第四章 传递函数矩阵的状态空间实现 由传递函数矩阵确定对应的状态空间方程称为实现。在1.2节已经研究了将单输入-单输出系统的外部描述（系统传递函数）化为状态空间描述的问题，并导出了能观测规范型、能控规范型、A为对角型和约当型等四种典型的状态空间方程，这便是传递函数的实现。

本章研究多变量系统传递函数矩阵的实现理论和一般方法。研究实现问题，能深刻揭示系统的内部结构特性，便于分析与计算系统的运动，便于在状态空间对系统进行综合，便于对系统进行计算机仿真，在理论和应用上均具有重要意义。

§4.1 实现问题基本概念 §4.2 传递函数矩阵的能控规范性和能观测规范型实现 §4.3 最小实现及其特性 §4.4 多变量系统最小实现的求法

4.1 实现问题基本概念 实现的定义 给定线性定常系统的传递函数矩阵 寻求一个状态空间描述 使 则称此状态空间描述是给定传递函数矩阵 的一个实现，简称 是 的一个实现。

以上定义表明，实现问题的实质就是已知系统的外部描述，去寻求一个与外部描述等同的假想的状态空间结构。由于状态变量（状态空间基底）选取不同，同一 能导出维数相同但数值特性不同的 ，这一点已由1.2节传递函数的四种典型实现所证实；基于传递函数矩阵 只反映系统能控且能观测部分的特性这一研究结论，不难分析得知，由同一还能导出A具有不同维数的实现，其中含有不同个数的不能控或／和不能观测的状态变量。

故 的实现具有非唯一性，且有无穷多种实现方式，某特定实现称的一个实现。 在众多实现中，能控类和能观测类是最常见的典型实现方式，这时，所寻求的 不但能满足传递函数矩阵关系式，且是 能控或是 能观测的。由于这类典型实现本身已经从某个方面揭示了系统的内部结构特性，于是更容易过渡到寻求 的维数最小的实现问题。

所谓维数最小的实现，是指A的维数最小，从而也使B，C，D的维数最小，它能以最简单的状态空间结构去获得等价的外部传递特性。无疑，最小实现问题中是最为重要的。 如果已经确定某真实系统是能控且能观测的，则在该 的众多实现方式中，唯有最小实现才是真实系统的状态空间结构。 为了有助于理解多变量系统 的实现问题，看下面两个引例。

引例1 设双输入-双输出系统传递函数矩阵 为 若将 中的四个传递函数看作四个单变量子系统的传递函数，即

图4.1 引例1 诸元的单变量系统实现

其实现的状态变量图见图4.1。其动态方程为 A、B、C、D分别为

所以矩阵A为6维。但经计算， 得次数 。由多变量系统能控能观测的充要条件可知，能控且能观测的状态空间实现的A阵应为 维，故以上按单变量系统实现诸元传递函数的方式，使 的维数增高，导致结构复杂（如需6个积分器），仿真精度变差，且含有不能控或/或和不能观测的状态变量。

引例2 已知下列传递函数矩阵 按单变量系统实现方式实现诸元传递函数，状态空间结构将含4个积分器，见图4.2(a)；若诸积分环节 移到综合点 之后，可变换成图4.2(b)，这时只含有2个积分环节；

进一步将两条支路并为一条，最终得结构图4.2(c)，这时仅含一个积分环节。从传递特性等同的观点看，上述三种结构均能导出给定的 ，但A阵的维数却不相同，显然图4.2(c)维数最小，结构最简单。计算 的次数可知， ，表征了最小实现的维数。由图4.2(a)和(b)列出动态方程，必含有不能控或/和不能观测的状态变量。

(a) (b) (c) 图4.2 引例2 的三种实现

下面来研究多变量系统的能控类和能观测类的典型实现方法，进而讨论最小实现的特性和寻求最小实现的方法。

4.2 传递函数矩阵的能控规范性和能观测规范型实现 4.2 传递函数矩阵的能控规范性和能观测规范型实现 就单输入—多输出、多输入—单输出、多输入—多输出系统的情况分别进行研究。 一.单输入—多输出系统传递函数矩阵的实现 单输入—多输出系统的结构见图4.3，函q个子系统：

（4.1） 图4.3 单输入—多输出系统结构

输入—输出关系的向量—矩阵形式为 （4.2） 其中 为一列向量，其展开式为 （4.3）

式中 为真有理分式； 为常数； 为严格真有理分式。真传递函数矩阵 的实现问题就是寻求 问题，严格真传递函数矩阵 的实现问题就是寻求 问题。故不失一般性，研究实现问题可从 的实现入手。 取 的最小公分母且记为 ，有 （4.4）

则 的一般形式为 （4.5） 式中 是q个子系统传递函数的公共部分。对 作串联分解，并引入中间变量 ，便有： （4.6）

若令 （4.7） 可列出该系统的能控规范性状态方程，它对q个子系统是同一的。考虑到单输入—多输出情况，输入矩阵只有一列，输出矩阵则有q行，故据 诸系数写出能控规范性 是方便的，且写不出能观测规范型实现。故式(4.6)的实现为 （4.8）

诸子系统的输出 均可表示为及其各阶倒数的线性组合，其向量—矩阵形式为 （4.9） 于是便确定了 的实现 。该实现是一定能控的，但不一定能观测。注意到上述实现是由单输入—多输出系统的能控规范性实现推广而来的。

二.多输入—单输出系统传递函数矩阵的实现 多输入—单输出系统的结构见图4.4，含p个子系统： （4.10） 图4.4 多单输入—单输出系统结构

系统输出为诸子系统输出之和，即 （4.11） 其中 为一行，其展开式为 （4.12）

同理，取 的最小公分母且记为 ，可得 的一般形式为 （4.13） 考虑到多输入—单输出情况，输入矩阵有p列，输出矩阵只有一行，据p个子系统传递函数的公共部分 写出 能观测规范型 是方便的，且写不出能控规范型实现。

该实现也可由单输入—单输出系统的能观测规范型实现推广得到 （4.14） （4.15）

于是便确定了 的实现 ，该实现一定能观测，但不一定能控。 例4.1 试求传递函数矩阵 的能控规范型（能观测规范型）实现。

解： 为单输入—双输入情况， 为一列， 为两行， 由 确定。 故其能控规范型实现为：

为双输入—单输入情况， 为两列， 为一行， 由 确定。 故其能观测规范型实现为：

三.多输入—多输出系统传递函数矩阵的实现 假定严格真 传递函数矩阵 其能控或者能观测规范型实现可由单输入—单输出系统传递函数的对应规范型实现推广而来。 的展开式有：

（4.16）

式中. ，为. 的最小公分母， 是同分母处理后所得的多项式矩阵，且表为矩阵多项式形式，. 均为 常值矩阵。对式（4 式中 ，为 的最小公分母， 是同分母处理后所得的多项式矩阵，且表为矩阵多项式形式， 均为 常值矩阵。对式（4.16）进行串连分解并引入中间变量 ，它与 同为 向量，于是 满足下列向量微分方程 （4.17） （4.18）

定义下列一组 状态子向量 （4.19） 则状态方程为

其矩阵分块形式的能控规范型实现为 （4.20） 式中

为 维， 为 维， 为 维, 为 维, 为 维, 为 阶零阵和 阶单位阵。该实现一定能控，但不一定能观测。 还可以导出矩阵分块形式的能观测规范型实现为 （4.21） 式中

为 维， 为 维， 为 维, 为 维, 为 维, 为 阶零阵和 阶单位阵。该实现一定能观测，但不一定能控。

例4.2 试求 的能控和能观测规范型实现 解：本例

故能控规范型实现为

能观测规范型实现为

4.3 最小实现及其特性 给定严格真传递函数矩阵 ，寻求一个维数最小的 ,使 ，则称该 是 的最小实现，也称为不可简约实现。从等价的输入—输出传递函数特性来看，最小实现的状态空间结构是最简单的，其中包含的积分器个数最少，其状态变量都是能控且能观测的，用于计算机仿真的精度也最好，故而在理论及应用上均占有重要地位。

关于最小实现的特性，有下列几个重要结论。 结论1 为严格真传递函数矩阵 的最小实现的充要条件是： 能控且 能观测。 证 先证必要性，即已知 为最小实现，欲证 能控和 能观测。采用反证法。反设 不能控或不能观测，则可通过结构的规范分解找出能控且能观测的 ，使 ，且有 （4.22）

表明 不是 的最小实现，从而与已知条件矛盾，故反设不成立， 必为能控且能观测。必要性得证。 再证充分性，即已知 能控且能观测，欲证 为最小实现。也采用反证法，反设 能控能观测，但不是最小实现，这时必存在另一最小实现 ，使 （4.23）

且对任意相同的输入 u，必有相同的输出y，即 （4.24） 考虑到u和t的任意性，进一步有 （4.25） 若令 ，且记 （4.26） 则 （4.27）

式中 ， 分别为 ， 的单位脉冲相应矩阵。对 求各阶导数有

于是可构造下列L（t）矩阵

（4.28） 式中 ， 分别为 的能观测性和能控性判别阵。当t=0时有 （4.29）

同理可导出 ， （4.30） 式中 ， 分别为 的能观测性和能控性判别阵。由于 ，又有 ， ，故 （4.31） 由已知 能控且能观，则 （4.32）

表 （4.33） 有 （4.34） 又因 ，从而 （4.35）

由于式（4.34）和（4.35）同时成立，必有 （4.36） 于是 （4.37） 也即 （4.38） 这表示 ，与假设矛盾，故假设不成立，即不存在比 维数更小的实现。充分性得证。证毕。

结论2 严格真传递函数矩阵 的任意两个最小实现 与 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线形变化阵T使下式成立 （4.39） 证 已知 和 均为最小实现，故均为能控且能观测的，且维数相同，即

且进而可知 和 均为非奇异n阶方阵。 由 分别左乘 和右乘 ，可导出 （4.40） （4.41） 式中 ， 均为非奇异矩阵，且有

故 （4.42） 于是由 的展开式 可得 （4.43） 由 的展开式

可得 （4.44） 由 的展开式

可得 （4.45） 从而有

（4.46）

由式（4.46）两端左乘 且右乘 ，有 （4.47） 证毕。以上证明的代数等价关系是针对最小实现，即 能控且能观测做的，非最小实现之间则不存在代数等价关系。 结论 3 严格真传递函数矩阵 的最小实现的维数为 下列汉克尔矩阵 的秩，即

（4.48） 式中 ， ， 为马尔科夫参数矩阵。

证 令 是 的一个最小实现，A 的维度为 由 (4.49)

故 (4.50)

因 能控能观测，故有 (4.51) 结论 4 传递函数矩阵 的最小实现的维数为 的次数 ，或 的极点多项式的最高次数。 证 已知多变量系统的能控能观测的充分条件是 的极点多项式 的特征多项式 (4.52)

故 的最高次数（或 的次数） 等于A的维数；又知 能控， 能观测， 故为最小实现。

4.4 多变量系统最小实现的求法 求多变量系统最小实现的一般方法为降阶法：根据给定传递函数矩阵 ，第一步先写出满足 的能控型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。有时 诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现是较为方便的。下面分别研究。

一.降阶法 1.先求解能控型再求能观测子系统的方法 设 传递函数矩阵，且 时，优先采用本法。取 的第 列，记为 ，是 至 的传递函数矩阵，有 (4.53) 记 为 的最小公倍数，则

(4.54) 设 (4.55) 则 (4.56) 在此， 是q个子系统传递函数的公共部分，由单输入-多输出系统的实现可知，能用能控规范 型的 实现 ，由 的诸系数确定 ,这时 的实现为

(4.57)

令 便可得 的实现为 (4.58)

当 时，显见A、B、C的维度均较小。且有 。上述实现一定能控，但不一定能观，需找出能观测部分，为此需判别（A，C）的能观性。若（A，C）能观测，则（A，B，C）为最小实现；若

则从 中选出 个线性无关行，记为S；在附加 个任意行（通常为单位矩阵 的任意行），记为 ，即 (4.59) 构造 非奇异变换阵T; (4.60)

引入变换 ,由按能观测性的结构分解可知 (4.61) 其中能观测子系统 即为所求的最小实现。 尚有如下简化求法。记 为 (4.62)

由 有 (4.63) 有 (4.64)

有 (4.65) 由 有 (4.66) 于是由能控型化为能观测型的简化步骤可归结为： 1.构造S阵（从 中选出 个线性无关行）； 2.由 求出U阵； 3.计算最小实现： ， ， 。

由于S选择的任意性及求解U的任意性，最小实现不唯一，但最小实现的维数是唯一的，且系统都是能控能观测的。 2.先求能观测型再求能控子系统的方法 当 时，优先采用本法。这时取出 的第 行，记为 ，是p维输入 至 的传递函数矩阵，有 （4.67）

记 为 的最小公倍数，则 (4.68) 设 (4.69) 则 (4.70)

在此， 是p个子系统传递函数的公共部分，由单输入-多输出系统的实现可知，能用能控规范 型 的实现 由 的诸系数确定 ,这时 的实现为 （4.71）

令i=1,2,…,q,可得G(s)的实现为 (4.72)

当p>q时，显见A、B、C的维数均较小。且有 。上述实现一定能观测，若 （A,B）能控，则（A,B,C）为最小实现。若 则从 中选出 个线性无关列 ，附加 个任意列（通常为单位矩阵 的任意列） ，构成非奇异变换阵 ： (4.73)

引入变换 ，由按能控性结构分解可知 (4.74) 其中能控子系统 即为所求最小实现。 也有如下简化求法。记P为 (4.75)

由 可得 (4.76) 由 还可导出 (4.77)

于是由能观测型化为能控能观测型的简化步骤可归结为： (1).构造U阵（从 选出 个线性无关列）； (2).由 求出S阵； (3).计算最小实现： 。 由于U选择的任意性及求解S的任意性，最小实现不唯一，但最小实现维数唯一且系统都是能控能观测的。

例4.5 已知传递函数矩阵G(s),求最小实现。 解 化G(s)为严格真传递函数矩阵 ：

求 的最小实现： 设取其第一列，将分母最小公倍式提到矩阵以外，则 同理

式中 ，据 分别构造能控规范I型实现为 的能控型实现为

（A,C）的能观测性判别：由于rankC=2=m,故

即（A,C）能观测。（A,B,C）能控能观测，即 为的最小实现。G(s)的最小实现为（A,B,C,D）。

例4.6 试求下列G(s)的最小实现的维数及两种最小实现。 解 （1）确定最小实现维数 ： 所有G(s)的一阶子式的最小公分母为(s+1)(s+2)；二阶子式只有一个为0，其分母为任意常数。故所有子式的首1最小公分母仍为(s+1)(s+2),有

（2）先求能控型实现再求能观测型实现的方法。由G(s)诸列 有 式中 ，其能控规范I型为

判别（A,C）的能观测性：rankC=m=2,故 （A,C）不完全能观测。从 选出二行构成S阵

由 ,求U阵： 四个方程含8个未知数，设任意规定 可解得

故最小实现为 （3）先求能观测型实现再求能控能观测型实现的方法。由G(s)诸行 有

式中 ，其能观测规范I型为 判别（A,B）的能控性：由于rankB=1=k,故

（A,B）不完全能控，从 中选出二个线性无关列构成U阵

由 ,求S阵： 设任意规定 ，可解得

故最小实现为 例4.7 已知动态方程，试求最小实现：

解 在按能控分解的基础上进行按能观测性分解，既可求得最小实现。 解 在按能控分解的基础上进行按能观测性分解，既可求得最小实现。 ,引入 ，式中 按能控性分解结果为 =2

按能控性分解结果为 对 按能观测性分解，由于

,引入 ，式中 按能观测性分解结果为

故能控能观测型实现即最小实现为 其传递函数矩阵G(s)为

二、直接求取约当型最小实现的方法 当G(s)诸元易于分解为部分分式，且仅含实极点时，该方法有效，下面举例说明。 例4.8 已知G(s)，试求约当型最小实现：

解 将G(s)诸元化为部分分式，本例只含单极点，有 将各不同分式提到矩阵以外，有

若 其秩为1，则将 分解为1个外积项表示（一列与一行相乘之意）；若 其秩为2，则用两个外积项之和表示。外积项表示是不唯一的，一种表示为 式中诸列向量按顺序构成C阵；诸行向量按顺序构成B阵；

诸分母的根按顺序确定了A的对角元，当分式含两个外积项之和时，对角元有两项相同。其约当型实现为

例4.9 已知G(s)，试求约当型最小实现： 解 本例尚含有重极点，其部分分式表为

式中诸列向量按顺序构成C阵；诸行向量写成相同形式，均含[1 0]，考虑分母中 ，i=2,3的诸项表为串联连接的情况，构造B阵时第一、二行赋零；诸分母的根按顺序确定了A的结构，本例含特征值为的一个三阶约当块。其约当型实现为