复习 齐次方程 齐次方程的解法 化为可分离变量的方程然后求解. 可化为齐次方程的方程 其它情况, 令 化为齐次方程;

一阶线性微分方程 的通解: 伯努利方程 令 化为线性方程 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程

第五节 可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程

一、 型微分方程 微分方程 以此继续，便得到含有n个任意常数的通解. 例1. 解：

二、 型微分方程 特点：不显含未知函数 则 解法： 令 代入原方程, 得 求得 积分可得通解

例2. 求解 解： 方程为 型 则 令 代入方程，得

于是 为所求特解.

一般地，对于 型方程 特点：不显含未知函数 解法： 则 代入原方程，得 的 阶方程 求出 . 将 连续积分 次，即可得到通解.

例3. 求方程 的通解. 解： 则 代入原方程,　得到 解线性方程，得到 两端积分，得到： 原方程通解为：

三、 型微分方程 特点： 右端不显含自变量 则 解法： 代入原方程, 得 关于 y, p 的一阶方程 即 求得 积分， 可得通解.

例4. 求方程 的通解. 则 解： 代入原方程得 即： 即： 积分得原方程通解为

例4. 求方程 的通解. 两端同乘非零因子 得到： 解法二： 恰当导数方程 即： 积分得原方程通解为 注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.

例4. 求方程 的通解. 解法三： 两端同除以 得到： 两边积分,得 即： 积分得原方程通解为

例5. 求方程 的通解. 解： 则 代入原方程得 即： 积分得原方程通解为 注意：本题也可直接配导数的方程

例6. 解初值问题 则 解: 令 代入方程得 根据初始条件, 得 根据 积分得 故所求特解为

的切线及 x 轴的垂线， 上述两直线与 x 轴围成的三 角形面积记为 区间 上以 为曲边的曲 边梯形的面积记为 且 求 提高题：设函数 二阶可导, 且 过曲线 上任一点 作该曲线 的切线及 x 轴的垂线， 上述两直线与 x 轴围成的三 角形面积记为 区间 上以 为曲边的曲 边梯形的面积记为 且 求 ( 1999 考研 )

两边对x 求导, 得 定解条件为： 由例 4 知， 原方程通解为 利用定解条件得

内容小结 可降阶微分方程的解法 — 通过引入变换进行降阶 逐次积分 则 令 则 令

注意： 对于方程 令 或 均可. 一般来说, 用前者方便些. 但有时用后者方便. 例如, 本次作业的 1(10): 一般情况下，解二阶可降阶微分方程初值问题 时，边解边定常数计算简便，遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.

第六节 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、降阶法与常数变易法

一、二阶线性微分方程举例 置附近作上下振动. 例: 设有一弹簧下挂一重物质量为m, 如果使物体具有初始速度 物体将离开平衡位置, 并在平衡位 试确定物体的振动规律 解: 受力分析 1. 恢复力 2. 阻力

物体自由振动的微分方程 强迫振动的方程 铅直干扰力 串联电路的振荡方程

二阶线性微分方程 n 阶线性微分方程 当 时， 称为线性齐次微分方程 当 时， 称为线性非齐次微分方程

二、线性齐次方程的解的结构 对于二阶线性微分方程 定理1 如果函数 与 是方程(1)的两个解, 也是(1)的解. 那么 为常数, 问题: 定理1 如果函数 与 是方程(1)的两个解, 也是(1)的解. 那么 为常数, 问题: 一定是通解吗？

个不全为零的常数， 定义：设 为定义在区间 内的 个函 数, 如果存在 区间内时有恒等式成立 使得当 在该 个函数在区间 那么称这 内 线性相关． 否则称这 线性无关. 个函数在区间 内 例如， 在( ,  )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关.

又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点可知, 必需全为 0 , 在任何区间 I 上都线性无关. 特别地: 若 中有一个恒为 0, 必线性 相关 则 若在 I 上有 常数 在 I 上线性无关. 则

定理2：如果 与 是二阶线性齐次方程 的两个线性无关的 特解, 即为该方程的通解. 为任意常数, 那么 推论. 的 n 个线性无关解, 为任意常数, 则方程的通解为 若 是 n 阶齐次方程

例如 常数, 为该方程的通解. 例如 为该方程的通解.

三、非齐次线性方程的解的结构: 定理3 设Y 是二阶齐次线性方程 的通解； 是二阶非齐次线性方程 的一个特解, 为该二阶非齐次线性微分方程的通解. 则

定理4 的特解, 分别是方程 设 的特解. 是方程 则 (非齐次方程解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.

例如, 方程 有特解 方程 有特解 则 是方程 的特解， 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为

定理 给定 n 阶非齐次线性方程 设 是对应齐次方程的 n 个 线性无关特解, 的特解， 是非齐次方程 则非齐次方程(2)的通解为

常数, 则该方程的通解是 ( ) 设线性无关函数 都是二阶非齐次线性 方程 的解, 是任意 例1.

已知微分方程 有三个解 求此方程满足初始条件 的特解. 例2. 解: 是对应齐次方程的解, 常数 且 因而线性无关, 故原方程通解为 故所求特解为

*四、常数变易法 复习: 对应齐次方程的通解: 常数变易法: 设非齐次方程的解为 代入原方程确定

对二阶非齐次方程 (3) 情形1. 已知对应齐次方程通解: 设(3)的解为 (4) 待定 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程 为使 中不含 令 (5)

(5) 于是 将以上结果代入方程 (3) : (6) 得 由于 线性无关，可以证明 (5),(6)联立的方程组有唯一解 是对应 齐次方程的解 运行时, 点击按钮“P10”, 可显示线性无关条件. 由于 线性无关，可以证明 (5),(6)联立的方程组有唯一解

积分得: 代入(4) 即得非齐次方程的通解: 说明: 将(3)的解设为 只有一个必须满足的条件即 因此必需 再附加一个条件, 运行时, 点击按钮“方程3”, 或“代入③” , 可显示方程③. 只有一个必须满足的条件即 因此必需 再附加一个条件, 方程(5)的引入可以简化计算. 方程(3),

对二阶非齐次方程 (3) 仅知对应齐次方程的一个非零特解 情形2. 设 代入(3) 化简得 (一阶线性方程) 设其通解为 积分得 (3)的通解为：

的通解为 的通解. 已知齐次方程 求 例3. 解: 将所给方程化为: 令 利用(5)(6)建立方程组: 积分得 故所求通解为

的通解. 求方程 例4. 解: 对应齐次方程为 由观察可知它有特解: 令 代入非齐次方程后化简得 解上述可降阶微分方程,可得通解: 故原方程通解为

内容小结 主要内容 线性方程解的结构； 线性相关与线性无关； 降阶法与常数变易法； 补充内容 可观察出一个特解

思考题 已知 都是微分方程 的解，求此方程所对应齐次方程的通解. 思考题解答 是对应齐次方程的解， 常数， 所求通解为

作 业 作业提交时间：2013年1月7日上午8:00AM P323 1(5, 10), 2(2,4), 3 有兴趣的同学可留意课本上本节的应用题。 P331 1(不用交) 作业提交时间：2013年1月7日上午8:00AM