一阶微分方程的一般形式是 一阶微分方程的对称形式是 一阶微分方程的显式形式是 或

一 可分离变量方程 （一） 可分离变量方程的形式 若一阶微分方程有如下形式 或 则称其为可分变量的微分方程 通过变形可变为

（二） 分离变量方程的解法 ① 设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有 即 两边积分, 得 则有 ②

反之若有 ② 则由隐函数理论 当 与 均可微且 知方程②可确定以x为自变量隐函数设为y＝ (x)， 微分②两边得 即②确定的隐函数是微分方程的解。 与 均可微且 时， 方程② 类似地当 确定以y为自变量隐函数设为 是微分方程的解。 称②为方程①的隐式通解, 或通积分.

例1 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 或 得 即 ( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

例2 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 ( C 为任意常数 ) 由初始条件得 C = 1, 故所求特解为

练习: 求方程 通解。 解法 1 分离变量 即 ( C < 0 ) 解法 2 则 故有 积分 所求通解: ( C 为任意常数 )

已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 例3 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分: 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系. 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 t 足够大时 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解

例5 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解:

思考与练习 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为

二 齐次方程 （一） 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 解法 令 则 代入原方程得 分离变量: 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.

例6 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( C 为任意常数 ) ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)

例7 解微分方程 解: 则有 分离变量 积分得 即 代回原变量得通解 (C 为任意常数) 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.

例 8 解微分方程 解: 当 时 当 时 则有 则有 分离变量 分离变量 积分得 积分得 即 即

（二）可化为齐次方程的方程 作变换 ( h, k 为待 定常数), 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程) 求出其解后, 即得原方程的解。 .

原方程可化为 令 (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程

例9 求解 解: 令 令 得 再令 Y＝X u , 得 积分得 代回原变量, 得原方程的通解:

得 C = 1 , 故所求特解为

例10:求解 解 令 则 则原方程化为 分离变量得 即 积分得 其中 整理后 故原方程有通解

三 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x)  0, 称为齐次方程 ; 若 Q(x)  0, 称为非齐次方程 .

（一） 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为

（二） 解非齐次方程 注意到非齐次方程对应齐次方程 通解为 自然 也是齐次方程的解。 ， 设 是非齐次方程的解， 计算 这当然是个函数设为 即 常数变易法: 即非齐次方程有解形如 接下来任务是求

是 的解， 则 设 即 两端积分得 故原方程的通解 即 齐次方程通解 非齐次方程特解

例11 解方程 解: 先解 即 积分得 即 则 用常数变易法求特解. 令 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 练习:利用公式计算

例12 有一电路如图所示, 其中电源 ∼ 电动势 电阻 R 和电 感 L 都是常量, 求电流 解: 列方程 . 由回路电压定律: 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件:

∼ 解方程: 利用一阶线性方程解的公式可得 由初始条件: 得

∼ 因此所求电流函数为 解的意义: 暂态电流 稳态电流

的通解 . 例13 求方程 解 方程可变为 则 分析 方程对y 言是非线性的,但对x而言却是线性的。

例14求方程 的通解 . 故方程可 解: 注意 x, y 同号, 变形为 由一阶线性方程通解公式 , 得 所求通解为 这是以 自变量的一阶线性方程 由一阶线性方程通解公式 , 得 所求通解为

例15 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 得 解: 令 求导得 即 利用公式可求出 注 此类方程称为积分方程,可以通过求导转化为微分方程; 需注意的是这类问题是一个定解问题

（三）伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 解法: 除方程两边 , 得 令 (线性方程) 求出此方程通解后, 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利简介,并自动返回. (线性方程) 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. 33

例16 求方程 的通解. 则方程变形为 解: 令 其通解为 将 代入, 得原方程通解:

一阶微分方程求解 齐次方程 1 ※可分离变量方程 解法 (1)分离变量(2)积分 换元 某些一阶方程 常系数变易 齐次 注:当方程视y为函数时不是线性的,可考察视x为函数时是否线性 2※全微分方程

思考题. 设有微分方程 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用 得 故有

2) 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为

伯努利(1654–1705) 瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .

谢谢观看！