3.4 定积分的进一步应用 3.4.1 平面图形的面积 3.4.2 立体的体积 3.4.3 平面曲线的弧长 3.4.4 变力沿直线所作的功 3.4.5 压力 3.4.6 引力 3.4.7 函数的平均值

3.4.1 平面图形的面积 一、不规则图形的面积 二、 进一步练习

一、不规则图形的面积 一般地，求由区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)、y=g(x) 以及直线x=a、x=b围成的平面图形的面积， 如图所示，用微元法分析如下． (1) 任意一个小区间 （其中x、 ）上的 窄条为面积dS可以用底宽为dx， 高度 的窄条矩形的

面积来近似计算，即面积微元为 (2) 以 为被积表达式，在区间 上积分，得该平面图形的面积

二、进一步的练习 练习1 [窗户面积] 某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线，下方为直线，如图所示，求此弓形的面积． 解 建立直角坐标系如图所示． 设此抛物线方程为 ， 因它过点 ， 所以 即抛物线方程为

此图形的面积实际上为由曲线 与直线 所围成图形的面积，面积微元为 面积为 (m２) 所以窗户的面积为0.683m2．

练习2 [游泳池的表面面积] 一个工程师正用CAD（computer-assisted desigen计算机辅助设计）设计一游泳池，游泳池的表面是 由曲线 以及x=8围成 的图形，如图所示，求此游泳池的表面面积．

解 解联立方程组 得两条曲线的左交点(0,0)，右交点的横坐标 大于8．于是，面积微元为 此游泳池的表面面积为 = 77.26（m２）

3.4.2 立体的体积 一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积 三、 进一步练习

一、平行截面面积为已知的立体的体积 设一立体位于平面 x=a、x=b（a<b)如图所示.任意一个垂直于x轴的平面截此物体所得的截面面积为 A(x),A(x)是[a,b]上的连续函数．该立体介于区间 之间的薄片的体积微元dV. 可用底面积 A(x) 、高为 dx 的柱形薄片的体积近似计算， 从而体积微元为

将其在区间[a,b]上积分，得到该立体的体积 二 旋转体的体积 (1) 平面图形绕x轴旋转所成的立体的体积 由连续曲线y=f (x)、直线 x=a、x=b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体，如图所示．

它被任意一个垂直于x轴的平面所截，得到的截面为 以f(x)为半径的圆，其面积为 故所求旋转体的体积为 (2) 绕y轴旋转所成的立体的体积 、直线 y=c、 由连续曲线 y=d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为

三、进一步的练习 练习1 [喇叭体积] 一喇叭可视为由曲线 直线x=1以及x轴所围成 的图形绕x轴旋转所成的旋转体，如图所示． 求此旋转体的体积．

在[0,1]上任取一点x，此旋转体的体积微元可近似 解 地视为以f (x)为半径的圆为底（即以面积为 的圆为底）的柱体，从而体积微元为 所求旋转体的体积V为

练习2 [机器底座的体积] 某人正在用计算机设计一台机器的底座，它在第一 、 以及x轴、y轴围成， 象限的图形由 底座由此图形绕y轴旋转一周而成，如图所示． 试求此底座的体积．

解 此图形实为由曲线 与直线y=2、 y=0 以及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的 旋转体．体积微元为 所求体积为

3.4.3 平面曲线的弧长 一、弧长的计算 二、 进一步练习

一、弧长的计算 曲线y=f(x)相应于 [a,b]上的任一微小区间 的一小段弧的长度 ，可以用该 曲线在点（x,f(x)）处的切线上相应的一小段 的长度ds来近似代替， 所以弧长微元(即弧微分)为 所求弧长为

二、进一步的练习 练习1[运动路程] 已知一物体的运动规律为 （t的单位：s；s的单位：m）．求它从时刻t=0s到 时刻t=1s所移动的距离． 解 物体的运动规律由参数方程给出，随着时间t的变化，物体运动的轨迹是一条曲线．此问题事实上是求该曲线从t=0s到t=1s的一段弧长．

由参数方程下弧长的计算公式，得

练习2 [悬链线长度] 下图所示的函数为 ，这一函数称作 悬链线，它表示的是一悬挂在空中的线缆的形状， 求此悬链线位于x=-1和x=1之间的长度． 解 由式弧长的计算公式，得

利用对称性，得

3.4.4 变力沿直线所做的功 一、功的计算 二、 进一步练习

一、功的计算 由物理学知道，物体受常力F作用沿力的方向移动 一段距离S，则力F对物体所作的功为 如果作直线运动的物体在运动过程中所受的力是变化 的，设物体所受的力与移动的位移x之间满足y=F(x)， 求此力将物体从x=a移到x=b所作的功．

变力在一微小段 上所作的功可视为常力 所作的功，功的微元为 ， 所以，总功为

二、进一步的练习 练习1 [克服阻力所作的功] 一物体按规律 作直线运动，媒质的阻力 与速度的平方成正比，计算物体由 x=0 到 x=a 时， 克服阻力所作的功. 解 由于媒质的阻力与速度的平方成正比，设比例系数 为k，于是媒质的阻力为

在 上克服阻力所作的功(功的微元)为 当物体从 x=0 移动到 x=a 时，时间t从 t=0到 克服阻力所作的功为

3.4.5 压力 一、压力的计算 二、 进一步练习

一、压力的计算 由物理学知道，在液体深为h处的压强为p=r h，这里r是液体的比重．如果有一面积为A的平板水平地放置在某液体深为h处，平板一侧所受的液体的压力为 P= p×A 如果平板铅直放置在水中，如 图所示，此时应如何计算平板 一侧所受的水的压力呢？

二、进一步的练习 练习1 [水闸门所受的压力] 一矩形水闸门，宽20m，高16m，水面与闸门顶齐， 求闸门上所受的总压力． 解 如图选取x轴， 在 上闸门所受压力为

闸门上所受的总压力为 当 N / m3时，力 (N)

3.4.6 引力 一、引力的计算 二、 进一步练习

一、引力的计算 由物理学知道，质量分别为m1、m2，相距为r的两 质点间的引力为 其中k为引力系数，引力的方向沿着质点的连线方向．

二、进一步的练习 练习1[棒对质点的引力]　 设有一长度为l，质量为M的均匀细直棒，另有一质量为m的质点与细直棒在同一直线上，它到细直棒的近端距离为a．试计算该棒对质点的引力． 解 建立直角坐标系如图所示． 使棒位于x轴上，取x为积分变量，它的变化区间为 [0,l]

设 为[0,l]上的任一小区间．把细直棒上 相应于 的一段近似地看成质点，其质量为 ，于是引力微元为 该棒对质点的引力为

3.4.7 函数的平均值 一、案例 二、概念和公式的引出 三、 进一步练习

一、案例 [耗电量] 设C(t)(单位：度/天)为某城市第t天的耗电量，t=0 对应于2001年1月1日，则 表示该城市前 365天的总耗电量.而 =前365天的总耗电量/总天数 =前365的日平均耗电量．

表示连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上的平均高度， 二、 概念和公式的引出 函数的平均值 数 表示连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上的平均高度， 也就是函数y=f(x)在区间[a ,b] 上的平均值，如图所示．

三、进一步的练习 练习1 [平均销售量] 一家快餐连锁店在广告后第t天的销售的快餐数量 由下式给出： 求该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量． 解 该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量 为

练习3 [交流电的有效值] 电源的引线端的电压u由关于时间t（单位：s）的 函数为 （单位：伏）， U0是 表示最大电压的常数．其在1s内电压的平均值是 ，但工程师们 不用平均电压，他们运用均方根电压，其定义为 的平均值 ，即 ． 求 为 的函数．

解 注：在电常中定义交流电流i(t)和电压u(t)的有效值为 (T为周期)