概率论与数理统计

第一节 随机变量的 数学期望 一、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、应用实例

一、数学期望的概念 1. 问题的提出 1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望

引例1 分赌本问题(产生背景) A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?

分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况: A A A B B A B B A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局: 前三局: A胜2局B胜1局 后二局: A A A B B A B B A胜 B胜

故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的 可能性大小之比为 3:1. 即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的 因此, A 能“期望”得到的数目应为 而B 能“期望”得到的数目, 则为

若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 其概率分别为: 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为 X的可能值与其概率之积的累加.

引例2 选拔运动员 设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下: 甲射手 乙射手 试问哪个射手技术较好?

解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为 故甲射手的技术比较好. 甲射手 乙射手

引例3 加权平均成绩 设某学生四年大学各门功课 成绩分别为 其学分分别为 , 则称 为该生各门课程的算术平均成绩.

而 为该生的加权平均成绩. 显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种 , 可见加权平均才充分的体现了 特例, 即 平均值的意义.

2. 离散型随机变量的数学期望 通过上述3个引例, 我们可以给出如下定义 定义3.1 设离散型随机变量 X的分布律为 若级数 , 则称 绝对收敛, 即 级数 的和为随机变量 X 的数学期望, 记为EX, 即

注1º EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. 注2º 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求 是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的 平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.

3. 常见离散型随机变量的数学期望 例1 (二项分布) 设随机变量X~Bn, p, 求EX. 解 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 则有

 np 同时可得两点分布B1, p的数学期望为 p.

例2 (泊松分布) 设随机变量 X P(), 求EX. 解 设X , 且其分布律为 则有 因而泊松分布P的数学期望为 .

例3 (几何分布) 设随机变量X 服从几何分布, 求E(X). 解 设随机变量X 的分布律为 则有 这是因为

常见离散型分布的数学期望小结

4. 连续型随机变量数学期望的定义 定义3.2 设连续型随机变量X 的分布密度为 px, 即 则称积分 的值为随机变量X 的 数学期望, 记为EX, 即

5. 常见连续型随机变量的数学期望 设随机变量X服从均匀分布, 例4 (均匀分布) 求E(X). 解 则有 因而均匀分布数学期望位于区间的中点.

例5 (正态分布) 设随机变量 , 求EX. 解 设 , 其分布密度函数 则有

令 所以 因而参数 为正态分布的数学期望.

例6 (指数分布) 求EX. 解

例7 (伽玛分布) 设随机变量X , 求EX. 解 设随机变量X , 则密度函数为 当 1时, X服从指数分布Exp, 这时

常见连续型分布的数学期望小结

6. 数学期望不存在的实例 例8 设离散型随机变量X的分布律为 求EX. 解 由于 但是 因而其数学期望EX不存在.

二、随机变量函数的数学期望 (一) 一维随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出 数学期望 X E(X) 数学期望 f(X) (一) 一维随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出 数学期望 X E(X) 数学期望 f(X) f是连续函数, f(X) 是随机变量, 如: aX+b, X2等等.

2. 一维随机变量函数数学期望的计算 如何计算随机变量函数的数学期望? 方法1 (定义法): f(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Ef(X). 见2.3节的相关内容 关键: 由X的分布求出f(X)的分布. 难点: 一般f(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.

方法2 (公式法): 定理3.1 设X是一个随机变量, Y f(X), 则 当X为离散型时, P(Xxk) pk , (k 1,2,…); 当X为连续型时, X的密度函数为p(x). 求E[f(X)]时, 只需知道X的分布即可.

证 现在只证明定理的特殊情形: 设X的密度函数为 函数 f 单调连续, x f 1y为其反函数, 并且可导, 同时  y  , 则

即

例9 (考研试题) 设某种商品的需求量X是服从[10,30]上 的均匀分布的随机变量, 而经销商店进货数量 为区间[10, 30]中的某一整数, 商店每销售一单 位商品可获利500元. 若供大于求则削价处理, 每处理1单位商品亏损100元; 若供不应求, 则 可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利 300元.为使商品所获利润期望值不少于9280 元, 试确定最少进货量.

解 设进货量为a, 则利润为 因此期望利润为

因此 即最少进货量为21单.

(二) 二维随机变量函数的数学期望 对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以由类似于定理3.1得到. 1. 二维离散型情形 (二) 二维随机变量函数的数学期望 对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以由类似于定理3.1得到. 1. 二维离散型情形 设X,Y为二维离散型随机变量, Z  f X, Y为 二元函数, 如果EZ存在, 其中X, Y的联合概率分布为pij .

2. 二维连续型情形 设X,Y为二维连续型随机变量, Z  f X, Y为 二元连续函数, 如果EZ存在, 则 其中X,Y的联合概率密度为px, y.

例 10 设X,Y的分布律为 求EX, EY, 解 X的分布律为

Y的分布律为 因为(X,Y)的分布律为

Y/X的分布律为 计算可得

 5.

例11 设X  N(0,1), Y  N(0,1), X 与Y相互独立, 解 (作极坐标变换)

三、数学期望的性质 性质3.1 设C是常数, 则有ECC. 证 性质3.2 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证 性质3.3 设 X、Y 是两个随机变量, 则有

证 推广

性质3.4 设 X、Y是相互独立的随机变量, 则有 证 注 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机 变量数学期望的性质类似. 上述证明只证了一类.

例12 一民航送客车载有 25 位旅客自机场开出, 旅客有9个到达一个车站车站可以下车. 如没有 旅客下车就不停车, 以X表示停车的次数, 求EX (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设 各旅客是否下车相互独立). 解 引入随机变量Xi ,

设随机变量X ~ N0,1, Y ~U0,1, Z~B5,0.5, 例13 设随机变量X ~ N0,1, Y ~U0,1, Z~B5,0.5, 且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W  2X+3Y4Z1 的数学期望. 解

四、应用实例 厂家的销售策略 某设备寿命X(以年计)服从 的指数分布. 按规定: 出售的设备在售出的一年内损坏可予 以调换. 若出售一台设备赢利100元, 调换一台 设备厂方需花费300元. 求厂方出售一台设备净 赢利Y的数学期望. 解 依题设, 有

寿命不超过1年的概率＝出售的设备在售出一年之内调换的概率 寿命超过1年的概率＝不需调换的概率 因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为　 .

发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润. 解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则

每张彩票平均能得到奖金  0.5(元). 每张彩票平均可赚 2  0.5  0.3  1.2(元). 因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为

如何确定投资决策方向? 某人现有10万元现金, 想投资于 某项目, 为期一年. 欲估成功的机会 为30%, 并可获利8万元, 失败的机会 为70%, 将损失2万元. 若存入银行, 同期间的利率为5%, 哪一种方案可 使投资的效益较大? 解 设X为投资利润, 则 存入银行的利息: 故应选择投资.

内容小结 数学期望是一个实数, 而非变量, 它是一种 加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上 体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值. 2. 数学期望的性质

再见

备用题 例 8-1 设随机变量X的分布律为 求证: 随机变量X没有数学期望. 证 由定义, 数学期望应为 由微积分学可知, 右边的级数发散. 证 由定义, 数学期望应为 由微积分学可知, 右边的级数发散. 因此, 随机变量X 没有数学期望.

例8-2 (柯西分布) 设随机变量X服从柯西分布, 求EX. 解 因X服从柯西分布, 则其密度函数为 由于 因而其数学期望E(X)不存在.

游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光, 例9-1 电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55 分钟从底层起行. 假设在早上的8点的第X分钟 到达底层候梯处, 且X在[0,60]上服从均匀分布 求游客等候时间的数学期望. （考研试题） 解 已知X在[0,60]上服从均匀分布, 其密度为

设Y是游客等候电梯的时间(单位:分), 则 因此

 11.67

例 9-2 设随机变量X的分布密度函数为 试求 . (考研试题) 解

例 9-3 （报童问题）设某报童每日的潜在卖报数 X服从参数为的泊松分布. 如果每卖出一份报 可报酬a, 卖不掉而退回则每份赔偿b, 若某报童 买进n份报, 试求其期望所得. 进一步, 再求最佳 的卖报份数. 解 若记真正卖报数为Y, 则Y与X的关系如下：

则Y的分布为 记所得为Z, 则Z与Y的关系如下: 因此期望所得为

当a, b,  给定后, 求n使Mn达到极大.

利用软件包求得计算结果如下: