第五章 频域分析

本章主要教学内容 4.1 概述 4.2 典型环节的频率特性 4.3 系统开环频率特性的绘制 4.4 闭环频率特性 4.5 闭环性能分析 4.6 频域分析的MatlAB实现

4.1 概述 本节教学内容 本节教学要求 1.明确频率特性的各种 4.1.1 频率特性的定义 定义 2.掌握求取频率特性的 4.1.2 频率特性的求取 4.1.3 频率特性的特点 和作用 本节教学要求 1.明确频率特性的各种 定义 3.了解频率特性的工程 意义 2.掌握求取频率特性的 主要方法

频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。 时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。 频域分析：通过系统在不同频率ω的谐波输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。 时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。

频域分析的目的 频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。 优点： 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法 间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析； 可推广应用于某些非线性系统（如含有延 迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。

频率响应—线性系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。 系统传递函数 谐波输入信号 系统输出 稳态响应 稳态输出幅值和相位均为输入信号频率的函数.

频率特性—在正弦信号作用下,线性系统稳态输出(即频率响应)与输入的幅值比和相位差，称为系统的频率特性，它是信号频率的函数: ()：输出相位-输入相位 频率特性 幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性

由传递函数求频率特性 —— 将传递函数中的s换成j 系统传递函数 系统稳态输出 系统频率特性 幅频特性 相频特性

由频率响应求频率特性 ——根据频率特性的定义求取，其基本步骤如下： 求取系统对谐波输入的稳态响应 根据频率特性的定义，求系统的幅频特性和相频特性 ()：输出相位-输入相位 根据频率特性的定义,求系统的频率特性

频率特性的特点—— 系统的频率特性就是单位脉冲响应函数w(t)的傅立叶变换，即w(t)的频谱，其反映了系统或元件对同一幅值、不同频率正弦输入的响应特性； 频率特性由线性系统谐波输入的稳态响应得到，因此频率特性分析是一种利用系统时间响应的稳态部分进行分析的方法，这与时间响应分析法既有本质的区别，又有内在的联系； 频率特性是传递函数的特例,是定义在复平面虚轴上的传递函数， 但同样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此频率特性 与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 比较不同系统对同一个正弦信号输入稳态响应

频率特性的作用 频率特性分析方法使人们可以从频域对系统的性能进 行分析、设计和优化，因此这种方法是一项重要的工 程技术。 频率特性分析相对于时间响应分析更适用于高阶系统.而且系统结构参数对响应性能的影响在频域中表现得更加明显，这使得频率特性分析具有更高的效率。 对于那些难以建模的系统，可以通过实验的方法获取系统的频率特性，进而获得系统的数学模型。 频率特性在实际工程应用中也有局限性。由于工程系统多少有些非线性，因而对于谐波输入，系统的输出并非严格的谐波信号，由此频率分析所得到的结论与实际系统会有一定出入。

举例 —— 求图示系统频率特性 传 递 函 数 频 率 特 性 频 率 对于低频信号 特 性 分 析 对于高频信号 随着的增加，幅值A()不断减小，相位 ()滞后不断增加。频率特性反映了系统(电路)的内在性质，与外界因素无关。

4.2 典型环节的频率特性 本节教学内容 本节教学要求 4.2.1 频率特性图的定义 1.掌握频率特性极坐标图和对数坐标图的坐标系的定义 4.2.2 典型环节的频率特 性图-Nyquist图和Bode图 本节教学要求 1.掌握频率特性极坐标图和对数坐标图的坐标系的定义 2.掌握典型环节频率特 性的图形表示以及相 应的物理意义

极坐标图 极坐标图又称Nyquist图，也称幅相频率特性图。 在极坐标复平面当值由零变化到无穷大时的G(j)矢端移动所形成的轨迹，即称为频率特性的极坐标图或Nyquist图。 当给定时复数G(j)在复平面上有两种表示方法： 向量表示：向量的模A()为G(j)，向量与正实轴的夹角为 ，并规定逆时针方向旋转为正； 坐标表示：用复数G(j)的实部和虚部分别表示G(j)端点的横坐标和纵坐标。

对数坐标图 Nyquist图的因变量矢径和矢角随自变量的变化而变化,将此两因变量分别用图表示，并取的对数值来绘制自变量的坐标就构成了对数坐标图。此方法最早由贝尔实验室的工程师Bode提出，现通称Bode图。 两对数频率图的横坐标用以10为底的对数值分度,但习惯上不标lg,而是标真值. 1 对数幅频特性的纵坐标是20lg|G(j)|, 其单位是分贝(dB). 对数相频特性的纵坐标是相位,用度表示.

Bode图的要点 Bode图坐标系的选取拓宽图形所能表示的频率、幅值范围； 幅值相乘变为相加，简化作图：  =0 不可能在横坐标上表示出来； 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定； 只标注的真值.

比例(放大)环节—— Nyquist 幅频： 图 相频： 幅频： Bode 图 相频： K>1，分贝数为正；K<1，分贝数为负。

积分环节 —— (由0, G(j) 由0。) 幅频： Nyquist 图 相频： 幅频： Bode 相频： 图 幅频:频率每增加10倍,幅值降低20分贝,是一条过(1，0 ), 且斜率为 -20dB/dec的直线。 相频:恒为-900的水平线。

微分环节—— 幅频： Nyquist 图 相频： 幅频： Bode 相频： 图 (由0,G(j) 也由0 。) 幅频:频率每增加10倍,幅值增加20分贝,是一条过(1，0 ), 且斜率为 20dB/dec的直线。 相频: 恒为900的水平线。

惯性环节 —— Nyquist图 频 率 特 性 幅频： 相频： 实频： 虚频： 图 形 特 点 频 率 特 性 幅频： 相频： 实频： 虚频： 图 形 特 点 图形在第四象限,为直径为1,过(1/2,0)的半圆:

惯性环节 —— Bode图（1） 频率特性 幅频： 相频： 幅频特性曲线 惯性环节具有低通滤波 特性. 低频段(0<<1/T)近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。 幅频特性曲线 高频段( 1/T< < )近似为斜率为 -20dB/dec 的直线,称为高频渐近线. =1/T 为惯性环节的转角(或转折)频率(此处幅频特性与渐近线误差最大) 惯性环节具有低通滤波 特性.

惯性环节 —— 幅频： 相频： 频率特性 Bode图（2） 相频特性曲线 完整图形

一阶微分环节 —— Nyquist 图 Bode 图 幅、相频特性与惯性环节均差一负号，因此分别关于0dB线和0度线对称。 具有高通特性，使得抑制噪声的能力下降。

振荡环节 —— Nyquist图（1） 频 率 特 性 幅频： 相频： 图 形 特 点 图形在三、四象限，形状与阻尼比有关。

振荡环节 —— Nyquist图（2） 当  0.707时，在 = n附近，A()出现峰值Mr ，即发生谐振。谐振峰值Mr对应的频率为谐振频率r: 谐 振 频 率 与 峰 值 谐 振 现 象 系统产生谐振时,只需要输入很少的能量,就可以产生很大的振动位移。因此谐振即可以带来危害，也可造福人类。 跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥,开通于1940-7-1.只要有风,这座大桥就会晃动.当年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大,直到整座桥断裂。

振荡环节 —— Bode图（1） 频 率 幅频： 特 性 相频： 低频渐近线为0dB的水平线(0<< n) 频 率 特 性 幅频： 相频： 低频渐近线为0dB的水平线(0<< n) 高频渐近线斜率为 -40dB/dec ( n<<) 幅 频 特 性 (T=n为振荡环节转折频率) 当<0.707时,系统会产生谐振,因此应对幅频特性进行修正.

振荡环节 —— Bode图（2） 渐近线误差 —— 实际特性曲线与渐近线的差 当0时,rn，最大误差将出现在n附近。

振荡环节 —— Bode图（2） 相 频 特 性 完 整 图 形 相 频 特 性 完 整 图 形 绘制振荡环节Bode图(包括Nyquist图)，一定要区分>0.707和<0.707这两种不同情况,尤其是幅频特性。

延时环节 —— Nyquist 图 Bode 图

延时环节与惯性环节比较 近似 不同 当延时时间很小，或信号频率很低时，延时环节可近似为惯性环节.

4.3 系统开环频率特性的绘制 本节教学内容 本节教学要求 1.掌握系统开环Nyquist 4.3.1 系统开环Nyquist图 图的绘制 4.3.2 系统开环Bode图 本节教学要求 1.掌握系统开环Nyquist 图的绘制 2.掌握系统开环Bode图 的绘制 4.3.3 最小相位系统的概念 3.了解最小相位

4.3.1 系统开环 Nyquist图 系统开环Nyquist图及其绘制 列写系统开环传递函数 列写系统开环频率特性

将开环传递函数或频率特性表示成若干典型环节的串联形式 幅频特性=组成系统各典型环节的幅频特性之乘积; 相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和. 绘制： 求A(0)、 (0)；A(∞)、 (∞)； 补充必要的特征点(如与坐标轴的交点), 根据A(ω)、(ω) 的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。

Nyquist图

Nyquist图

Nyquist图

Nyquist图的一般形状 0 型 系统 (v=0) I 型 系统 (v=1) II 型 系统 (v=2) 起于正实轴，终于原点。 起点于负虚轴无穷远处，终止于原点。 II 型 系统 (v=2) 起点于负实轴无穷远处,终止于原点.

将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式 4.3.2 系统开环 Bode图 系统开环Bode图的绘制 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式 幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和. 相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和. 求出各个环节的转折频率，并在Bode图中的轴上标出。

例1 一传递函数为 作其Bode图。 传递函数 化成 标准形式 求取 频率特性 T1=0.4 s-1 T2=40 s-1 例1 一传递函数为 作其Bode图。 传递函数 化成 标准形式 求取 频率特性 T1=0.4 s-1 T2=40 s-1 =2 s-1 确定各环节 转折频率Ti 轴 : 0.1min(Ti )~10max(Ti ) 取0. 1 ~ 400 确定 坐标范围

T2 τ T1 20lg|G| dB 20 10  -10 -20 -30 ∠G/度 90° 45° 0° -45° -90° 40 20 0.1 1 100 45° 90° -90° ∠G/度 对数相角频率特性 -20 -45° 0° 对数幅值频率特性 2 400 0.4 T2 τ T1

T2  T1 20lg|G| dB 20 10  -10 -20 -30 ∠G/度 90° 45° 0° -45° -90° 40 20 0.1 1 100 45° 90° -90° ∠G/度 对数相角频率特性 -20 -45° 0° 对数幅值频率特性 2 400 0.4 T2  T1 -20dB/dec

20lg|G| dB 20  T2 10 T1  -10 -20 -30 ∠G/度 90° 45° 0° -45° -90° 40 20 0.1 1 100 45° 90° -90° ∠G/度 对数相角频率特性 -20 -45° 0° 对数幅值频率特性 2 400 0.4 T2  T1 +20dB/dec -20dB/dec

20lg|G| dB 20  T2 10 T1  -10 -20 -30 ∠G/度 90° 45° 0° -45° -90° 40 20 0.1 1 100 45° 90° -90° ∠G/度 对数相角频率特性 -20 -45° 0° 对数幅值频率特性 2 400 0.4 T2  T1 +20dB/dec -20dB/dec -20dB/dec

20lg|G| dB 20  T2 10 T1  -10 -20 -30 ∠G/度 90° 45° 0° -45° -90° 40 20 0.1 1 100 45° 90° -90° ∠G/度 对数相角频率特性 -20 -45° 0° 对数幅值频率特性 2 400 0.4 T2  T1 +20dB/dec -20dB/dec [-20]

20lg|G| dB 20  T2 10 T1 T1  -10 -20 -30 ∠G/度 90° 45° 0° -45° 40 -10  10 20lg|G| dB 20 0.1 1 100 45° 90° -90° ∠G/度 对数相角频率特性 -20 -45° 0° 对数幅值频率特性 2 400 0.4 T2  T1 T1 20lg3=9.54dB [-20]

-30 40 -10  10 20lg|G| dB 20 1 100 45° 90° -90° ∠G/度 -20 -45° 0° 2 20 0.1 1 100 45° 90° -90° ∠G/度 对数相角频率特性 -20 -45° 0° 对数幅值频率特性 2 400 0.4 T2  [-20] T1 G(j)

Bode图特点 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v,斜率为-20vdB/dec ; 最低频段的对数幅频特性可近似为 L()=20lgK-20vlg，当＝1 rad/s时，L()=20lgK； 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率（注意：微分、积分环节没有转折频率）； 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。如 惯性环节，- 20dB/dec ； 振荡环节， - 40dB/dec； 一阶微分环节，+20dB/dec ; 二阶微分环节，+40dB/dec。

单回路系统开环Bode图的绘制 将开环传递函数表示为典型环节的串联； 确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上； 计算20lgK,在＝1rad/s处找到纵坐标等于20lgK的点,过该点作斜率等于 -20vdB/dec 的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左,得到最低频段的渐近线. 向右延长最低频段渐近线,每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率： 惯性环节，- 20dB/dec 振荡环节， - 40dB/dec 一阶微分环节，+20dB/dec 二阶微分环节，+40dB/dec 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性； 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。

例2—— 作开环系统 Bode图. 典型环节 形式的 频率特性 典型环节 分析 对数 幅频特性 (渐近线) 系统由以下环节构成: 放大环节K=7.5； 积分环节1/j ; 二阶振荡环节，转折频率T1=21/2 s-1,阻尼比 ; 惯性环节，转折频率T2=2 s-1; 一阶微分环节，转折频率T3=3 s-1. 典型环节 分析 对数 幅频特性 (渐近线)

例2—— 作开环系统 Bode图. 曲 线 修 正

例2—— 作开环系统 Bode图. 积分环节 振荡环节 惯性环节 比例环节 一阶微分环节 相 频 特 性

4.3.3 最小相位系统 最小相位系统 —— 若系统传递函数G(s)的所有零点和极点均在[s]平面的左半平面，则称为“最小相位传递函数”，具有此传递函数的系统称为最小相位系统. 例 判别下列两系统是否为最小相位系统 其中: T1> T > 0  j [s] (a) (b) 系统G1(s)的零极点全在左半平面，为最小相位系统。 系统G2(s)的零点在右半平面，极点在左半平面，为非最小相位系统。 最小相位系统的相频特性与幅频特性按最小相位对应，而非最小相位系统则没有这种对应关系。

4.3.4 由系统的对数频率特性求对应的传递函数（自学）

4.4 闭环频率特性 本节教学内容 本节教学要求 4.4.1 闭环频率特性 1.了解闭环频率特性的 概念及其分析方法 4.4 闭环频率特性 本节教学内容 4.4.1 闭环频率特性 本节教学要求 1.了解闭环频率特性的 概念及其分析方法 2.了解最小相位系统的 概念及其特点 4.4.2 闭环频率特性的特 征量

4.4.1 闭环频率特性 (单位反馈) 对单位反馈系统，其闭环传递函数为 则其频率特性为： 其中， 4.4.1 闭环频率特性 (单位反馈) G k ( j w ) X i o + - 对单位反馈系统，其闭环传递函数为 则其频率特性为： 其中， M（ ）为闭环幅频， ()为闭环相频 。

逐点取, 计算出GB(j)的幅值及相位,可得闭环幅频特性AB()-和闭环相频特性()-。 4.4.1 闭环频率特性 (单位反馈) 逐点取, 计算出GB(j)的幅值及相位,可得闭环幅频特性AB()-和闭环相频特性()-。 AB( )   =0 0º  -180º ()

对非单位反馈系统，GB(j)与GK(j)的关系为: 4.4.1 闭环频率特性 (非单位反馈) 对非单位反馈系统，GB(j)与GK(j)的关系为: 即对非单位反馈系统，可直接利用GK(j)=G(j)H(j)来分析系统.

设开环系统频率特性G(jw)的极坐标图如图所示 当w=w1时为图中A点 向量 OA=G(jw1) 令 (－1，j0) 为P点 向量 PA=1+G(jw1) P A ● 如果选择一组w值，可得一组对应的M(w)和a(w)值，据此可画出闭环系统的幅频特性和相频特性或极坐标图。但很繁琐。

零频值A(0): 频率接近于零时，系统输出的幅值与输入的幅值比。 4.4 闭环系统频率特性 r o  A() A(0) 0.707A(0) Amax  b M 4.4.2 闭环系统频率特性的特征量 零频值A(0): 频率接近于零时，系统输出的幅值与输入的幅值比。 （与稳态误差相关！）

复现频率M：指幅频特性与A(0)的差值第一次达到Δ时的频率值(Δ为予先规定反映低频输入信号的容许误差值)。 4.4 闭环系统频率特性 4.4.2 闭环系统频率特性的特征量 谐振频率:r 相对谐振峰值： 截止频率b： 带宽： 0≤ω≤ωb对应的频率 范围 r o  A() A(0) 0.707A(0) Amax  b M 复现频率M：指幅频特性与A(0)的差值第一次达到Δ时的频率值(Δ为予先规定反映低频输入信号的容许误差值)。

4.5 闭环系统性能分析 本节教学内容 本节教学要求 4.4.1 频域与时域指标之间关系 1.了解频域与时域指标之间的关系 4.5 闭环系统性能分析 本节教学内容 4.4.1 频域与时域指标之间关系 本节教学要求 1.了解频域与时域指标之间的关系 2.掌握低、中、高频段对闭环系统的影响 4.4.2 闭环性能分析

4.5.1 频域指标与时域性能指标之间的关系 在时域分析中，瞬态性能指标一般是最大超调量d%、调节时间ts、峰值时间tp等。 ⒉ 对二阶系统而言，系统可根据阻尼系数z的不同分为： 无阻尼系统 欠阻尼系统 临界阻尼系统 过阻尼系统

典型欠阻尼二阶系统：性能指标与系统的特征参数有关。欠阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z和无阻尼震荡频率wn。 对临界阻尼二阶系统：性能指标只有ts 。

过阻尼二阶系统：性能指标只有ts 。 当阻尼系数z<1.25时，ts 的计算可查教材p70图3-15。 当阻尼系数z=1.25时，设T1>T2 当阻尼系数z>1.25时，设T1>T2 ⒊ 对高阶系统，如果有主导极点存在，可以近似为二阶系统。 式中

4.5.2 闭环系统性能分析 开环对数频率特性的低频段、中频段、高频段分别表征了系统的稳定性、动态特性和抗干扰能力。三个频段的划分并没有严格的界限，但它反映了对控制系统性能影响的主要方面。

低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目，通常是指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的区段。中频段是指开环幅频特性曲线在幅值穿越频率 附近的区段。高频段是指开环幅频特性曲线在中频段以后的区段 ，这部分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。

低频段 低频段通常指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的区段，低频段的斜率由开环传递函数中积分环节的数目 决定，而高度则由系统的开环放大倍数 来决定。 系统的稳态误差 与 有关。因此，根据开环对数幅频特性的低频段可确定系统的稳态误差。

低频段的斜率越小，对应系统开环传递函数中积分环节的数目越多，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差越小，动态响应的的跟踪精度越高。而且，在阶跃信号输入下使 的条件是低频段必须具有负斜率。 中频段 中频段是指开环对数幅频特性曲线在截止频率 附近（零分贝附近）的区段。中频段集中反映了闭环系统动态响应的平稳性和快速性。 反映中频段形状的三个参数为截止频率 ，中频段的斜率和中频段的宽度。下面对开环对数幅频特性曲线 中频段的斜率和宽度分两种情况进行分析。

（1）中频段斜率为-20，且占据的频率区域较宽 则系统的相频特性为 相角裕度为 可见，中频段越宽，即 比 大的越多，则系统的相角裕度 越大，即系统的平稳性越好。

（2）中频段斜率为-40，且占据的频率区域较宽 则系统的相频特性为 相角裕度为 可见，中频段越宽，即 比 大的越多，则系统的相角裕度 越接近于0°，系统将处于临界稳定状态，动态响应持续振荡。

中频段斜率更陡，则闭环系统将难以稳定。因此为使系统稳定，且有足够的稳定裕度，一般希望截止频率 位于开环对数幅频特性斜率为-20的线段上，且中频段要有足够的宽度；或位于开环对数幅频特性斜率为-40的线段上，但中频段较窄。在上述情况下，尽量增大截止频率 ，提高动态响应的快速性。 高频段 高频段指开环对数幅频特性在中频段后的频段。由于这部分特性是由系统中一些时间常数很小的环节决定的，因此高频段的形状主要影响时域响应的起始段。因为高频段远离截止频率 ，所以对系统的动态特性影响不大。

从系统抗干扰能力来看，高频段开环幅值一般较低，即 ，则 。故对单位反馈系统有 显然，在高频时闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。因此，开环对数幅频特性 在高频段的幅值，直接反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频部分的幅值越低，系统的抗干扰能力越强。 由以上分析可知，为使系统满足一定的稳态和动态要求，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频段要有一定的高度和斜率；中频段的斜率最好为-20，且具有足够的宽度， 应尽量大；高频段采用迅速衰减的特性，以抑制不必要的高频干扰。

4.6 频域分析的MatlAB实现

课后作业 教材99页： 4.1（1），4.2（1），4.3，4.5，4.6（1）