Engineering Fluid Mechanics 工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics 中南大学

目录 第1章 流体及其主要物理性质 第2章 流体静力学 第3章 流体动力学基础 第4章 流动阻力和水头损失 第5章 孔口、管嘴出流及有压管流 第6章 明渠均匀流 第7章 明渠水流的两种流态及其转换

第二章 流体静力学 第一节 流体静压强及其特性 第二节 流体的平衡微分方程及其积分 第三节 重力作用下的流体平衡 第四节 流体压强的量测 第二章 流体静力学 第一节 流体静压强及其特性 第二节 流体的平衡微分方程及其积分 第三节 重力作用下的流体平衡 第四节 流体压强的量测 第五节 作用在平面上的流体静压力 第六节 作用在曲面上的流体静压力 1

重、难点 1.静压强及其静压强的特性。 2.静力学基本方程式的理解和应用；等压面。 3.静止流体对固体壁面的作用力：平面和曲面。

平衡有两种： 一种是流体对地球无相对运动，即重力场中的流体的绝对平衡； 一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相对运动，亦称流体对该物体的相对平衡。

第一节 流体静压强及其特性 一. 流体静压强的定义 单位：N/m2，Pa 作用在单位面积上的力

二、流体静压强的特性 1.垂直性 流体静压强的方向与受压面垂直并指向受压面，或流体静压强只能沿受压面的内法线方向作用。 反证法 dA dP

2. 各向等值性 平衡流体中任意点的静压强的大小由该点的坐标位置决定，而与作用面的方位无关。即在平衡流体内部任意点上各方向的流体静压强大小相等。 压强 p 的全微分：

证明思路 取研究对象 受力分析 导出关系式 得出结论

取研究对象 取一四面体OABC，三条边相互垂直且与坐标重合， 受力分析 质量力 表面力

导出关系式 对于任一轴 对于x轴 得出结论

平衡微分方程的推导 第二节 流体的平衡微分方程 及其积分 取研究对象 受力分析 1.表面力 2.质量力 设压强在x方向上的变化率为

流体静力学平衡微分——方程或欧拉平衡微分方程 导出关系式 对于任一轴 流体静力学平衡微分——方程或欧拉平衡微分方程

平衡微分方程的积分 前三式分乘dx，dy，dz，再相加，得 ＝dU ＝dp 令U＝U（x,y,z），且 由 积分得

积分常数C的确定 平衡微分方程的物理意义 假定平衡流体中某点的压强为p0 、力势函数为U0，则 流体的平衡微分方程实质上表明了质量力和压差力之间的平衡。 压强对流体受力的影响是通过压差来体现的.

【例】试求重力场中平衡流体的质量力势函数。 【解】该流体的单位质量分力为 x -mg y z fx＝0，fy＝0，fz＝－g 积分得 U＝－gz+C 取基准面z＝0处，U＝0（称为零势面），得 U＝－gz 物理意义：单位质量（m＝1）流体在基准面以上高度为z 时所具有的位置势能。

等压面 平衡流体中压强相等的点所组成的面（平面或曲面）称为等压面。 即 等压面性质： 1.等压面即是等势面：U ＝C ； 2.等压面与质量力矢量垂直； 3.两种不相混的平衡液体的分界面必然是等压面。

第三节 重力作用下的流体平衡 一、流体静力学基本方程 1.压强形式的静力学基本方程 在重力场中：

上式称为流体静力学基本方程，或不可压缩流体的静压强分布规律。 x z 0(y) h z0 p0 由液体自由表面上的边界条件： z＝z0，p＝p0 ，得 上式称为流体静力学基本方程，或不可压缩流体的静压强分布规律。 12

2.压强形式的方程的推论 帕斯卡定律 平衡流体中，自由表面处压强p0的任何变化都会等值地传递到液体中的任意一点上。 流体静压强分布 静止液体中，任一点的压强值与其所处的深度h成正比。因此，压强与液体深度为线性函数关系。 气体压强的计算 由于气体的密度很小，在高差不很大时气柱产生的压强很小，可以忽略，则p＝p0（即小范围内，气体压强处处相等）。

连通器原理 水平面是等压面的条件： 重力液体 静止液体 同一容器（连通） 同一介质 局部范围内 连通容器 连通容器 连通器被隔断 水 油 水银 p0 pa A B 水平面是等压面的条件： 重力液体 静止液体 1 2 3 4 同一容器（连通） 同一介质 5 6 局部范围内

一、流体静力学基本方程 2.能量形式的静力学基本方程 ——不可压缩流体的 静力学基本方程 （能量形式） 对静止容器内的液体中的1、2两点有 p0 1 对静止容器内的液体中的1、2两点有

流体静力学基本方程的能量意义是：在重力作用下平衡流体中各点的单位重量流体所具有的总势能（包括位能和压能）是相等的，即势能守恒。 x z y p0 A Z 2.静力学基本方程的物理意义 能量意义 单位重量流体 z --- 位置势能，简称位能 --- 压强势能，简称压能 --- 总势能 流体静力学基本方程的能量意义是：在重力作用下平衡流体中各点的单位重量流体所具有的总势能（包括位能和压能）是相等的，即势能守恒。

流体静力学基本方程的几何意义是：在重力作用下同一平衡流体中各点的静力水头为一常数，相应的静力水头线为一水平线。 z --- 流体距基准面的位置高度，称为位置水头 --- 流体在压强p 作用下沿测压管上升的高度，称为压强水头 --- 静压水头（或静力水头） 流体静力学基本方程的几何意义是：在重力作用下同一平衡流体中各点的静力水头为一常数，相应的静力水头线为一水平线。

测压管水头的含义 在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。 测压管内的静止液 面上p = 0 ，其液 面高程即为测点处 的 ，所以 叫测压管水头。 O O

测静压只须一根测压管 如果容器内的液体是静止的，一根测压管测得的测压管水头也就是容器内液体中任何一点的测压管水头。如接上多根测压管，则各测压管中的液面都将位于同一水平面上。 O O

敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图 测压管水头和静压水头

第四节 流体压强的量测 一、压强的度量标准 绝对压强 相对压强 （表压强） 真空压强 第四节 流体压强的量测 一、压强的度量标准 是以绝对真空（或完全真空）为起点来计算的压强值，以p’ 表示。 绝对压强 相对压强 是以当地大气压强 pa为起点来计算的压强值，以p 表示。 （表压强） 当静止流体中某点的绝对压强 p’ 小于大气压强 pa时，出现真空，所小的值为真空值，以 pv 表示。 真空压强

A 压强 A点相对压强 相对压强基准 大气压强 pa B B点真空压强 A点绝对压强 B点绝对压强 绝对压强基准 O O

压强分布图 pa pa+ρgh pa pa+ρgh pa+ρgh1 pa pa pa+ρg2R pa+ρg(h1+h2) pa+ρgh1

二、压强的度量单位 应力单位 N/m2（Pa），kN/m2（kPa） 其常用于理论计算； 液柱高单位 米水柱（mH2O），毫米汞柱（mmHg） 其常用于实验室计量； 工程大气压单位 1个标准大气压（atm）=1.01325×105 Pa =760 mmHg 1个工程大气压（at）= 1kgf/cm2 = 98×103 Pa 大气压与大气压强

【例】 已知▽1＝9m，▽2＝8m，▽3＝7m，▽4＝10m，大气压强为1at，求1、2、3、4各点的绝对压强、相对压强（以液柱高表示）及M2、M4两个压强表的表 压强或真空读数。 【解】

三、测压仪器 测压仪器分三大类： 金属式 有压强表与真空表之分 金属式测压仪安装方便、易读数、量程较大，但精度不高，工程当中常用。 电测式 电测式测压仪便于远距离测量及动态测量。 液柱式 液柱式测压仪构造简单，方便可靠，测量精度高，但量程小，一般用于低压实验场所。

如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面处作过渡。

用比压计测量 即使在连通的静止流体区域中任何一点的压强都不知道，也可利用流体的平衡规律，知道其中任何二点的压差，这就是比压计的测量原理。

流体的平衡规律必须在连通的静止流体区域（如测压管中）应用，不能用到管道中去，因为管道中的流体可能是在流动的，测压管不只是为测量静压用的。

液柱式测压仪表如下： 测压管 真空计或倒式测压管 当测压管所测压强大于2mH2O时，不便使用。

U形测压管 h 2 1 A ρ ρp 注意：目前的实验室常以某些密度较大的油来代替测压管中的水银，积极推行国家提倡的无汞实验室。

U形差压管 对(a)图： 对(b)图： 若A、B处为同种液体，且同高，即hA＝hB+h ，得 若为水与水银： H A B h ' ρ 空气 （ a ） 对(b)图： A B ρ p h 1 2 （ b ） 若A、B处为同种液体，且同高，即hA＝hB+h ，得 若为水与水银：

复式压力计（多管测压计） 若球形容器内是气体，U 形管上端也充以气体，则 若容器中所装为液体，U 形管上端也充满同种液体，则 h 1 2 3 A ρ p 若球形容器内是气体，U 形管上端也充以气体，则 若容器中所装为液体，U 形管上端也充满同种液体，则 当所测压强（或压差）较大时（一般大于3个工程大气压），可采用这种多管测压计。

复式压力计（多管测压计） 1.确定压强已知的面 2.根据等压面应用的条件，划出等压面 3.从已知面开始，逐步推出未知面压强

倾斜管微压计 p ρ A1 α L A2 h Δh 由A1Δh＝A2L，得 若取 ，则 可见：在适当的小倾斜角下，即使待测压强较小，在倾斜测管上也有可观的读数，从而使所测值更精确。

双杯式微压计（测量压差） 【例】已知ρ1＝900kg/m3 ，d＝4mm，D＝40mm。p1 ＝p2时，U形管中水面平齐，h＝0；若h＝100mm，求压 强差p1－p2 。 p 2 1 Δ h ρ 水 油 d D N Δh 微压计的放大效果为11mm→100mm，放大效果显著。

如图所示的密闭容器中，液面压强p0＝9.8kPa，A点压强 为49kPa，则B点压强为多少 ,在液面下的深度为多少 。 39.2kPa ; 3m 露天水池水深5m处的相对压强为： A.  5kPa ; B.  49kPa ; C.  147kPa ; D.  205kPa 什么是等压面？等压面应用的条件是什么？ 等压面是指流体中压强相等的各点所组成的面。只有重力作用下的等压面应满足的条件是：静止、连通、连续均质流体、同一水平面。

压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强？ 相对压强。 如图所示，若某点测压管水头为-0.5m,压强水头为1.5m，则测压管最小长度应该为多少？  测压管最小长度为1.5m。

第五节 作用在平面上的 流体静总压力 一、压力现象 在设计水箱、挡水闸门、油罐、水曝清砂水池等设备时，会遇到静止流体对固体壁面作用的总压力计算问题； 流体作用在固体壁面上的总压力，是由该壁面所接触的流体静压强所引起的，应用流体静压强计算公式可以计算出作用在平面上的总压力； 完整的总压力求解包括其大小、方向 、作用点。

静止流体作用在平面上的总压力是一种比较简单的情况，是平行力系的合成，作用力垂直于作用面，指向自己判断。 静压强在平面域 A 上分布不均匀，沿铅垂方向呈线性分布。 H

h H H H h H h

二、解析法求解 1. 总压力的大小 ___ 平面AB对 x轴的静面矩，其 大小为 yCA hC为平面AB的形心C处的淹没深度。 B A pa α x y C hC yC dP h dA y ___ 平面AB对 x轴的静面矩，其 大小为 yCA hC为平面AB的形心C处的淹没深度。

2. 总压力的方向 平面上的总压力是液体静压强的总和，其作用方向重合于该平面的内法线方向，即垂直指向受压平面。 3. 静面矩、惯性矩 ___ 平面面积对 x轴的静 面矩，其大小为 yCA 平面面积对x轴的面积惯性矩 —— 由平行移轴定理： Ix＝ICx+yC2A

合力矩定理：合力对任一轴的力矩等于各分力对同一轴的力矩和。 4. 压力中心 dP h dA y P D yD 表明：yD＞yC，即压力中心D点总是低于形心C点。

结论 平面上静水压强的平均值为作用面（平面图形）形 心处的压强。总压力大小等于作用面形心 C 处的 压强 pC 乘上作用面的面积 A . 2. 平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静 压强分布是不均匀的，浸没在液面下越深处压强越 大，所以总压力作用点位于作用面形心以下且与受 压面倾角θ无关。 3. 当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大 小与平面倾角θ无关。

静力奇象 只要平面的面积和形心处的淹深相同，则平板所受到的静水压力也相同。 h

【例】矩形闸门b×h＝1m×0.5m，h0＝2m，开启闸门的锁链与水面成45°角。求开启闸门所需拉力T为多大？ 【解】 压力中心D的位置为 由 所以当T≥8.11kN时，闸门被开启。

注意点 上式要写成 当平板左侧液面压强p0不等于平板右侧所受压强pa时，平板所受总压力： 则 hc ，yc 应理解为形心至相对压强 为0的自由面的水深。

三、图算法求解 当受压平面为矩形，且有一对边平行于液面时，采用图算法便于对受压结构物进行受力分析。 其中 ——压强分布图的面积

流体静压力的大小与压强分布图的体积（即以压强分布图为底面，高度为矩形宽b的柱体体积）相等。总压力的作用线通过该体积的重心，并垂直地指向受压面。由于矩形为对称图形，故压力中心D必位于对称轴上。 压力中心离底边的距离为

【例】矩形闸门b×h＝1m×0.5m，h0＝2m，开启闸门的锁链与水面成45°角。求开启闸门所需拉力T为多大？ 【解】 压力中心D距B点的距离为 由 可见，解析法和图算法两种方法所得结果相同。

【例】一块矩形平板闸门可绕轴A转动，如图。已知θ=60˚，H=6 m,h=2m,h1=1 【例】一块矩形平板闸门可绕轴A转动，如图。已知θ=60˚，H=6 m,h=2m,h1=1.5m,不计闸门自重以及摩擦力，求开启单位宽度的闸门所需的提升力FT。

【解】 平板左边挡水长度为： 左边的静水压强分布可分解为均匀荷载 和 三角形荷载 其中均匀荷载所产生的总压力为 作用点距A点距离为 三角形荷载所产生的总压力为 作用点距A点距离为

【解】 平板右边挡水长度为： 右边所产生的总压力为： 作用点距平板下缘距离为：

如图所示，浸没在水中的三种形状的平面物体，面积相同。问：1.哪个受到的静水总压力最大？2. 压心的水深位置是否相同？   1、相同；2、不相同 挡水面积为A的平面闸门，一侧挡水，若绕通过其形心C的水平轴任转a角，其静水总压力的大小、方向和作用点是否变化？为什么？ 大小不变；方向变；作用点不变。

第六节 作用在曲面上的 流体静总压力 一、压力现象 一些弧形闸门、水管壁面、球形容器及拱坝坝面等也会遇到静止流体对固体壁面作用的总压力计算问题； 由于曲面上各点的法向不同，对曲面求解总压力时，必须先分解成各分量计算，然后再合成。 h H

二、曲面总压力 dP dA h α dPz dPx dAx dAz 对整个曲面相应的投影面积积分

x 方向水平力的大小 Ax 是曲面 A 沿 x 轴向 oyz 平面的投影， hxC 是平面图 形 Ax 的形心 浸深。 A z y x n Px Ax n

结论 静止液体作用在曲面上的总压力在 x 方向分量 的大小等于作用在曲面沿 x 轴方向的投影面上的总压力。 z y x y 方向水平力大小的算法与 x 方向相同。 h A Px Ax n

z 方向水平力的大小 Az 是曲面 A 沿 z 轴向 oxy 平面的投影， V 称为压力体， 是曲面A与Az 之间的柱体体积。 A z y h Pz Px A Ax n

结论 静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量的大小等于压力体中装满此种液体的重量。 总压力垂向分量的方向根据情况判断。 A z y x n Vp h Pz Px A Ax n

压力体 是一个纯数学的概念，是一个由积分式所确 定的纯几何体，与这个体积内是否充满液体无关。 若充满流体，则称为“实压力体”，Pz 方向向下； 若不为流体充满，则称为“虚压力体”, Pz方向向上。 有液体 无液体 A A a

以曲线为下底，以自由表面或其延长线为上顶，由曲线两端点向上拉铅垂线，所构成的几何形状即为压力体的平面图形。 压力体的确定 以曲面为下底， 复杂柱面的压力体 以自由表面或其延 伸面为上顶， 以过曲面周边的垂 线形成侧面，所组 成的几何体。 以曲线为下底，以自由表面或其延长线为上顶，由曲线两端点向上拉铅垂线，所构成的几何形状即为压力体的平面图形。

严格的压力体的概念是与液体重度 γ 联系在一起的，这在分层流体情况时，显得尤为重要。 B AB面所受垂向力 Pz A

垂直分力的方向 虚上实下 无论压力体为虚为实，Pz的作用线通过压力体的重心，即平面图形的形心。

三、曲面总压力的大 小和作用点 液体作用在二维曲面上的总压力 作用方向 对于三维曲面 在一般情况下，Px、Py和Pz三个分力不一定共点，可能构成空间力系。这时不能化为单个合力，只能化为一个合力加上一个合力偶。

总压力的作用点 二维曲面总压力P的作用点的位置：作出Px及Pz的作用线，得交点，过此交点以倾斜角β作总压力P的作用线，它与曲面相交的点，即为总压力的作用点。

（a）液面上压强 p0＞pa，压力体顶面应取在液面以上； 注意：若液面上相对压强不为零（即不是自由表面），则压力体不能以液面为顶，因为压力体积分表达式中ρgh 是指作用在dAz面上的压强（包括液面上高于或低于外界大气压强的压强差值）。 A B p0 > pa p0 < pa （a）液面上压强 p0＞pa，压力体顶面应取在液面以上； （b）液面上压强 p0＜pa，压力体顶面应取在液面以下。

【例】作出二维曲面AB上的压力体，并指明 垂直分力的方向。 【例】如图贮水容器壁 上装有三个半径R=0.5m 的半球形盖；已知： H=2.5m , h=1.5m. 求 这三个盖子所受的静水 总压力。

【例】 求图中由水支撑的圆柱体的质量。直径D＝0.6m，长度为1m。设圆柱体与固体壁之间无摩擦。 【解】 圆柱体所受静水总压力的Pz分量与其重量平衡，即 Pz 由图中压力体图得

【例】 如图扇形闸门，中心角θ=450，宽度B=1米，可以绕铰链C旋转，用以蓄水或泻水。水深H=3米，确定水作用在此闸门上的总压力P的大小和方向。

【解】 扇形直径： 总压力：

如图所示圆柱形压力水罐，由上下两半圆筒用螺栓 连接而成。圆筒半径R=0.5m,l=2m.罐上压力表读数 p=29.4kPa。试求（1）两端平面盖板所受静水总压 力；（2）上下两半圆筒所受静水总压力；（3）若 螺栓材料的允许应力σ=120MPa，验证连接上下圆 筒的螺栓能否承受由水压产生的拉力。螺栓直径 d=10mm,间距e=50cm. 【例】

【解】 （1）两端盖板均为圆形平面，每个盖板所受静水总压力为： （2）上下两半圆筒水平分力为0；垂直分力的压力体如图： 压力表处水柱高度：

（3）水罐上螺栓总个数为： 螺栓所能承受的最大拉力为： 两螺栓所受总拉力为： 因此连接螺栓能够承受由罐内水压产生的拉力。 为何不用Pz下？

思考题 1.圆柱体是否会在静水压力Pz的作用下顺时针旋转？ 2.图中1，2两根测压管中水位如何？ ρ2 pa ρ1 1 2 Pz

本章作业 习题 2.4， 习题 2.8， 习题 2.12， 习题 2.17， 习题 2.18 (并求合力大小及方向)， 习题 2.20

第二章补充题 有一容器上部盛油h1=1m，ρ1=800kg/m3，下部盛水h2=2m，侧壁倾角θ=60º。求容器壁上单宽静水压力及作用位置。

第二章习题解答 补充题：有一容器上部盛油h1=1m，ρ1=800kg/m3，下部盛水h2=2m，侧壁倾角θ=60º。求容器壁上单宽静水压力及作用位置。 解： θ 油 h1 水 h2

θ 油 h1 水 h2 F2 F1 yD1 yD2 由力矩平衡 yD F

2.4 画出图中AB 面上的静压强分布图形。 pa ρgh1 pa+ρgh1 ρgh2 ρgh3 pa+ρgh2 ρgh ρgh1 ρgh ρg(h-h2) ρg(h+R) ρg(h-h2)

2.8 比压计中水银面高差h=0.36m，其他液体为水。A,B两容器位置高差为1m。试求A,B容器中心处压差pA-pB值。 解：令A容器中心与水银高差h底部距离为h’。则

2.12 矩形闸门宽度B=1.5m，上缘A处设有固定铰轴，已知L1 =2m，L=2.5m，忽略闸门自重，求开启闸门所需的提升力T。 解：1解析法 由力矩平衡 2图算法

2.17 绘出图中各个曲面上的压力体，并标示出曲面所受的垂直分力的作用方向。

2.18 直径D=4m的圆柱，在与水平面成30°的倾斜面上挡水，水面与B点齐平。求作用在1m长圆柱上的静水总压力大小及其作用方向。 解： P指向圆柱中心

2. 20 R=0. 2m的弧形闸门内有比重0. 8的油和水两层液体，容器宽B=0. 4m，油水层厚度均为h=0. 2m，比压计中h=0 2.20 R=0.2m的弧形闸门内有比重0.8的油和水两层液体，容器宽B=0.4m，油水层厚度均为h=0.2m，比压计中h=0.2m，求封闭液体所需力F为多少？ 解：铰链O处的压强为 2.7m 折算高度为 由力矩平衡