数学实验 吸烟问题 上海交通大学数学系 乐经良

饭后一支烟，赛过活神仙。 —中国民间流行语 那吐出的烟，袅袅地燎绕着，也够你一回两回的捉摸，它可以领你走到顶远的地方去。即便在百忙当中，也可以让你轻松一忽儿。…，一刁上烟，真能悠然遐想。他霎时间是个自由自在的身子。 — 朱自清 中国不但人口冠全球，也是吸烟人数最多的国家，烟民总数达3.2亿以上。法国流行一句新谚语：“像中国人一样吸烟”。 — 报刊文摘

吸烟每年曾使39万美国人，死于非命；男性烟民比不吸烟者死于肺癌的可能性平均高15倍。 — 美国卫生局医务主任报告 中国成年男性总死亡中,12％归因吸烟，最终可能增至33％；故现今0－29岁的3亿多男性约有1亿人最终将因吸烟而死亡；1990年中国吸烟致死人数为60万，至本世纪初，每年接近100万。 — 中美合作医学研究报告 香烟在不完全燃烧过程中形成大量新的物质，从烟雾中分离出有害成分达3000余种，主要毒物为尼古丁（烟碱）、烟焦油等。 — 于宗河

欧洲各国的反抽烟措施各不相同。丹麦的办法是课以重税，一包香烟的售价高达3.9美元，其中87％是税收。 比利时规定，对在公共建筑内如医院、学校、邮局、公厕等抽烟者处以最高1万8千法郎的罚款。 美国禁止在公共场所抽烟，不准在饭馆、酒家内抽烟，也不准在公用办公室内抽烟。目前美国男人中抽烟的比例一直在下降，青少年中抽烟者也在下降。 在世界各国都盛禁烟的风潮中，中国抽烟人数一直在增加中。中国的反抽烟运动不力，原因是多方面的，但其中一个重要因素是中国过去的政府领导人带头抽烟。另一个则是烟草业的巨大利润。 —以上见自报刊

实际问题 支含焦油 800 mg，其长10cm,烟草部分长8cm, 滤嘴部分长2cm, 烟草对焦油的吸收速率为 b “golden camel ” 公司生产一种A香烟，每 支含焦油 800 mg，其长10cm,烟草部分长8cm, 滤嘴部分长2cm, 烟草对焦油的吸收速率为 b = 0.02/s (s表示秒)，滤嘴对焦油的吸收速率 为β = 0.08/s,若在吸烟过程中烟雾在香烟 内的速度为V =5cm/s,试求吸烟者每吸一支这 种烟，有多少焦油进入口中？

基本假定 在吸烟的过程中，香烟燃端移动的速度为常数v, 烟雾以常速V 通过香烟内部，且假定后者的速度远大于前者；在燃烧的烟中释放的焦油有份额a = 0.3 进入香烟，其余份额1－a 进入空气.

建立模型 设烟雾中J 密度为 (x,t) 那么J 在x 处的流(量)速=q(x,t)=(x,t)V 在烟嘴处的J的流量速 q(X,t) 0 x0 x x＋ x  X 烟嘴处 烟头燃端 设烟雾中J 密度为 (x,t) 那么J 在x 处的流(量)速=q(x,t)=(x,t)V 在烟嘴处的J的流量速 q(X,t) 若一支烟燃烧需时间T,则全吸入口中量为

t 时刻香烟内烟雾中焦油J的分布 烟雾中J 流过x 处的量－ J 流过x ＋ x处的量 = 从x 到x＋ x 处J 被这段烟草吸收的量 而烟雾过烟草部分x到x+Δx段(x0< x≤）J 在单位 时间被吸收速度 于是可导出烟雾中J 的密度ρ 满足的方程

任务 同样在滤嘴部分 ≤ x ≤X ： 这是偏微分方程，但可以积分 设x0处J 的流量速为H(t)，由此时Vρ ＝aH(t) 可解出 ρ ＝g(x, x0)H(t) 注意利用ρ两段的解在x ＝  处相等，可导出 ρ在滤嘴部分的表达式 任务 试求出g(x，x0）

如何求H(t) x0= vt 设烟燃端移动速度为v, 则时刻t 燃端的位置 设烟草中焦油的密度为W(x, t)，在[0,t]内燃端 释放焦油量 J 为 故t 时刻燃端焦油J 的释放速度为 H(t)＝ 问题转为求W(vt,t)， (ρ ＝g(x, x0)vW(vt,t) )

吸烟过程中J的释放 （求W(vt,t)） 于是这段烟中J 的含量的变化速度为 含量的变化来自烟雾经过这段烟时的吸附 x到 x+Δx这段香烟中J 的含量为 于是这段烟中J 的含量的变化速度为 含量的变化来自烟雾经过这段烟时的吸附

利用x和Δx的任意性， 对变量 t 积分 注意W(x,0)为常数W0，令 x = v t, 两边乘以v 可化为微分方程. 回顾相关已知条件 W0＝800/8=100, b = 0.02/s ，假定v=0.1cm/s

数值方法 关键的方程 前一个方程用Euler法，利用初值H(0)=vW0 可求 近似解Hk=H(kh), h是T 的n等分 注意x=vt 时Vρ ＝aH(t) 求得 值在点（xk, tk）

如何求所需密度 将偏微分方程离散化 其中t=tk , τ=vh 可求出t=tk 上的所有xi上 的值i(tk) xk xk+1 其中t=tk , τ=vh 可求出t=tk 上的所有xi上 的值i(tk) 从此开始向右 在滤嘴部分 也类似可求 总吸入量

任务 试用数值和解析两种方法求出H(t) 试用数值和解析两种方法求出烟雾的吸入量 若A香烟没有滤嘴，长10cm，其他数据不变，那么 抽一支这种烟将吸入口中多少焦油？ 根据上一问题，没有滤嘴的香烟在抽到多少长度 时中止吸食是适宜的？

进一步的任务 “Golden camel”公司拨款$1000000用于改进A香烟 的研究；据估计每降低香烟烟草中焦油含量1毫 克要花费$1000，而每增加滤嘴对焦油的吸收率 0.01/s需花费$10000,问应如何分配款项于这两项 研究？ 如果降低香烟烟草中焦油第k毫克花费10001.2k, 那么又该如何分配款项？又若同时增加滤嘴对 焦油的吸收率0.0m/s需100001.1m，结论如何？