高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学（一） —— 一元微积分学 第三十五讲 二阶常系数线性微分方程
第七章 常微分方程 本章学习要求： 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 第七章 常微分方程 本章学习要求： 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法： 了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.
第五节 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐线性方程 二阶常系数非齐线性方程 特征方程 特征根
一、二阶常系数齐次线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， 即 特征方程
二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为
二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 由求根公式
由刘维尔公式求另一个解： 于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为
二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 3) 特征方程有一对共轭复根： 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为 利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。
欧拉公式： 由线性方程解的性质： 均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：
故当特征方程有一对共轭复根 时，原方程的通解可表示为
二阶常系数齐线性微分方程 特征方程 特 征 根 通 解 形 式
例 解
例 解
例 解 故所求特解为
例 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手， 开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 解
例 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手， 开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 解 取 x 轴如如图所示。 由力学的虎克定理，有 （ 恢复力与运动方向相反 ） 由牛顿第二定律，得
它能正确描述我们的问题吗？ 记拉长后，突然放手的时刻为 我们要找的规律是下列初值问题的解：
简谐振动 从而，所求运动规律为
二、n 阶常系数齐线性微分方程 形如 的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，
n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为 特 征 根 通 解 中 的 对 应 项
例 解
例 在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程 试求此方程的通解。 解
三、二阶常系数非齐线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， 它对应的齐方程为 我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。
常系数非齐线性微分方程算子解法 参考书： 《常微分方程讲义》 王柔怀 伍卓群 编 人民教育出版社
方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为 单根 二重根 你认为方程应该有什么样子的特解？ 一对共轭复根
假设方程 有下列形式的特解： 则 代入方程 (2) ，得 即 方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解： 其中：
例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得
比较两边同类项的系数，得 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为
例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 请同学们自己算 将它代入原方程，得
上式即 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为
例 解 对应的齐方程的通解为 综上所述，原方程的通解为
你有什么想法没有？
欧拉公式： 性质 4 的一个特解。
例 解 代入上述方程，得 从而，原方程有一特解为
例 解 代入上述方程，得 比较系数，得
故 从而，原方程有一特解为
例 解 由上面两个例题立即可得
例 解 对应的齐次方程的通解为 将它代入此方程中，得 从而，原方程有一特解为
故原方程的通解为 我想， 你一定会做这种推广工作。
四、欧拉方程 形如 的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中 关于变量 t 的常系数线性微分方程 。
引入算子记号： 由数学归纳法可以证明：
例 解 这是三阶欧拉方程， 作代数运算后，得 即 这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且
方程 (1) 对应的齐方程的通解为 为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得 从而 故原欧拉方程的通解为
作业 P359 1，3大题的奇数小题