第三节 曲线弧的性质与函数的分析作图法 一、曲线的凹凸与拐点 二、曲线的渐近线 三、函数的分析作图法 四、曲线弧的微分

在讨论曲线运动和描绘函数的图形时，仅有函数的单调性、极值和最值还不够，同样是上升曲线弧，可以形如下图中的 ( ( ，也可以形如 ( ，甚至形如 等等 情形，因此需要讨论曲线的弯曲方向．

一、曲线的凹凸与拐点 比较图(a)和图(b)所示的光滑曲线可以发现以下差别：图(a)中的曲线y=f(x)在它的每一点处的切线的上方，而图(b)中的曲线y=g(x)在它的每一点处的切线的下方．下面以这种明显的几何特征定义曲线的弯曲方向． (a) (b)

定义1 若在某区间内，曲线y=f(x)位于其上 每点的切线的上(下)方，则称此曲线在该 区间内是凹（凸）的．该区间称为曲线的 凹（凸）区间． 连续曲线上凹凸的分界点称为该曲线的拐点． 可以看出图(a)的凹曲线y = f(x) 的切线的斜率随x的增大而增大，即f′(x)是单调增加的；图(b)的凸曲线y=g(x)的切线的斜率随x的增大而减小，即f ′(x)是单调减少的．可见，这能够用二阶导数f″(x)的符号来刻划．

定理1 设函数y=f(x) 在闭区间[a, b]上连续， 在开区间(a, b)内二阶可导且 恒大(小)于 零，则曲线y=f(x)在[a, b]上是凹（凸）的． 注：(1) 定理1中的条件：“在开区间(a, b)内二阶可导且f″(x)恒大(小)于零”可以改为：“在开区间(a, b)内除个别点二阶导数为零或不存在(但一阶导数存在)外，都有f″(x) >0 ( < 0)”，其它条件不变，则原来的结论仍然成立；(2) 定理1中的区间可换为其它各种区间，结论也成立．

由定理1，求曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点， 可按以下步骤进行： (1) 确定函数的定义域； (2) 求二阶导数．在定义域内求f″(x)=0的 点和f″(x)不存在的点； (3) 用上面求得的点划分函数的定义域为若干 个小区间，在每个小区间内确定f″(x)的 符号，求曲线的凹凸区间和拐点． 注：步骤(3)也可象确定函数的单调区间 和极值点那样，用表格进行．

例1 求曲线 的凹凸区间和拐点． 解 (1) 函数的定义域为R； (2) x1=3时，y″=0；x2=2时，y″不存在； (3) 列表 x (-∞,2) 2 (2,3) 3 (3,+∞) y — × + 0 — 拐点

注：表中前两行使用的符号与函数的单调性 的表格中相应符号的涵义相同；第三行中 “ ”代表曲线凸，“ ”代表曲线凹． 由表格可知，区间(-∞,2]，[3,+∞)是曲线 的凸区间，区间[2,3]是曲线的凹区间； 点 ，(3，-4)是曲线的两个拐点．

例2 求曲线y=x4的凹凸区间和拐点． 解 (1) 函数的定义域为R； (2) y″=12x2，函数y没有y″不存在的点， 仅在x=0处y″=0，在其余点y″> 0． 由定理1，曲线y=x4在(-∞,+∞)上是凹 的，没有拐点．

二、曲线的渐近线 定义2 若曲线L上的动点P沿着曲线无限地 远离原点时，点P与一条定直线c的距离趋于零，则称直线c为曲线L的渐近线．当c垂直于x轴时，称c为曲线L的垂直渐近线；当c垂直于y轴时，称c为曲线L的水平渐近线．

由渐近线的定义，立即可得： (1) 直线x=x0是曲线y=f(x)的垂直渐近线的 充要条件是 或 即x0是函数f(x)的无穷间断点． (2) 直线y=y0是曲线y=f(x)的水平渐近线的 充要条件是 或

例3 求曲线 的渐近线． 解 因为 ，所以y=1是曲线 的水平渐近线； 因为 ，又函数y是偶函数， 所以x=±2是曲线的两条垂直渐近线．

三、函数的分析作图法 要比较准确地描绘一般函数的图形，首先利用函数的一阶、二阶导数，分析其整体的性态，然后再描点作图．一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、 周期性； (2) 求函数的一、二阶导数，在定义域内求 函数的可能极值点、二阶导数为零或 不存在的点，并用它们划分定义域；

(3) 在划分所得的每个小区间内确定一、二 阶导数的符号，并由此确定函数的单调 区间和极值点、函数图象的凹凸区间与 拐点，综合考虑以上结果(这一步可列表 表示)； (4) 讨论曲线有无渐近线．作曲线与坐标轴 的交点等辅助点，并描点作图．

例4 利用函数的分析作图法作 的图象． 解 (1) 函数的定义域为R，并是偶函数， 因此只要在［0,+∞)上作出该函数的 图象，利用对称性便可得整个图象； (2) 在[0,+∞)上函数y有二阶导数，并有 驻点x1=0，二阶导数为零的点x2=1；

(3) 列表 x 0 (0,1) 1 (1,+∞) y — — 0 + 0 — — — 又 ， 所以y=0为函数图象的水平渐近线； 极大值点 — — 0 + 极大值点 拐点(1, f(1)) 0 — — — 又 ， 所以y=0为函数图象的水平渐近线；

由 得到图象上的点M1(0,0.399)，M2(1,0.242)，M3(2，0.054)，结合以上表格，描出函数在［0,+∞)上的图形，再作其关于y轴的对称图形，如图所示．

例5 作函数 的图象． 解 (1) 函数的定义域为x≠±1的一切实数， 该函数是奇函数，所以先讨论x≥0部分 的图象； (2) 在[0,1)∪(1,+∞)内，函数有一阶、二阶 导数，驻点有 ，y″=0的点有 x2=0, x3=3；

(3) 列表 x 0 (0,1) (1, ) ( ,3) 3 (3,+∞) — — — 0 + + + 0 — + + + 0 — y 又 0 — + + + 0 — 极小值点 拐点 (3, f(3)) — — — 0 + + + 又 ，所以x=1为图象的垂直渐近线．

y(0)=0， ，y(3)=1.5， 得到图上3个点，结合渐近线和以上的表格，在[0,1)和(1,+∞)上描出函数的图形，最后作它关于原点O的对称图形，得到函数的整个图形，如图所示．

四、曲线弧的微分 曲线弧弧长的几何意义： 如果函数y=f(x)在区间(a, b)内有连续的导数 ，则曲线y=f(x)是光滑曲线(见下图)．

下面讨论光滑曲线弧的微分． 设x为区间 (a, b) 内的一点，x有增量Δx， 曲线上有相应的点M (x, f(x) )， M′(x+Δx, f (x+Δx) )，函数y = f(x) 的相应增量是Δy ， ) 弧函数s=s(x)的相应增量Δs= ． 由于s(x)是x的单调增加函数，因此 ) ) ) (1)

) 令Δx→0，则M′→M．由于 因此由(1)式 (2) (2) 式称为弧微分公式． 由(2)可得 (ds)2=(dx)2+(dy)2 (3)

例6 求曲线y=x2的弧微分． 解 因为y′=2x，所以