八年级 上册 第十三章　轴对称 线段的垂直分平分线的性质 湖北省通山县教育局教研室　袁观六

创设情境，引入新知 　　问题1　如图，小聪在A处，小明在B处，他们两人做抢礼物的游戏，问：礼物放在何处游戏才公平？ B A

创设情境，引入新知 　　追问　什么叫线段的垂直平分线？ B A 　　经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

猜想验证，探索性质 　　问题2　 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，试猜想点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离之间的数量关系. A B l P1 P2 P3 点P1，P2，P3，到点A 与点B之间的距离相等．

猜想验证，探索性质 追问 你能用不同的方法验证这一结论吗？ A B l P1 P2 P3 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、 　　追问　你能用不同的方法验证这一结论吗？ A B l P1 P2 P3 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、 线段P2A与P2B、线段P3A与P3B都是重合的，因此 它们也分别相等．

猜想验证，探索性质 　　问题3　若在图中的直线l 上任取一点P，那么这一点P与线段AB 两个端点的距离相等吗？由此你能得出线段的垂直平分线有什么性质？ A B P C l 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

猜想验证，探索性质 问题4 你能证明线段的垂直平分线的性质吗？ 证明：“线段垂直平分线上的点与线段两端点的距 离相等．” 　　问题4　你能证明线段的垂直平分线的性质吗？ 　　证明：“线段垂直平分线上的点与线段两端点的距 离相等．” 　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上． 　　求证：PA =PB． A B P C l

猜想验证，探索性质 问题4 你能证明线段的垂直平分线的性质吗？ 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　问题4　你能证明线段的垂直平分线的性质吗？ 　　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． A B P C l

猜想验证，探索性质 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等． l 用符号语言表示为： P 　　线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等． A B P C l 用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB．

猜想验证，探索性质 　　问题5　“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的题设和结论分别是什么？交换题设和结论，你又能得到一个怎样的命题？ 题设：线段垂直平分线上的点． 结论：与这条线段两个端点的距离相等． 命题：与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上．

猜想验证，探索性质 追问1 “与一条线段两个端点距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上”这个命题是真命题吗？怎样证明？ P 　　追问1　“与一条线段两个端点距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上”这个命题是真命题吗？怎样证明？ P A B 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．

猜想验证，探索性质 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． P 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵　PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． C

猜想验证，探索性质 性质：与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上． P 用数学符号表示为： ∵ PA =PB， C 　　用数学符号表示为： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上．

猜想验证，探索性质 追问2 “与一条线段两个端点距离相等的点”有多少个？这些点组成了什么图形？ 　　追问2　“与一条线段两个端点距离相等的点”有多少个？这些点组成了什么图形？ 　　 “与一条线段两个端点距离相等的点”有无数个，这些点组成了这条线段的垂直平分线.因此，线段的垂直平分线可以看成与这条线段两端点距离相等的所有点的集合.

运用性质，尺规作图 例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线 的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C（如图） 　　例1　尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线 的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C（如图） 求作：AB的垂线，使它经过点C. C A B D E 作法：（1）任意取一点K ，使点K与点C 在AB的两旁. K F （2）以点C为圆心，CK长为半径 作弧，交AB于点D和E . （3）分别以点D和点E为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点F . （4）作直线CF . 直线CF 就是所求作的垂线.

运用性质，尺规作图 问题6 （1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB两旁？ （2）为什么要以大于 的长为半径作弧？ （2）为什么要以大于 的长为半径作弧？ （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？

综合运用，巩固提高 练习 1.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 　　解： ∴　AB =AC =CE． ∵　AB =CE，BD =DC， ∴　AB +BD =CD +CE． 即　AB +BD =DE ． A B C D E

综合运用，巩固提高 练习 2.如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？ A B C D M 平分线．

归纳小结，反思提高 （1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？

布置作业 教科书习题13.1第6、9题．