第七章 离散信号与系统时域分析 7-1 离散时间信号 一、定义: 只在一系列离散的时间点上才有确定值的信号。 第七章 离散信号与系统时域分析 7-1 离散时间信号 一、定义: 只在一系列离散的时间点上才有确定值的信号。 而在其它的时间上无意义，因此它在时间上是不连续的序列,并是离散时间变量的tk函数。 获取方法： 1）直接获取 2）连续信号取样 表示方法： 1）图形表示 2）数据表格 3）序列表示 取样间隔一般取均匀间隔 t 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 u(t) 1.2 1.4 1.3 1.7 1.1 1.9 1.8 一般简化记为f(n)或f(k)

例: 试写出其序列形式并画出图形。 解：序列形式 波形： 序列的几种形式 单边序列： 右序列： k<0，f(k)=0 有限序列：k1<k<k2,f(k)0

二、离散信号时域运算 1.相加: 用同序号的值对应相加后构成新的序列。 y(k)=f1(k)+f2(k)

2.相乘: 同序号的数值对应相乘后构成新的序列。 2.相乘: 同序号的数值对应相乘后构成新的序列。 y(k)=f1(k)f2(k)

3、数乘: 完成序号值的比例运算。 y(k)=Af(k) 4、累加和: 序号前k项值累加得到一个新序列。

5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。 y(k)=f(k)-f(k-1) （后向差分） y(k)=f(k+1)-f(k) （前向差分） 三、离散信号时域变换 1.移序: y(k)=f(k-m) 2.折叠: y(k)=f(-k) 3.倒相: y(k)=-f(k) 4.展缩: y(k)=f(ak) (横坐标k只能取整数) 即：展缩后序列y(k)可能会出现 k为非整数情况，此时舍去非整数的k及其值

1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数） 四、常用离散信号 1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数） 性质： 推广： (t) ：奇异信号，数学抽象函数； (k)：非奇异信号，可实现信号。 可见，(k)作用类似于(t)， 但二者有较大差别：

注意： 利用单位序列(k)表示任意序列 例： (t)用面积（强度）表示， (幅度为,但强度为面积) (k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）

U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； 2.单位阶跃序列 推广： 性质： U(k)：非奇异信号，可实现信号。 可见，U(k)作用类似于U(t)， 但二者有较大差别： U(k)可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。

3.单位矩形序列（单位门序列） 4.斜变序列

5.单边指数序列

6.正弦序列 （模拟角频率） (T为抽样间隔时间) 令 （数字角频率）

离散正弦序列的周期

注意：

7-2 离散时间系统基本概念 y(k)=T{f(k)} 离散时间系统 f(k) y(k) 二、分类： 时不变系统 因果系统 线性系统 7-2 离散时间系统基本概念 一、定义： 激励、响应均为离散时间信号的系统。 离散时间系统 f(k) y(k) y(k)=T{f(k)} 二、分类： 时不变系统 时 变 系 统 因果系统 非因果系统 线性系统 非线性系统 线性系统： 时不变系统： 因果系统

y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k) =(a-b+1)y(k)+f(k) 三、离散时间系统模型 1、差分方程描述： 例1：y(k)表示一个国家在第k年的人口数， a、b分别代表出生率和死亡率，是常数。设f(k)是国外移民的净增数，则该国在第k+1年的人口总数y(k+1)为多少？ y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k) =(a-b+1)y(k)+f(k) 所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k) 例2：某人每月初均存入银行固定款f(k) ，月息为a ，每月本息不取，试求第k个月的初存入款时的本息和y(k) 为多少？ 有 y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)

例3： 例4：图示电路，写出节点电压关系。

y(k-1)E-1 y(k) y(k+1)Ey(k) y(k-N)E-N y(k) y(k+N)EN y(k) 讨论： （1）差分方程： 由激励序列f(k) 、响应序列y(k)以及其移序序列组成的方程。 含y(k)，y(k-1)，…的差分方程: 后向差分方程 含y(k)，y(k+1)，…的差分方程: 前向差分方程 （2）差分方程 阶数：响应最高序号与最低序号的差值。 （3）离散自变量k不一定限于时间。 2、传输算子描述 （1）移序算子 y(k-1)E-1 y(k) y(k+1)Ey(k) y(k-N)E-N y(k) y(k+N)EN y(k) E-1 : 单位延迟算子

2） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k) （2）算子形式的差分方程 [1-(1+a)E-1 ]y(k)=f(k) 2） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k) 对于一般n阶离散系统，有 （3）传输算子

3. 模拟框图 f1(k) 3) 延迟器 y(k) （1）模拟单元 1）加法器 y(k)=f(k-1) f2(k) f(k) y(k) 2) 比例器 f(k) y(k) （2）模拟框图 4、信号流图

例1：图示框图，写出差分方程。 系统的差分方程为 例2：图示信号流图，写出传输算子。

齐次差分方程：f(k)及其各依序项均为零，即求解方程： 7-3 离散系统时域经典分析 一、齐次差分方程时域解 传输算子 齐次差分方程：f(k)及其各依序项均为零，即求解方程： 1）自然频率全部为单根： 2）自然频率含重根： E1=E2…=Er，其余单根

例1：已知某系统激励为零，初始值y(0) =1 ， y(1)=4，描述系统的差分方程为 求系统的响应 y(k)。 解： =1 系统自然频率为： =4 例2：已知某离散系统初始值为y(0)=2，y(1)=0，传输算子 求激励为零时系统的响应y(k)。 解： =2 =0

例3：如图所示离散时间系统模拟框图，当f(k)=0，y(1)=1，y(2)=0，y(3)=1，y(5)=1。求响应y(k)。 解： 由图可求得传输算子为

解： 由图可求得传输算子为 由题目给定条件，有

二、非齐次差分方程时域解 传输算子 特征方程 （自然频率） 时域解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 齐次方程通解形式取决于系统的自然频率，即特征根的形式； 非齐次方程特解形式取决于系统的激励形式，不同激励有不同的特解形式。

几种典型信号激励下相应特解的形式： (不含等于1的特征根) (含有r重等于1的特征根) (不含等于a的特征根) (含一个等于a的特征根) (含有r个等于a的特征根)

例：已知描述系统的差分方程为 初始条件y(0)=0， y(1)=2，求系统的响应 y(k)。 解： 代入差分方程，可得

经典法基本步骤： 1）求系统数学模型（差分方程、传输算子等）； 2) 写出特征方程，并求出特征根（自然频率）； 2) 写出特征方程，并求出特征根（自然频率）； 3）根据特征根，求对应齐次方程通解y0(k)； 4）根据激励形式、特征根，写出差分方程的特解形式，代入差分方程，求非齐次方程特解yt(k) ； 5）写出非齐次方程通解 y(k)= y0(k) + yt(k) ： 6）根据初始值确定y(k)中y0(k) 部分待定系数； 7）写出给定条件下非齐次方程解。

… … 四、全响应分解形式 三、差分方程递推求解法 全响应=自由响应+强迫响应 全响应=零输入响应+零状态响应 全响应=暂态响应+稳态响应 缺点：难以形成封闭形式（解析式），响应规律性难以确定。 优点：任意形式激励，计算机求解容易、直观。

y(0)： 系统在有了激励信号之后系统的初始条件，既有零输入时初始状态（初始储能），也有激励信号的贡献 五、离散系统的初始状态 y(0)=yzi(0) +ysi(0) y(0)： 系统在有了激励信号之后系统的初始条件，既有零输入时初始状态（初始储能），也有激励信号的贡献 yzi(0): 零输入初始值，表示激励信号作用之前（零输入）系统的初始条件，与系统激励无关，是系统的初始储能，是系统真正的初始状态 ysi(0)： 零状态的初始值，仅有激励信号产生 六、初始状态的应用 1、求零输入响应时，应采用零输入初始值yzi(0) 2、求零状态响应时，即yzi(0)=0，而不是y(0)=0 3、求全响应时，用初始条件确定常数，采用y(0)

例：已知某系统初始状态y(-1)=0， y(-2)=0.5，描述系统的差分方程为 求系统的响应 y(k)。 解： 零状态下：y(-1)=y(-2)=0，并代入上式，有

7-4 离散系统单位序列响应 一、单位序列响应定义 激励为单位序列信号时离散系统的零状态响应. 二、单位序列响应求解 1、 一阶系统 7-4 离散系统单位序列响应 一、单位序列响应定义 激励为单位序列信号时离散系统的零状态响应. 二、单位序列响应求解 1、 一阶系统 当 f(k)=(k), y(k)=h(k)时，有 （1） 递推法：

（2）等效初值法： 由于单位序列(k)仅在k=0处等于1，而在 k>0时为零，因而在k >0时，系统的单位序列响应与该系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求单位序列响应的问题转换为求差分方程齐次解的问题，而k=0处的值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。 求齐次差分 方程通解 （3）传输算子法：

2、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法 传输算子法求解h(k)步骤：

2、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法 例1：求单位序列响应h(k)，已知描述系统的差分方程为 解： 代入通解求待定系数： 递推求初值：

例2：求系统单位序列响应h(k)，已知描述系统的传输算子分别为 解：

7-5 离散系统时域卷积和分析法 (k-m)  h(k-m) y(k)=yx (k)+ yf (k) 7-5 离散系统时域卷积和分析法 y(k)=yx (k)+ yf (k) yx (k): 取决于系统自然频率和初始值 yf (k): 取决于系统自然频率和激励 一、系统零状态响应 (k) h(k) (k-m)  h(k-m) f(m)(k-m)  f(m)h(k-m) 此称为f(k)与h(k)的卷积和 (Convolution) 记作： yf (k)=f(k)*h(k) f (k)=f(k)* (k)

二、常用信号的卷积和 1、f(k)与单位序列信号卷积 2、f(k)与单位阶跃序列卷积 3、U(k)与akU(k) 卷积 三、卷积和的性质 1．交换律 2. 分配律 3. 结合律

四、卷积和的计算 1．利用定义计算 例：f(k)=akU(k) ， h(t)=bkU(k) ，求卷积和y(k)=f(k)*h(k). 2. 利用常用信号卷积与有关性质计算 3. 利用卷积求和表计算 1）f(k)、h(k) f(m)、h(m) 2） h(m) h(-m) （折叠） 3） h(k-m) （平移） 4） f(m) h(k-m) （相乘） 5） 求和计算 4. 利用图解法计算 5. 利用数值求和法计算

例：用图解法求图示信号的卷积和y(k)=f(k)*h(k)。

6. 利用列表法计算 0.12 0.09 0.06 0.03 0.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.02 0.04 0.03 0.02 0.01

7、序列相乘法 f(k) : 0 0.4 0.3 0.2 0.1 0 h(k): 0 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 X 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.12 0.09 0.06 0.03 0 0.12 0.17 0.20 0.21 0.16 0.09 0.04 0.01 0

离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和。即 说明：若f(k)非零值N个，位于 h(k)非零值M个，位于 则：y(k)=f(k)*h(k)的非零值有(N+M-1)个，位于 五、离散系统卷积和分析 离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和。即 分析步骤： 1）求单位序列响应； 2）计算卷积和

例1 解: 例2 解: 例3： 单位阶跃响应：当激励为U（k）时系统的零状态响应即：

例4: 解:

本章要点 1、离散信号基本概念：定义、分类、常用离散信号特性{(k)、U(k)、ak(k)、GN(k)等} ； 2、离散信号时域变换与运算：折叠、时移、展缩、倒相；相加、相乘、数乘、差分和累加和； 3、离散系统的基本概念：定义、分类、线性时不变系统的特性； 4、时域经典法：差分方程与传输算子、差分方程求解、系统自然频率及其求解方法、全响应三种分解形式； 5、时域卷积和法： h(k)求解方法、零状态响应卷积和计算（卷积和定义、运算规律、主要性质、计算方法）