第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的单调性及其极值 第四节 曲线的凹凸性 函数图形的描绘 第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的单调性及其极值 第四节 曲线的凹凸性 函数图形的描绘 第五节　函数的最大值与最小值 第六节 曲线的曲率

第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理

一、罗尔定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 则在( a , b ) 内至少存在一点 几何解释：如果在[a，b]上的图形是一条连续不间断的曲线，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标值相等，则在曲线上至少存在一点，使曲线在处的切线平行于轴。

注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如： 2) 通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点）.

例1. 证明方程 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 设 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真!

二、拉格朗日中值定理 几何解释：在曲线弧AB上 至少有一点C，在该点处的 切线平行于弦AB 满足: 在区间 [ a , b ] 上连续 则至少存在一点 使

拉格朗日中值定理的有限增量形式: 则 令 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数.

例2. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 经验: 欲证 只需证在 I 上 自证:

三、柯西中值定理 及 满足 : (1) 在闭区间 [a,b] 上连续 (2) 在开区间 (a,b ) 内可导 (3)在开区间 (a,b) 内 使 则至少存在一点

几何意义

内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 拉格朗日中值定理 罗尔定理 柯西中值定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论

第二节 洛必达法则 一. 不定式极限 二. 不定式极限 三.其他不定式极限

一. 不定式 定理 1. 存在 (或为 ) 则 (洛必达法则)

洛必达法则 推论1. 定理 1 中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 推论 2. 若 理1条件, 则

例1. 求 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !

型未定式 二、 定理 2. 存在 (或为∞) 则 (洛必达法则) 注: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.

例2. 求 解: 原式 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式

三、其他未定式: 有些函数的极限虽然不是基本未定式， 但我们可以通过适当变形化成 或 然后用罗必塔法则进行计算。

例3. 求 解: 原式 例4. 求 解:原式

内容小结 洛必达法则 令 取对数

第三节函数的单调性及其极值 一、函数单调性的判定法 二、函数的极值及其求法

一、函数单调性的判定法 定理1 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少

证明 只证(1) 在(a b)内任取两点x1 x2(x1<x2) 由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1<x<x2) 因为 f (x)>0 x2x1>0 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)>0 即 f(x1)<f(x2)  这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加

函数yexx1的定义域为( ) 因为在( 0)内 y<0 所以函数 yexx1在( 0]上单调减少 因为在(0 )内y>0 所以函数 yexx1在[0 )上单调增加 例2 讨论函数 3 2 x y = 的单调性 . 解 函数的定义域为( ) 3 2 x y = ¢ ( ¹ 0) , 函数在 处不可导 . 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单调减少 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 )上单调增加

确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求出导数f (x) (3)求出f (x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论 例3. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 利用 划分函数的定义域,列表讨论.

f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)) 二、函数的极值及其求法 函数的极值 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义 如果对于任意xU(x0)有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 函数的极值是函数的 局部性质. 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点. x1 x2 x3 x4 x5

定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0. 驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点. 思考: 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 思考: 极值点不一定是驻点. 如y=|x|,x=0是极值点,但不可导 驻点不一定是极值点.如y=x3,x=0是驻点,但不是极值点.

定理 2 (极值第一判别法) 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f (x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值.

定理3 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证 .

第四节 曲线的凹凸性与拐点 函数图像的描绘 一、 曲线的凹凸性及拐点 二、 曲线的渐近线 三、函数图像的描绘

一、曲线的凹凸性与拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方

定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .

观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.

定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形是凸的 例 1. 判断曲线yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因为当x<0时 y<0 所以曲线在( 0]内是凸的 因为当x>0时 y>0 所以曲线在[0 )内是凹的 (0,0)是曲线的拐点.

例2. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 凹 凸 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 .

二、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 或为“纵坐标差” 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 无渐近线 .

水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为垂直渐近线.

三、函数图像的描绘 描绘函数图形的一般步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求函数的一阶和二阶导数 求出一阶、二阶导数 为零的点 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析 确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标 轴的交点、其它点 (6)联结这些点画出函数的图形

(2)f (x)3x22x1(3x1)(x1) f (x)6x22(3x1) 例1. 画出函数yx 3x 2x1的图形 解 (1)函数的定义域为( ). (2)f (x)3x22x1(3x1)(x1) f (x)6x22(3x1) 令f (x)0得x1/3 1 令f (x) 0得x1/3 (3)曲线性态分析表 (,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) (1 ) 1 x f (x) f (x) f (x) ＋ － － ＋ ↗∩ 32/27 极大 ↘∩ 16/27 拐点 ↘∪ 极小 ↗∪ (4)特殊点的函数值: f(0)1, f(1)0, f(3/2)5/8.

第五节　函数的最大值与最小值

最大值与最小值问题 则其最值只能 若函数f(x)在闭区间[a b]上连续, 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此 点为x1 x2     xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1)     f(xn) f(b) ; (3)上述函数值中的最大者是函数f(x)在[a b]上的最 大值 最小者是函数f(x)在[a b]上的最小值 特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 若在此点取极大(小) 值 , 则也是最大(大) 值 . 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出.

例1.求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5.

第六节 曲线的曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径

一、弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x) 上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式: 或者

二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． ) ) 弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？ 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度.

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 转角为 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注: 直线上任意点处的曲率为 0 !

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .

曲率K 的计算公式 设曲线弧 则由 二阶可导, 又 故曲率计算公式为 有曲率近似计算公式

例2 计算等边双曲线xy1在 点(1, 1)处的曲率. 解 因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为

例3 抛物线yax2bxc上 哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|

三、 曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .

注: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数. 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).