维沃尔什变换对的定义 例：用4×4沃尔什变换阵G对给定图像f1(x,y)和f2(x,y)进行变换，求其变换后的“图像”W1(u,v)和W2(u,v)。

能量集中在边角！且图像越平滑能量越集中。

4、霍特林变换(K-L变换)——主分量变换 与前面讲述的变换不同，前面所讲变换的变换核是固定不变的。而霍特林变换的则随各批信号的统计性质不同而有不同的变换核。它是基于信号统计特性的变换，这为信号的数据压缩提供了另一种思路，成为一种有效的变换。 设x是一个N维的随机向量，x的均值可通过L个样本用下式来估计： 协方差为：

用矩阵A来定义一个线性变换，A阵是由Cx的特征向量所构成的正交矩阵，A-1=AT，它可以由任意的向量x通过下式得到一个新的向量y： 霍特林变换核的构成 用矩阵A来定义一个线性变换，A阵是由Cx的特征向量所构成的正交矩阵，A-1=AT，它可以由任意的向量x通过下式得到一个新的向量y： 则y的协方差阵为： 对图像而言可以是堆叠矢量的表示。 其中λk是yk的方差。 这个结果是图像最佳恢复的一种设计思想。

将A按照特征值的大小顺序排列的特征向量构成的变换阵，特征值小的部分对图像的影响不大。图像的能量主要集中在λk较大的特征值上。 取最大的K个特征值所对应的特征向量构成的矩阵为变换阵AK。有： 图像已不能完全恢复。 例：对100×100的图像，存贮位数为100×100×8。 协方差阵为10000×10000的方阵(图像以堆叠矢量的形式出现)，特征值有10000个。

对其大小排队，若仅保留前10个矢量，AK为10×10000的矩阵，用其对图像进行变换F’为10×1的列矢量，仅保存这个列矢量即可保存图像。 mx f ATk Fk 10×1 10×10000 10000×1 10000×1 f mx Ak Fk 10000×1 10000×10 10×1 10000×1