§4.3 常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组: 本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法.
一、矩阵指数expA的定义和求法 1 expA的定义 定义 注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的. 由于 而数项级数 收敛 .
注2: 级数 在t的任何有限区间上是一致收敛的. 由于 而数项级数 收敛 .
2 矩阵指数的性质 由于: 绝对收敛级数的乘法定理 由于:
由于:
3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 (1)定理9 矩阵 是(5.33)的基解矩阵,且 证明: 又因为
例1 如果A是一个对角矩阵 解 由(5.34)得
例2 解 因为 而后面两个矩阵是可交换的
故
(2) 基解矩阵的一种求法 则 其中 注1:
二 基解矩阵的计算公式 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系 类似第四章4.2.2,寻求 形如 将(5.43)代入(5.33)得
方程(5.44)有非零解的充要条件是: 结论 即 例3 解 的根,
解得 解得
例4 解 特征方程为 为求其对应的特征向量 考虑方程组 解得
2 基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法 (1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时 定理10 是常系数线性微分方程组 的一个基解矩阵.
证明: 由上面讨论知,每一个向量函数 都是(5.33)的解,因此矩阵 是(5.33)的解矩阵, 所以
例5 解 由例3知 由定理10,矩阵 就是一个基解矩阵.
注: 但由于 有 从而 例6 试求例5的实基解矩阵. 解 由于基解矩阵为 故实基解矩阵为
求例5满足初始条件 的解
解 由于基解矩阵为 故该方程的通解为 从而 由初始条件有 故
例7 求方程组 的通解. 解 因此特征根为 它们相的特征向量为
故基解矩阵为 故通解为
(2) 矩阵A的特征根有重根时 分量是无穷级数 难! 分量表为t的指数函数与幂函数乘积有限项组合
由(5.49)有 的解产生的, 由于
由(5.51)有
注1: 故 注2: 其中
例8 试解初值问题 解 从例4知,
利用公式(5.53)即得 或者分别令
例9 如果 解 直接计算可得 因此由公式(5.53)可得
例10 求方程组 满足初始条件 解 这里系数矩阵
特征根为 由(5.48)我们需要考虑下面方程 和 首先讨论 这个方程组的解为
其次 这个方程组的解为
解之得
代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得
(3) 非齐线性方程的解 下面研究非齐线性微分方程组 由于(5.60)对应齐次方程组 的基解矩阵为 故由常数变易公式,
例10 设 的解. 解 由例6知 故初值问题的解为
三 拉普拉斯变换的应用 1用拉普拉斯变换解微分方程组 (1)定义 定义其拉普拉斯变换为 常系数线性微分方程组:
(2)定理12
(3) 推论
例11 利用拉普拉斯变换求解例10. 解 将方程写成分量形式,即
即 由此解得 故
例12 试求方程组 满足初始条件 解 对方程组取拉普拉斯变换得
即 解得 故
例12 试求方程组 满足初始条件 解
整理后得 解得 再取反变换得
2 用拉普拉斯变换求基解矩阵 对常系数齐线性微分方程组
例12 试构造方程组 的一个基解矩阵,其中 解 即 也即
由克莱姆法则,有
从而
故基解矩阵 且
作业 P236 2, 4(b),5(a) P236 5(c),6(a),7, P237 8, 10(a),11