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“学习”的象形意义 ——接受式与体验式学习相结合 思考1. 什么叫学习？ “学”上面的两个手是传递知识，下面是房子，专门传授知识的场所 思考1. 什么叫学习？ “学”上面的两个手是传递知识，下面是房子，专门传授知识的场所 “习”上面是雏鹰的羽毛，下面是白云，涵义是小鹰在天空试飞。 “学习”的象形意义 ——接受式与体验式学习相结合

同学------你是那种学习类型？ 思考2. 学习成功的学生基本类型？ 1、苦学型----- 讲“头悬梁、锥刺股”，“刻苦、刻苦、再刻苦”。 思考2. 学习成功的学生基本类型？ 1、苦学型----- 讲“头悬梁、锥刺股”，“刻苦、刻苦、再刻苦”。 信念：“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”。 2、好学型------      讲“知之者不如好之者”，“我学习我喜欢我快乐” 信念：“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。 3、会学型----                   讲“学习本身是学问，有科学的方法，有需要遵循的规律” 理念：“不畏浮云遮望眼，只缘山在最高层” “会当凌绝顶，一览众山小”。 同学------你是那种学习类型？

思考3：学习成功体现何处？ 体现在考试上！！----“分”是能力的集中体现 高分之“道”是什么？ 高分之道“术”是什么？ 概念和规律 思路和方法 具体知识 答题素质 竞技 状态 学习水平 审题 求解 审视答案 影响考试结果的因素 解题 表达 （思路和方法） 高分之“道”是什么？ 高分之道“术”是什么？

2016高校自主招生考试 物理讲座

一、自主招生考试简介 （1）综合性高：要求考生综合运用所学物理知识来解决实际问题，有的题可能还会综合到其他学科的知识。 物理考题总体特点 （1）综合性高：要求考生综合运用所学物理知识来解决实际问题，有的题可能还会综合到其他学科的知识。 （2）能力性强：不是靠死背知识点或记几个解题模型就能解决问题，综合考查考生理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力、实验能力等物理学科能力。 （3）随意性大：考题并不强调知识的覆盖面，很多内容都没在考题中出现；但有的内容年年考，甚至有的同一试卷中有多道题考查到同一知识点。 （4）难度逐年下降：对于参加过竞赛的同学来说，可能会有一定的优势。但随着自主招生规模的扩大，参加自主招生考试的考生越来越多，试题难度呈现逐年下降趋势，多数题已经接近高考题的难度。

二、“北约” 、“华约”考试物理命题分析 1、 北大风格，区分度高 由于北大有组织中国国家物理奥林匹克竞赛队的传统，所以很多同学认为北大的题目会比较接近奥赛训练题。实际上北大的题目更多的是从北大物理学院教授们对于学生的需求出发，比较侧重同学们的反映能力，理解能力和探究能力。 “北大”的物理题目绝对难度上虽然没有超过物理奥赛复赛难度，但是在1小时内做出7道如此难度的题目，对于大部分同学而言几乎是不可能的。很多同学反映，对题意都没有理解清楚。

2010年北大自主招生物理测试题考点统计 考点 题型特点 物体受力平衡 计算题 曲线运动 综合计算题 能量守恒 热力学定律 简答题 动生感应和自感 直流电路 计算题（求电阻） 带电粒子在复合场中运动

2011年北大自主招生物理测试题考点统计 考点 题型特点 质点运动 与动量守恒 综合计算题 胡克定律与圆周运动 天体运动 电场中碰撞 带电粒子在磁场中运动碰撞 电磁感应杆模型 几何光学计算

2012年北大自主招生物理测试题考点统计 考点 题型特点 天体问题 选择题（4） 电磁感应问题 热学 碰撞 填空题（6） 光学 相对论 电学（10） 综合计算题 力学（20） 光学（20） 原子物理计算（20）

2012年北大自主招生物理测试题总体分析 2012年北大约，形式上由于考试院阅卷的要求增加了3道选择题，另有2道填空，3道解答题。每道题都有体现了出题人明确的考察目标，可以说都是仔细斟酌过的。对大多说考生来说，题目难度有所降。。而今年的试题的表述比去年更加贴近学生，便于理解；同时避免了复杂的计算。将区分度的重点放在了对物理原理的理解，和情境的分析上。

二“华约”考试物理命题分析 2、“华约”的物理和化学考试和并在一张试卷内，称为“自然科学”测试，不考生物。90分钟，100分。题目包括①选择题（多选），10个题，物理7题，②实验题，一题，为物理实验题。③推理、论证题，共3题，其中一个为物理题，④计算题，共2个，全为物理测试题。物理试题分值占70%。考点包含力学、热学、电磁学、光学和近代物理。

2010年清华自主招生物理测试题考点统计 考点 题型特点 牛顿定律与运动 选择题 动能定理 机械波与多普勒效应 能量与动量综合 综合计算题 电场强度和电势 物理光学 磁对电的作用 交流电 静电感应和电容器 含电容电路和电学实验 实验题题

2011年清华自主招生物理测试题考点统计 考点 题型特点 原子物理＋圆周运动 选择题 关联速度 光的双缝干涉 振动对称性 流体问题（物理方法） 振动和波 电场 热学实验 实验题 微观量计算 综合计算题 动量和能量 电场问题

华约题目分布上：７选择+１实验+３计算。题量适中。 知识章节分布上： 热学占的比重较大。主要原因是热学作为物理的一个重要的分支，对统计的科学方法，微观到宏观的模型理解等等方面的思维训练都十分必要。因此，北京的考生就相对吃亏。其他章节，例如力学，电磁学，光学都有涉及，体现了清华体系对知识覆盖面广的特点。

2011年题目的模型和方法： 力学部分，考察了关联加速度，质心运动，振动等等几个模型。值得指出的是，其中超纲知识非常少（伯努力方程）。而且这个题也是整个卷子中唯一的竞赛原题，出自俄罗斯竞赛试题。其他的像加速度关联，质心方法和间谐振动等都是对于高考模型的拓展。 热学部分考察了膨胀系数和气体模型，主要目的也是考察学生对于模型的理解和应用数学，应用逻辑的推理能力。在这个层面上，可以说和高考的出题思路有异曲同工之妙。 电磁学部分的考察有一道简单的题目，一道较难的压轴题。压轴题目复合场中的粒子运动，风格比较像全国一卷压轴题和物理竞赛初赛压轴计算题的风格的杂糅。 光学部分考察的是干涉。需要同学们对于书本上的公式的背后的物理意义有一定的思考，才能做出答案。 方法上： 小量分析，被重点强调，两个题目都和这个方法有关。 加速度关联方法，题目主要是考察学生对于矢量的理解。

2012年清华自主招生物理测试题考点统计 考点 题型特点 电场 选择题（3） 光电效应 全反射 热学 电磁感应 直流电路 振动和波 测重力加速度 实验题（11） 综合计算题（11） 磁场 综合计算题（13） 力学平抛 综合计算题（14）

2012年清华自主招生物理测试题考点统计 清华的题目。作为自然科学考试的一部分，分值仍然为70分左右。形式上和2011完全相同，而题目设计上略有变化，全面贴近高考。2011选择题中有部分定性分析的题目，给出不同于高考的模型，让学生从头开始分析，而非简单的回忆原题。2012选择题的更多的是利用高考原题模型，选项上也和夏令营、保送生考试一样，更多的是要计算具体数值，将区分度放在了计算和做题量上。2011年实验题原理很简单，但是需要重新分析情景，而2012年的实验体是高考中重点训练题目，只是公式需要推导一下。整套试卷和高考的主要区别在于，自招考试更加注重对动态的分析。对学生来说更多的挑战可能在于自然科学和数学一起考试，时间共3个小时，由于数学试题较难，总体时间可能较为紧张。

综上所述，清华的自主招生考试的主要特点还是：高考知识框架为主，对模型和方法稍有拓展。从今年题目只有一个竞赛原题的情况来看，考生们应该在准备自主招生的考试过程中注意： 高考训练的模型的拓展，在平时的训练之余，多思考一下为什么，以及用现有的物理数学知识，还能再推导出些什么。要做到主动学习。这些训练也正是高考所强调的推理能力和探究能力。 不要拘泥于高考。为了物理知识体系的完整性，也应该对主要模型以及主要的公式推导过程有所了解。这些内容在将来的大学学习过程中都是至关重要的，这也就是自主招生考试对这些知识乐此不疲的原因。

华约 北约自主招生总体比较

　自主招生物理考题综述： 一、考点分成十三部分内容，这十三部分的内容，贯穿中学物理全部内容，大学基础物理大部分内容，分别是：静力学、运动学、动力学、能量、动量、振动和波、热学、静电场、电路、磁场、电磁感应、几何光学、近代物理。 二、从清华和北大的试卷统计看，与高中主干知识内容衔接的题目占多数，因此这些部分知识也是自主招生主干知识内容。例如能量和动量的综合运用题，磁对电的作用，物理学原理在现实中的应用等等。因此说为考生备考提供了一定的方向。 三、缜密计划、科学安排、高效备考 例如：在备考的时候，“能量和动量的综合题”部分,考生要从三个方面着手，分别是弄清楚动量和动能之间的联系和区别，动量定理和动能定理之间的联系和区别，动量守恒定律和机械能守恒定律之间的联系和区别。然后适当的找一些相关的题目训练，总结出解题思路，从而做到高效的备考。

三、2016年自主招生应试策略 （一）“三个一定不能” 一定不能盲目！ 一定不能毫无准备！ 一定不能让高考总复习和应对自主招生考试之间的关系失衡！

（二）物理复习建议 1．把握机会，做好两手准备：以自主招生考试的复 习，促进高考备考复习 2．以知识的补充为切入点和突破口，扩大自己物理 知识的覆盖面。 3．适当加大训练题的题量和难度 通过考试真题摸清方向，通过仿真训练夯实你的 使复习有很强的针对性，避免盲目使力、做无用功。

（二）以知识的补充为切入点和突破口，扩大自己物理知识的覆盖面。 （三）备考复习重点 （一）高考内容重点复习 对于高考要求的内容，要扎实掌握，灵活运用。 而且不能仅满足于平时的要求，要更进一步，更难一些。 （二）以知识的补充为切入点和突破口，扩大自己物理知识的覆盖面。 在最短的时间迅速补充你最需要的知识！！ 会别人不会的，自然优势明显 ！

第一部分（力学）

力学体系 高考知识要求 动能 定理. 九种性质力 三大观点五大规律. 五大运动 匀速直线运动. 牛顿 定律 动量守恒 机械能守恒 重 力 弹 力 匀变速直线运动 静摩擦力 物体运动过程模型 滑动摩擦力 平抛运动 万有引力 动能 定理. 牛顿 定律 动量 定理 库仑力 圆周运动 电场力 安培力 简谐运动 洛伦兹力 九种性质力 三大观点五大规律. 五大运动

动量变化:Δp=p׳－p,Δp方向与冲量方向相同 动量:p=mv,p与v同向;状态量,v为瞬时速度 概念 动量变化:Δp=p׳－p,Δp方向与冲量方向相同 动量 冲量:I=Ft,矢量,过程量.方向由力的方向决定 动量定理:I合=Δp,矢量式,要选取正方向 规律 条件:系统不受外力或所受合外 力为零 结论:系统总动量守恒,即p=p׳ 动量守恒 注意:系统性,矢量性,同时性,同一性. 机械能守恒 知识网络 弹性碰撞 应用:碰撞,爆炸,反冲

力学典型模型 力学基本模型--- 1、匀变速直线运动模型 2、平抛运动模型 3、圆周运动模型 4、受力平衡模型 5、变加速直线模型 力学综合模型---- 1、传送带模型 2、木板＋木块模型 3、弹簧模型 4、碰撞模型 5、流体模型

力学 -五大运动模型概说 1、匀速直线运动---注重模型构建 把握两类问题 2、匀变速直线运动 3、平抛运动 六个概念要明晰、四三四二是规律 七种方法灵活用、七大模型要建立 3、平抛运动 一个思想、两个方向、两大规律、四个推论 两个三角形、四大题型、四大方法、知二求六 4、圆周运动 突出四个分析，运用两大观点， 紧扣五步解题，理解三大模型。 5、变加速直线运动 突出过程拆解、抓住临界条件 巧选两大观点、理解两大模型

力学 -五大综合模型概说 1.弹性正碰模型 A、弹性正碰撞在自主招生中的要求： B.弹性碰撞在高考中考试中的要求：

v2>v1 一静一动 弹性碰撞 若为非弹性碰撞， 则v1 v2的范围？ m1v0=m1v1+m2v2 讨论碰撞后的速度： 当m1>m2 时： v1>0 v2>0 —— 两球均沿初速v1方向运动. 当m1＝m2 时： v1＝0 v2＝v0 —— 两球交换速度. 当m1<m2 时： v1<0 v2>0 —— m1反弹，m2沿v1方向运动. 若为非弹性碰撞， 则v1 v2的范围？ v2>v1

2、传送带模型 ． 传送带模型分类: 按放置方式分：-------水平、倾斜两种; 按转动方向分: ----- 顺时针、逆时针转两种，按运动状态分：------匀速运动匀变运动。 （1）受力和运动分析： 受力分析中的摩擦力突变（大小、方向）— -----—发生在v物与v带相同的时刻； 运动分析中的速度变化—相对运动方向和对地速度变化。分析关键是： 一是 v物、 v带的大小与方向； 二是mgsinθ与 f 的大小与方向。

(2)传送带问题中的功能分析 ①功能关系：WF=△EK+△EP+Q ②对WF、Q的正确理解 （a）传送带做的功：WF=F·S带 功率P=F · v带 （F由传送带受力平衡求得） （b）产生的内能：Q=f · S相对 （c）如物体无初速，放在水平传送带上，则在整个加速过程中物体获得的动能Ek 和因摩擦而产生的热量Q有如下关系：

木板木块问题既是牛顿运动定律的综合问题，也是能量问题的综合应用，同时动量守恒重要模型。注意：四种情景，三大思路。 3、木板＋木块模型 木板木块问题既是牛顿运动定律的综合问题，也是能量问题的综合应用，同时动量守恒重要模型。注意：四种情景，三大思路。 抓住---- 两个加速度 两个位移 三个关系 板块用力拉 块在板上滑 板块相向动 弹碰情景加

模型特征： 模型规律： 由两个物体组成的系统，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力． 典型情景 ⑴动力学规律： 两物体的加速度大小与质量成反比． ⑵运动学规律： 两个作匀变速运动物体的追及问题、相对运动问题． ⑶动量规律： 系统的总动量定恒．

⑷能量规律： 力对“子弹”做的功等于“子弹”动能的变化量： 力对“木块”做的功等于“木块”动能变化量： 一对力的功等于系统动能变化量： 因为滑动摩擦力对系统做的总功小于零．使系统的机械能（动能）减少，内能增加，增加的内能Q=fΔs，Δs为两物体相对滑行的路程．

【模型策略】 抓住---- 一．受力和运动分析 1．思路： 比较 建立模型 2．关键 两个加速度 两 个 位 移 三 个 关 系 运动 速度 隔离法 相对运动的情况 比较 外力与最大静摩擦力 静止 共速时是否再相对运动 建立模型 是否反向 摩擦力是否变化，是静摩擦力还是滑动摩擦力 2．关键 加速度 抓住---- 两个加速度 两 个 位 移 三 个 关 系 滑动与不滑动 讨论 脱离和不脱离

动量守恒：最后共速 v0 滑板滑块 能量守恒：EK↓Q↑ v0 动量守恒：未穿出、共速 v 子弹物块 能量守恒：EK↓Q↑ M m v0 光滑 滑板滑块 M m v0 光滑 v 动量守恒：未穿出、共速 能量守恒：EK↓Q↑ 子弹物块 完全非弹性碰撞：共速 能量守恒：EK↓Q↑ 动碰静1 m v0 光滑 M 弹性碰撞：共速时弹簧最短 能量守恒：EK↓ EP ↑ 动碰静2 v0 m M 光滑 木板＋木块模型

模型类比寻找共性 v0 v0 v0 v v0 v0 v0 v0 v0 v0 光滑 粗糙 光滑绝缘 +2q +q 光滑 v0 光滑 光滑 粗糙 M m v0 光滑 粗糙 ① v0 光滑绝缘 +2q m1 +q m2 ⑦ M m v0 光滑 v ② ⑧ m1 v0 光滑水平平行导轨 m2 匀强磁场B m v0 光滑 M ③ 模型类比寻找共性 ⑨ M m v0 光滑 粗糙 m0 m v0 光滑 M ④ …… v0 光滑 1 2 3 10 m ⑤ ⑩ m v0 光滑 M m0 v0 光滑 M m 粗糙 ⑥

4、弹簧模型 一．弹簧类题的受力分析和运动分析 （一）弹力的特点 1．在弹力作用下物体处于平衡态—— 2．在弹力作用下物体处于变速运动状态 1．弹力的瞬时性：弹簧可伸长可压缩，两端同时受力，大小相等，方向相反，弹力随形变量变化而变化。 2．弹力的连续性：约束弹簧的弹力不能突变（自由弹簧可突变） 3．弹力的对称性：弹簧的弹力以原长位置为对称，即相等的弹力对应两个状态。 （ 二）在弹力作用下物体的受力分析和运动分析 ①考虑压缩和伸长两种可能性 1．在弹力作用下物体处于平衡态—— ②作示意图 ③受力平衡列方程 2．在弹力作用下物体处于变速运动状态 v变化 位置变化 F a变化 形变 （a = 0时vmax） （v=0时形变量最大）

（1）变量分析 （2）运动计算 抓住 过程——抓住振动的对称性 瞬时 匀变速运动 一般运动 ①通过分析弹簧的形变而确定弹力大小、方向的改变，从而研究联系物的运动 ②弹簧处于原长状态不一定是平衡态 抓住 ③当作匀变速直线运动时，必有变化的外力作用，变化的外力常存在极值问题 ④充分利用振动特征（振幅、平衡位置、对称性、周期性、F回与弹力的区别） ⑤临界态——脱离与不脱离：必共速、共加速且N=0 ⑥善用系统牛顿第二定律

3．能量守恒的系统和过程的确定（注意：v突变中的能量转化，常见的有弹簧类连接体） 二．弹簧类题的动量分析和能量分析 1．受力分析、运动分析明确 （1）何时：vmax、vmin、Epmax、Epmin、E k总max、E k总min、Ekimax、Ekimin 弹簧伸长最长 Epmax、E k总max （2）三个典型状态 弹簧压缩最短 原加速的物体v最大 压缩→原长 恢复原长 原减速的物体v 不一定最小 伸长→原长 2．动量守恒的系统和过程的确定（F外= 0之后） 3．能量守恒的系统和过程的确定（注意：v突变中的能量转化，常见的有弹簧类连接体）

二．功能分析和动量分析 由牛顿定律求a （隔离法） 1．动量不守恒系统 运动学公式 位移关系（示意图） 2．动量守恒系统 （1）重申动量守恒的四特性 （2）涉及对地位移：单物体动能定理——fS对地=ΔEk 涉及相对位移：系统动能定理——f S相对=∑ΔEk （3）警惕“ΔE

含弹簧的相互作用分析 压缩弹簧 拉伸弹簧 V1 V1 V1↓ V1 V2 V2↑ V1↓ V1 V2 V2↑ V1 V2 V1 ↑ V2 A B A B V1 V1↓ 压缩弹簧 V1 F V2 A B V2↑ V1↓ A B V1 V2 V2↑ V1 V2 A B F V1 ↑ 拉伸弹簧 A B V2 V1 V2 ↓

力学综合题解题基本程序 文字 图像 数学 情景 建模 规律 计算 结果 图表 物理 六个分析 画出草图 耐心细心 讨论判断 规律

科学解题的“六个分析” 数 学 方 法 对象 分析 科学审题 过程 状态 作用 关系 规律 规范解题 物 理 方 法

物理三大观点五大规律 力——运动 功——能 冲量——动量 单体、瞬时、状态 单体、恒力、过程 单体、空间、过程 整体、状态 单体、时间、过程

F合的三大效果 1，单体瞬时效应 状态和过程是构成物理事件的基本元素 2，单体空间效应 3，单体时间效应 说明： 1、两个守恒定律使用简单，但只能解决状态 而不能解决时间问题。 2、每个公式各负其责，不能乱用。两个条件 决定一个公式。

绳（杆）两端运动的关联：实际运动时合运动，由伸缩运动与旋转运动合成。 一、运动与天体问题 补充内容： 1、 运动的关联 绳（杆）两端运动的关联：实际运动时合运动，由伸缩运动与旋转运动合成。 实际运动=旋转运动+伸缩运动 伸缩运动速度相等——沿绳（杆）速度相等 旋转运动角速度相等——同一截绳（杆）角速度相等

v v v v∥ v θ ? 绳物关联模型 垂直于绳方向的旋转运动 θ θ ? v⊥ ? 沿绳方向的伸长或收缩运动 注意：沿绳的方向上各点的速度大小相等 θ1 θ2

2、参考系的转换：动参考系，静参考系 相对运动：动点相对于动参考系的运动 绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参考系）的运动 牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动 位移合成定理：SA对地=SA对B+SB对地 速度合成定理：V绝对=V相对+V牵连 加速度合成定理： a绝对=a相对+a牵连

相对运动—— SA SB SAB = — VA VB VAB = — aA aB aAB = —

点评：判断物体运动状态的方法 方法一：合力特点 方法二：运动特点 速度或位移随时间的变化规律

3、V-t图解复杂运动 4、天体势能公式 5、地球与卫星的相对运动

例1 如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的1/4圆周轨道，半径 OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央。一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时轨道的压力等于其重力的14/3倍。取g=10m/s2。 (1)H的大小？） (2)试讨论此球能否到达BDO轨道 的O点，并说明理由。 (3)小球沿轨道运动后再次落到轨 道上的速度的大小是多少？ （10米） （可以） 北约真题

点评：竖直平面内的圆周运动 1.一般考非匀速情况 2.常结合机械能守恒定律考查 最高点 3.特殊位置： 最低点 与圆心等高的点 4.几何条件的应用

本题考查了相对运动、不相撞的条件。高考范围内。答案  例2 在水平轨道上有两辆长为L的汽车，两车中心相距为s。开始时A车在后面以初速度、加速度为2a正对着B车做匀减速运动，而B车同时以初速度为零、加速度为a做匀加速运动 两车运动方向相同。要使两车不相撞，求应满足的关系 北约真题 本题考查了相对运动、不相撞的条件。高考范围内。答案 

例3 如图，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处。已知小球第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3s，每级台阶的宽度和高度均为18cm。小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的1/4。重力加速度g取10m/s2。 （1）求第一次落点与小球抛出点间的水平距离和竖直距离； （2）分析说明小球是否能够与第5级台阶碰撞。 华约真题

例4 北约真题 物体做斜抛运动。 （1）已知抛出速度为和抛射角为，求物体的水平位移。 （2） 一位高中生在体育课上练习扔铅球，已知球出手速度大小恒为 ，出手点离地高度恒为h ,问出手速度v0 与水平方向的夹角为多大时，铅球落点最远？ 解析：设铅球落地的速度为 ，即 ，其矢量关系如图， 又由机械能守恒定律： 可知 大小一定时，v 也一定，水平射程为 要使 X最大，只要 取得最大，此时有 时，射程最大 例4 北约真题

例5 如图预18－l所示，杆oA 长为R ，可绕过 O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A 系着一跨过定滑轮 B、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块 ，滑轮的半径可忽略， B在O 的正上方， OB之间的距离为H 。某一时刻，当绳的BA 段与 OB之间的夹角为 时，杆的角速度为 ，求此时物块 M的速率V 。

解析：杆的端点 A点绕 O点作圆周运动，其速度 VA的方向与杆OA 垂直，在所考察时其大小为 （1） 对速度 VA作如图预解18-1所示的正交分解，沿绳 BA的分量就是物块M 是速率 Vm，则 （2） 由正弦定理知 由图看出 由以上各式得

例6 ．如图所示，一轻绳通过无摩擦的定滑轮与放在倾角为30的光滑斜面上、质量是m1的物体A连接，另一端和套在光滑竖直杆上、质量为m2的物体B连接，定滑轮到竖直杆的距离为 3m，初始时物体B的位置恰使MN连线水平，若将物体B放在N点以下1 m处，A和B受力恰平衡，现让物体B静止起由N点下滑，求： （1）物体A、B的质量比； m1g/2＝2m2g m1＝4m2 m1g/2 m2g

m2g－m1g（2－ 3）/2 ＝m1v12/2＋m2v22/2 v1＝v2/2 v2＝2.15m/s v1 v2 例6 一轻绳通过无摩擦的定滑轮与放在倾角为30的光滑斜面上、质量是m1的物体A连接，另一端和套在光滑竖直杆上、质量为m2的物体B连接，定滑轮到竖直杆的距离为 3m，若将物体B放在N点以下1 m处，A和B受力恰平衡，如图，求： （2）物体B在下滑过程中的最大速度， m2g－m1g（2－ 3）/2 ＝m1v12/2＋m2v22/2 v1＝v2/2 v1 v2 v2＝2.15m/s

例6 ．一轻绳通过无摩擦的定滑轮与放在倾角为30的光滑斜面上、质量是m1的物体A连接，另一端和套在光滑竖直杆上、质量为m2的物体B连接，定滑轮到竖直杆的距离为 3m，若将物体B放在N点以下1 m处，A和B受力恰平衡，如图，求： （3）物体B沿竖直杆能够下滑的最大距离（设绳与杆足够长）。 m2gx＝m1g（ x2＋3－ 3）/2 x＝2.31m

FN2＝G＝20 N WF－WG－Ffs＝0 WF ＝mgh＋FN2s＝14 J FN2 Ff FN1 G 例7 竖直平面内放一根直角杆AOB，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数＝0.2，杆竖直部分光滑，两部分各套有质量均为1kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连，如图所示，此时A、B均处于静止状态，已知OA＝3m，OB＝4m，求：（1）若将A球以水平拉力F向右缓慢拉动1m，该过程中拉力F做的功， FN2 FN2＝G＝20 N Ff WF－WG－Ffs＝0 WF ＝mgh＋FN2s＝14 J G FN1

WF－WG －E＝mvA2/2＋mvB2/2 Fs－mgh－E＝mvA2/2＋mvB2/2 vAcos37＝vBsin37 例7 （2）若用大小为20 N的恒力F拉A球向右移动1 m，此时A球速度达到2 m/s，此过程中产生的内能。 FN2 WF－WG －E＝mvA2/2＋mvB2/2 Ff Fs－mgh－E＝mvA2/2＋mvB2/2 vAcos37＝vBsin37 FN1 G vA vB E＝4.44 J

天体运动两大模型 模型一：星表模型（随星转） 重力=万有引力 F向 G=F引 G F引 模型二、环绕模型（绕星转--某中心天体的卫星） 星球表面 离表面高h处 模型二、环绕模型（绕星转--某中心天体的卫星） 所在处的重力=万有引力=向心力 注意：各字母含义

v＝ GM/R GMm/R2＝mv2/R 天体运动两大模型 万有引力公式应用中几个易错的量： 一是M ：固定星球的质量还是转动星球的质量， 三是T ：是公转周期、还是自转周期、还是单摆周期。 四是a ：是向心加速度、还是重力加速度。是卫星的向心加速度还是地面物体的向心加速度.

r3＝GMT2/42 G ＝m r Mm r2 42 T2 GMm/R2＝mg GM＝R2g r3＝ R2gT2/42 例8 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。 r3＝GMT2/42 G ＝m r Mm r2 42 T2 日落 GMm/R2＝mg GM＝R2g r3＝ R2gT2/42 sin ＝R/r ＝（42R/gT2）1/3

t＝2T/2 ＝T sin－1（42R/gT2）1/3/ 例8 日落 ＝T sin－1（42R/gT2）1/3/

由GMm/r2＝m2r＝4m2r/T2 L R 又GM＝R2g r 可得r＝ R2gT2/4 2 3 例9 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98的经线在同一平面内。若把甘肃嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98和北纬＝40，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。 由GMm/r2＝m2r＝4m2r/T2 L R 又GM＝R2g  r 可得r＝ R2gT2/4 2 3 t＝L/c＝ R2＋r2－2Rr cos40/c

v2＝GM/r Ek0＝mv2/2＋W ＝mGM/2r＋mgR(1－R/r) ＝mR2g/2r＋mgR(1－R/r) 例10 设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功W＝mgR（1－R/r），返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g ，火星的半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少动能才能返回轨道舱？ v2＝GM/r 轨道舱GMm0/r2＝m0v2/r 对返回舱－W＝mv2/2－Ek0 Ek0＝mv2/2＋W ＝mGM/2r＋mgR(1－R/r) ＝mR2g/2r＋mgR(1－R/r) ＝mgR(1－R/2r)

例11 （12分）卫星携带一探测器在半径为3R (R为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR (n略小于3)，求卫星与探测器的质量比。 （质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为-GMm/r，式中G为引力常量） 北约真题 本题考查了天体运动的知识 ，开普勒第二定律（角动量 守恒）、第二宇宙速度 （引力势能）、动量守恒。 不在高考范围内

[解析]设地球质量为M,卫星质量为m，探测器质量为m’，当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律得 设分离后探测器速度为v’，探测器刚好脱离地球引力应满足 设分离后卫星速度u，由机械能守恒定律可得

由开普勒第二定律有 nRv近=3Ru ⑥ 联立解得 由分离前后动量守恒可得 (m+m’)v=mu+m’v’ ⑧ 联立④⑦⑨式得

二、牛顿运动定律的应用问题 补充内容： 1、非惯性系 对地面参考系（惯性参考系）做加速运动的物体组成的系统称为非惯性系。 2、惯性力： 牛顿定律只适用于惯性系，为了在非惯性系应用牛顿第二定律，除了要考虑物体受到的真实力F外，可假想有一个惯性力 作用在物体上，其中 是非惯性参考系惯性参考系的加速度，负号表示惯性力的方向与该加速度的方向相反。则在非惯性参考系中 ，牛顿第二定律在形式上成立。 注意： 惯性力不是真实存在的，而是假想出来的！ 因此惯性力是没有相应的施力物体的。

例1 以质量为60kg的人站在电梯中的磅秤上，当电梯以0.5 的加速度匀加速上升时，磅秤上指示的读数是多少？（试用惯性力的方法求解） 解：取电梯为参考系。 已知这个非惯性系以a=0.5 的加速度对地面参考系运动， 与之相应的惯性力 。从电梯这个非惯性系看来， 人除受到重力G（方向向下）和磅秤对他的支持力N（方向向上） 之外，还要另加一个 。此人相对于电梯是静止的，则以上三个 力必须恰好平衡，即 则：

取车为参照系 小球初速为零 a a T mg g a合 例2 如图，在做匀变速直线运动的车厢里，有一用细绳悬挂着的小球，见到小球位于车厢底板P点的正上方，烧断悬绳，小球落在底板上的Q点，不计空气阻力，则（ ） （A）不论车厢加速还是减速，Q点一定在P点的右边， （B）不论车厢加速还是减速，Q点一定与P点重合， （C）如果车厢是做减速运动，Q点一定在P点的左边，  （D）如果车厢是做加速运动，Q点一定在P点的左边。 取车为参照系 小球初速为零 a a T mg g a合

如图所示，方框表示绕地球做匀速圆周运动的航天站中的一个实验室，质量为m受到地球引力为G的物体A放在平面P上，引力G的方向与P垂直，设A物体与P平面间的动摩擦因数为，现在A物体上加一个沿平面方向的力F，那么以下结论正确的是 （A）实验室内观察到A物体的加速度为（F－mg）/m， （B）实验室内观察到A物体的加速度为F/m， （C）在地球上观察到A物体做匀速圆周运动的向心加速度为（F－G）/m， （D）在地球上观察到A物体的加速度大小为 F2＋G2/m。 例3

F－（M＋m）g＝Ma a＝0.5m/s2 W＝（M＋m）gs ＝0.2（4＋1）100.2J ＝2J 例4 如图所示，一封闭的薄壁箱子长25cm、质量为4kg，放在水平地面上，箱子与地面间的动摩擦因数为0.2，箱内有一个边长5cm、质量1kg的方木块紧靠箱子的前壁放置，箱子内壁与方木块之间无摩擦，当水平推力F＝12N刚作用于箱子的后壁时，箱子的加速度为______m/s2；如果要使木块与箱壁发生相碰，则水平推力至少做功________J。 例4 F－（M＋m）g＝Ma a＝0.5m/s2 W＝（M＋m）gs ＝0.2（4＋1）100.2J ＝2J

F＝(mg sin  cos ＋ma)/cos2 例5 如图，竖直杆AB插在质量为M的底座E中，穿在质量为m的小球中，固定斜杆CD与地面成 角，也穿在小球中，设杆与地面都是光滑的，求： （1）当直杆以加速度a水平向右匀加速运动时，带动球沿斜杆运动，直杆对球的作用力， Fcos－mg sin  ＝ma’ ＝ma/cos a’ N F＝(mg sin  cos ＋ma)/cos2 a F mg

mgh＝mv12/2＋MvE2/2 v1＝vE/cos  vE mghcos2 vE＝ m＋Mcos2 v1 例5 如图，竖直杆AB插在质量为M的底座E中，穿在质量为m的小球中，固定斜杆CD与地面成 角，也穿在小球中，设杆与地面都是光滑的，求： （2）若使小球在某高度时放手让小球静止起下滑，带动E一起运动，则小球下降高度h时E的速度大小。 mgh＝mv12/2＋MvE2/2 v1＝vE/cos  vE mghcos2 m＋Mcos2 vE＝ v1

0m/s g N－mg＝ma h1 a＝5m/s2 h＝v2/2g＋(v2－62)/2a v v＝12m/s h2 a 6m/s 例6 消防队员为了缩短下楼的时间，往往抱着竖直的杆直接滑下，假设一名质量为60 kg、训练有素的消防队员从七楼（即离地面高18 m的高度）抱着竖直的杆以最短时间滑下，已知杆的质量为200 kg，消防队员着地时的速度不能大于6 m/s，手和腿对杆的最大压力为1800 N，手和腿与杆之间的动摩擦因数为0.5，设当地的重力加速度为10 m/s2，假设杆是搁在地面上的，杆在水平方向不能移动。试求： （1）消防队员下滑过程中的最大速度； 0m/s g N－mg＝ma h1 a＝5m/s2 h＝v2/2g＋(v2－62)/2a v v＝12m/s h2 a 6m/s

N地 N地＝N＋Mg ＝2900N Mg t＝v/g＋(v－6)/a N ＝1.2＋(12－6)/5 0m/s ＝2.4s g h1 v 例6 （2）消防队员下滑过程中杆对地面的最大压力； （3）消防队员下滑的最短时间。 N地 N地＝N＋Mg ＝2900N Mg t＝v/g＋(v－6)/a N ＝1.2＋(12－6)/5 0m/s ＝2.4s g h1 v h2 a 6m/s

例7 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面中央。桌布一边与桌AB边重合。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度 a 将桌布抽离桌面，加速度方向水平且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度 a 满足的条件是什么？（以g表示重力加速度） A B a 本题满分：20分 平均得分：3.5分

v a2 a1 l /2 x1 x2 μ1 mg ＝ ma1 ① μ2 mg ＝ ma2 ② v2 ＝ 2a1x1 ③ 设圆盘质量m，桌长为l，盘在桌布、桌面上的加速度为a1和a2： v2 ＝ 2a1x1 ③ v2 ＝ 2a2x2 ④ 设盘离开桌布时速度为v，移动距离为x1，再在桌面上运动x2停下： 盘没从桌面掉下的条件： x1+x2≤l/2 ⑤

f a1 f a2 对m: 对m: 力学: 力学: 运动: 运动: 对布: 辅助方程: 关键:

a A B a v t v1 x1 x2 a1 a2 a a1 t： x1 x l/2 a2 x2

一题多解：---用图象法： 巧选参照物： 动能定理：圆盘之所以没有从桌面掉落，是由于桌布对圆盘所做的（正）功等于桌面对圆盘所做的（负）功。 动理定理：圆盘没有从桌面掉落是由于圆盘受到桌布对它的冲量等于桌面对它相反方向的冲量

例2、 一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度 思路点拨：理解情景、建立模型：传送带 对传送带：匀加速运动　匀速运动　 对煤块：　匀加速运动 对传送带、煤块：找关联（时间、空间） 黑色痕迹的长度是指煤块与传送带之间的相对位移。 例8 解：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0 。根据牛顿定律，可得 a= μg

设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0， 煤块则由静止加速到v，有 (P为传送带上的一点) v0= a0t v=at 由于a< a0 ，故v<v0，煤块继续受到滑动摩擦力的作用. 再经过时间t'，煤块的速度由v增加到v0，有 v0=v+at' 此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。 设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s，有 P s0= 1/2a0t2+v0t' s=v02/2a v P v0 传送带上留下的黑色痕迹的长度 l = s0－s P v0 s0 s 由以上各式得

煤块与传送带之间动摩擦因数为μ，初始都静止。传送带以恒定加速度a0 开始运动，速度达到 v0 后便做匀速运动。求黑色痕迹的长度。 例8 v 煤 t v0 O 带 t1 t1+t2 用物理图象分析： 由于物理图象能把物理情景和物理规律两个方面的信息融在一起，因此比较容易建立物理量之间的关系。 要解得梯形与三角形面积之差，在高（v0）已知的情况下，必须求解t1和t2的值，这为解题提供了明确思路。 图象中很清楚， t1和（t1+t2）分别是以红、蓝斜线为斜边的直角三角形的底，这就很容易想到以下步骤②和③。 （求得x煤） ④ ① μmg= ma （求得a） ② v0 = a0 t1 （求得t1） （求得x带） ⑤ ③ v0 =a ( t1+ t2 ) （求得t2） （求得痕迹长） ⑥

用物理图象分析的优点 v t v = 0 v带=v0 v煤=v0 O 带 t1 t1+t2 v = 0 v带=v0 a a0 匀速 v煤=v0 t2 关于物体运动的几何图形，能体现不同状态、过程的物理情景和不同研究对象物理量之间的关系，但描述是割裂和复杂的。 物理图象能把物理情景、物理规律、研究对象各方面的信息融在一起，描述简洁，因此比较容易建立物理量之间的关系，从而有利于发掘有效信息，有利于形成解题思路。

mg sinθ-μmg cosθ= m a a = gsinθ-μgcosθ= 2 m/s2 S=1/2a t2 例9 如图示，传送带与水平面夹角为370 ，并以v=10 m/s运行，在传送带的A端轻轻放一个小物体，物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5， AB长16米，求：以下两种情况下物体从A到B所用的时间. （1）传送带顺时针方向转动 （2）传送带逆时针方向转动 例4、 解： （1）传送带顺时针方向转动时受力如图示： mg sinθ-μmg cosθ= m a N f mg a = gsinθ-μgcosθ= 2 m/s2 A B v S=1/2a t2

∴t=t1+t2=2s （2）传送带逆时针方向转动物体受力如图： 开始摩擦力方向向下,向下匀加速运动 a1 =g sin370 +μ g cos370 = 10m/s2 水平匀速 水平匀加 倾斜向上向下滑 t1=v/a1=1s S1=1/2 ×a1t2 =5m S2=11m 1秒后，速度达到10m/s，摩擦力方向变为向上 物体以初速度v=10m/s向下作匀加速运动 a2=g sin370 -μg cos370 = 2 m/s2 N f mg S2= vt2+1/2×a2 t22 A B v N f mg 11=10 t2+1/2×2×t22 t2=1s ∴t=t1+t2=2s

例10 ：（清华大学自主招生考题5分）如图，质量为M的板置于水平地面，其上放置一质量为m的物体，物体与板，板与地面间的滑动摩擦系数分别为 ， 。 当作用在板上的水平拉力F=_____________时，刚好能将板从物体下拉出。 点评： 1.什么情况下才能将板从物体下拉出？ 2.牛顿第二定律的具体应用。 华约真题 3.板块模型的复习

问：金属块能否停在木板上，停在何处？（g=10m/s2） 例11 长L=12.8m，质量为m=1kg的木板B，静止于光滑水平面上。有一质量为M=5kg（大小不计）的金属块A以v0=12m/s的速度从左端冲上木板，金属块与木板间的动摩擦因数μ＝0.25。 问：金属块能否停在木板上，停在何处？（g=10m/s2） B A M m v0 分析与解答：假设能停在木板上，金属块在木板上滑行S相后与木板最终有共同速度v共1　 取A、B为系统，F=0，系统动量守恒， 选金属块的初速度的方向为正方向；

<方法一>系统动能定理 A 假设成立，金属块不会从木板上滑下来。 S金地 S板地 S相 V共 B A M m v0 B

<方法二> 牛顿定律和运动学规律 V共 B A M m v0 S金地 S板地 S相 f f ’ 研究金属块B： 研究木板A：

<方法三 > 利用v-t图象 利用v-t图象 小结 金属块从冲上木板到它们相对静止所用的时间为: 注意表述 对系统 B A M m v0 S金地 S板地 S相 <方法三 > 利用v-t图象 金属块从冲上木板到它们相对静止所用的时间为: Q P t/s O 0.2 0.4 0.6 0.8 12 10 8 6 4 2 V/m/s 小结 利用v-t图象 注意表述 对系统 求时间 动量定理或牛顿定律和运动学规律

④对地而言，A向左运动的最远处离出发点多远？ ⑤A向左运动到最远处经历的时间； ⑥对地来说，A向右加速运动的路程是多少； 例12 将质量为m＝3kg的物体A（可视为质点）放在置于光滑水 平面上、足够长、质量为M＝5kg的木板B的右端，A、B间 的动摩擦因数为0.2，给A、B以大小相等、方向相反的初速 度vo＝2m/s，使它们运动，试分析A、B两物体的运动情况。 ①分析A的运动过程； ②A、B最终速度的大小和方向； ③分析B的运动情况； ④对地而言，A向左运动的最远处离出发点多远？ ⑤A向左运动到最远处经历的时间； ⑥对地来说，A向右加速运动的路程是多少； ⑦A向右加速运动的时间； ⑧A、B达到共同速度时，A在原出发点左侧还是右侧 ⑨相对地来说，从运动开始到A、B达共同速度的过程中，B移动了多少距离？ ⑩尝试着用两种方法计算在此过程中，系统的内能增加了多少。

例13 . (10课标卷) 如图所示，在光滑水平面上放有质量为2m的木板，木板左端放一质量为m的可视为质点的木块。两者间的动摩擦因数为μ，现让两者以v0的速度一起向竖直墙向右运动，木板和墙的碰撞不损失机械能，碰后两者最终一起运动。求碰后： （1）木块相对地面向右运动的最大距离L （2）木块相对木板运动的距离S 板块用力拉 块在板上滑 板块相向动 弹碰情景加 相对与谁的运动 解：木板碰墙后速度反向如图示 2m m v0 （1）当木块速度减小为0时 思考：木板从第一次与墙碰撞到再次 碰撞所经历的时间。 2mv0-mv0=2mv1 v1=v0/2 2m m v0 μmgL=1/2×mv02 L= v02/2μg （2）当两者速度相同时 L 2m m v1 v=0 2mv0-mv0=3mv2 v2=v0/3 μmgS=1/2×3mv02- 1/2×3mv22 v2 2m S m S =4v02/3μg

例14 一质量为m=40kg的小孩，站在质量为M=20kg的长木板的一端，孩童与木板在水平光滑冰面上以v=2m/s的速度向右运动。若孩童以a=2m/s2相对木板的匀加速度跑向另一端，并从端点水平跑离木板时，木板恰好静止。 （1）判断孩童跑动的方向 （2）求出木板的长度l 卓越真题

例14 如图所示，在光滑水平面上，放着两块长度相同，质量分别为M1和M2的木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块，开始时，各物均静止，今在两物体上各作用一水平恒力F1、F2，当物块和木块分离时，两木板的速度分别为v1和v2，，物体和木板间的动摩擦因数相同，则 （ ） A、若F1＞F2，M1＝M2，则v1＞v2 B、若F1＜F2，M1＝M2，则v1＞v2 C、若F1＝F2，M1＞M2，则v1＞v2 D、若F1＝F2，M1＜M2，则v1＞v2 华约真题

定量分析： 由牛顿定律及运动学公式，得 于是，木板的速度可表为

对于选项A、B，M相同，v表为F的单调减函数，F越大，v越小，由此判断：选项A错误而选项B正确； 对于选项C、D， F相同，v表为 M的非单调函数，但为保证能够把小物块拉下，应有 这样就使上述函数落在单调减区间，由此判断：选项C错误而选项D正确。 上述分析表明：应选B、D。

定性分析： F大 a1大 t短 (A、B) M同 a2同 v小 选B 选BD F同 a1同 (C、D) t短 a2小 v小 M大 选D

令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知 解： 例15 如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为 mA、mB，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统处一静止状态，现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d，重力加速度为g。 C θ A B 令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知 解： mgsinθ=kx1 ① 令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量，a表示此时A的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知： kx2=mBgsinθ ② F-mAgsinθ-kx2=mAa ③ 得 由题意 d=x1+x2 ⑤ 由①②⑤式可得

例16 如图示, 倾角30°的光滑斜面上,并排放着质量分别是mA=10kg和mB=2kg的A、B两物块，一个劲度系数k=400N/m的轻弹簧一端与物块B相连，另一端与固定挡板相连，整个系统处于静止状态，现对A施加一沿斜面向上的力F，使物块A沿斜面向上作匀加速运动，已知力 F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，g取10m/s2 , 求F的最大值和最小值。 A B x2 F 解： 开始静止时弹簧压缩 x1 x1=(m1 +m2)g sinα/ k = 0.15m 0.2s 末A、B即将分离, A、B间 无作用力，对B物块： 30° A B F x1 kx2-m2g sinα = m2a ⑴ x1-x2=1/2at2 ⑵ 解得 x2=0.05m a=5 m/s2

t=0时，F最小，对AB整体 t=0.2s 时，F最大，对A物块： Fmax - m1g sinα = m1a 30° Fmin = (m1 + m2) a = 60N t=0.2s 时，F最大，对A物块： Fmax - m1g sinα = m1a Fmax = m1g sinα + m1a = 100N 30° A B F

三、平衡问题 1、共点力作用下物体的平衡条件 若几个力交于一点或几个力的作用线交于一点，则这几个力叫做共点力。 力平衡条件为： 2、物体的一般平衡条件 若几个力不交于一点或几个力的作用线不交于一点，可以把相关力平移到一点，同时要考虑各力相对于该点的力矩。 物体的平衡条件为：

力使物体转动的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。 补充内容： 1、力矩 ①力臂：转动轴到力的作用线的垂直距离。 ②力矩：力和力臂的乘积。 　 ③计算公式：M＝FL　 ④单位：　Nm　 ⑤效果：可以使物体转动 1）力对物体的转动效果 力使物体转动的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。 ①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。 ②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。 F θ LF L

①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL 如图中，力F的力臂为LF=Lsinθ力矩M＝F•L sinθ 2）大小一定的力有最大力矩的条件： ①力作用在离转动轴最远的点上； ②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。 3）力矩的计算： 　①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL 如图中，力F的力臂为LF=Lsinθ力矩M＝F•L sinθ F θ L F2 F1 ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向 分解，平行于杆的分力对杆无转动效果， 力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力 的大小与杆长的乘积。如图中，力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩，M＝F sinθ•L 两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程

正确理解力矩的概念： 力矩是改变转动物体的运动状态的物理量。门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用。但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都不会改变其运动状态，可见转动物体的运动状态和变化不仅与力的大小有关，还受力的方向、力的作用点的影响。力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显。物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量综合表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积。力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量。 　　力矩是矢量，在中学物理中，作用在物体上的力都在同一平面内，各力对转轴的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动，这样，求几个力矩的合力就简化为代数运算。

2、力矩平衡： ①力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和。 ∑M=0　或　∑M顺＝∑M逆 ②解决实际问题的步骤： 1）确定研究对象——哪个物体； 2）分析状态及受力——画示意图； 3）列出力矩平衡方程：∑M=0或∑M顺＝∑M逆； 4）解出字母表达式，代入数据； 5）作必要的讨论，写出明确的答案。

应用物体的一般平衡条件求解问题时要注意： （1）此条件成立的前提是物体所受外力均在一个平面内。 （2）方程 对任意点（或转动轴）均成立。 （3）取不同的转动轴建立方程时，要注意分析每个力对该轴 的力臂以及是物体转动的方向；同一个力对于不同的转动轴， 产生的力矩的正负和力臂的大小均可能不同。 （4）依次取不同的转动轴可以列出多个方程。但对处于平衡 的物体而言，独立的方程一个只有三个，只能解出三个未知数。

平衡问题解题思路 二力平衡：F1=F2 三力平衡：解三角形（多为直角三角形） 多力平衡：正交分解，平衡方程 X轴： 同向力之和=反向力之和 Y轴： 同向力之和=反向力之和 作图法 动态平衡： 相似形法 力矩平衡：∑M=0　或　∑M顺＝∑M逆

例1、如图所示，人站在岸上通过定滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则在船匀速靠岸的过程中，绳的拉力和船受到的浮力如何变化？

例2、如图所示，一个重为G的球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住，使之处于静止状态，今使板与斜面夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板、斜面的压力如何变化？ θ β

FN1 FN1 FN2 θ β θ FN2 F1 F1 G F2 G F2 θ θ FN2 FN1 FN2 θ θ G G F2 F1 θ

θ G 　点评：合力的大小、方向不变，一个分力的方向不变，则另一分力有最小值．（条件：两分力垂直）

例3、光滑的半球固定在水平地面上，球心正上方有一滑轮，轻绳的一端系一小球靠在半球上，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图3所示，现缓慢地拉绳，在使小球沿球面上移过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况如何？

F拉 FN G

　　点评：合力大小方向不变，两个分力方向改变。力的矢量三角形与几何三角形相似。

两质量为的小球，放在劲度系数为k，原长为L的弹簧两端，自由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上并已知小球密度为。 例4 ( 12分) 两质量为的小球，放在劲度系数为k，原长为L的弹簧两端，自由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上并已知小球密度为。 ①问在两球间万有引力作用下，弹簧最大压缩量。 ②若体系整体绕中心角度旋转，要求弹簧保持原长，应为多大？ 北约真题

[解析] 设小球半径为r 设平衡位置相对原长移动 则由： 由于万有引力很弱。 ∴ 压缩到最大程度共缩2 由 弹簧弹力为0 如何理解？

例5 （清华大学自主招生考题）如图所示，甲、乙两个小球分别固定在一根直角尺的两端A、B ，直角尺的顶点O处有光滑的水平固定转动轴，且OA=OB=L，系统平衡时，OA与竖直方向的夹角为370。 （1）求甲、乙二球的质量之比mA/mB； （2）若将直角尺顺时针缓慢转动到OA处于水平后由静止释放，求开始转动后B球可能达到的最大速度和可能达到的最高点。 华约真题

解：（1） 由力矩平衡 （2） 开始转动后，当力矩平衡时小球的角速度最大，故此时速度最大。由动能定理得：

系统到平衡位置时不会停止运动，要通过平衡位置继续转动。B球到最高点时，设OA与竖直方向的夹角为θ（如下图所示），设势能零点在O的水平面内，由机械能守恒定律得： Δh

FN1 Ff1 F1 GLG ＝FN1LN ＋Ff1Lf G Ff1 例6 如图所示，OA杆可绕过O点的水平轴在竖直平面内无摩擦转动，OA水平地搁在薄木板B上，B的质量可以忽略不计，B放在光滑斜面上，杆的A端与B板之间是粗糙的，若将B沿斜面匀速拉动，则下列说法中正确的 （A）将B向上拉动所需力比向下拉动所需力小， （B）无论向上拉或向下拉动B，所需的力大小相等， （C）杆对B的压力，将B向上拉动时比向下拉动时小， （D）无论将B向上拉或向下拉动，杆对B的压力相等。 FN1 Ff1 F1 GLG ＝FN1LN ＋Ff1Lf G Ff1

GLG ＝FN1LN ＋Ff1Lf FN2 G Ff2 Ff2 GLG ＋Ff2Lf ＝FN2LN F2 Ff2＞Ff1 FN2＞FN1 例6 如图所示，OA杆可绕过O点的水平轴在竖直平面内无摩擦转动，OA水平地搁在薄木板B上，B的质量可以忽略不计，B放在光滑斜面上，杆的A端与B板之间是粗糙的，若将B沿斜面匀速拉动，则下列说法中正确的是 （A）将B向上拉动所需力比向下拉动所需力小， （B）无论向上拉或向下拉动B，所需的力大小相等， （C）杆对B的压力，将B向上拉动时比向下拉动时小， （D）无论将B向上拉或向下拉动，杆对B的压力相等。 GLG ＝FN1LN ＋Ff1Lf FN2 G Ff2 Ff2 GLG ＋Ff2Lf ＝FN2LN F2 Ff2＞Ff1 FN2＞FN1 F2＞F1

mg sin37＋mg cos37＝ma a＝10m/s2 s＝v2/2a＝5m 20(5－30.8)＝ 例7 如图，两根固定在一起的杆放在水平地面上，AC长为6m，A端到B点距离为4m，OB长为3m，并与AC相垂直，O点为固定在地面上的转动轴，设杆AC质量均匀，且为M＝2kg，杆OB质量不计，现有一质量为m＝2kg的小滑块从A点以一定的初速沿杆AC向上滑行，滑块与AC的动摩擦因数＝0.5，则（1）如小滑块的初速为v＝10m/s时，上滑过程中杆的A端对地的最小压力FN为多少？ mg sin37＋mg cos37＝ma a＝10m/s2 s＝v2/2a＝5m 20(5－30.8)＝ 200.81＋100.8 3＋FN5 Ff FN FN1 Mg FN＝2.4 N

mg sin37＋mg cos37＝ma a＝10m/s2 s’＝v2/2a＝7.2m ＞6m Ff 20(5－30.8)＝ 例7 如图，两根固定在一起的杆放在水平地面上，AC长为6m，A端到B点距离为4m，OB长为3m，并与AC相垂直，O点为固定在地面上的转动轴，设杆AC质量均匀，且为M＝2kg，杆OB质量不计，现有一质量为m＝2kg的小滑块从A点以一定的初速沿杆AC向上滑行，滑块与AC的动摩擦因数＝0.5，则（2）如小滑块的初速为v’＝12m/s时，上滑过程中杆的A端对地的最小压力FN’为多少？ mg sin37＋mg cos37＝ma a＝10m/s2 s’＝v2/2a＝7.2m ＞6m Ff 20(5－30.8)＝ 200.82＋100.8 3＋FN’5 FN’ FN1 Mg FN’＜0 所以FN’＝0

对轮轴: FNR＝mgr FN 对杆:FNL1＝m1g（L1＋L2） Ff m1＝FNL1/g（L1＋L2） 练-1 如图所示，轮轴能绕轴心O一起转动，不计轮轴的质量和转动时轴心处的摩擦，轮半径为R，轴半径为r，另有一水平杠杆CBA能绕C自由转动，在A处挂有砝码，B处压在轮的边缘上，已知CB＝L1，BA＝L2，轴上绕有轻细绳，绳子下端挂有质量为m的重物，B处的动摩擦因数为，为使重物能匀速下降，砝码的质量m1应多大？ 对轮轴: FNR＝mgr FN 对杆:FNL1＝m1g（L1＋L2） Ff m1＝FNL1/g（L1＋L2） ＝mrL1/R（L1＋L2）

例8 交大真题

（1）使圆盘在平面上运动几乎不需要作用力。使正方形物体在平面上运动，需要的最小作用力F是多少？ 例9 车轮是人类在搬运东西的劳动中逐渐发明的，其作用是使人们能用较小力量搬运很重的物体。假设匀质圆盘代表车轮，其它物体取一个正方形形状。我们现在就比较在平面和斜面两种情形下，为使它们运动（平动、滚动等）所需要的最小作用力。假设圆盘半径为b，正方形物体的每边长也为b，它们的质量都是m，它们与地面或斜面的摩擦因数都是μ，给定倾角为θ的斜面。 （1）使圆盘在平面上运动几乎不需要作用力。使正方形物体在平面上运动，需要的最小作用力F是多少？ （2）在斜面上使正方形物体向上运动所需要的最小作用力F是多少？ （3）在斜面上使圆盘向上运动所需要的最小作用力F是多少？限定F沿斜面方向。 北约真题

题源---拉力F作用在质量为m的物体上，使它沿水平地面匀速前进，如图所示。若物体与地面的动摩擦因数为m，当拉力最小时力和地面的夹角θ为多大？ 合成与分解

二解：设物体正处于拉动和未被拉动的临界状态。物体的受力情况如图，且拉力F与水平向的夹角为θ。 物体沿水平方向力的平衡方程为 Fcosθ=μ（G-Fsinθ） 解得

考虑到动摩擦力f与正压力N间的关系，又有 由上述三个方程消去未知量N和f，将F表示为θ的函数，得 F=μmg/（cosθ+μsinθ）， 对上述表达式作变换，又可表示为 F= ， 其中tanα=μ. 由此可知，当θ=arctanμ时，拉力F可取得最小值 Fmin=μmg/ .

此例题可用“几何 方法”分析求解：对物块 做匀速直线运动时所受的 四个力来说，重力mg的大 小、方向均恒定；拉力F的 大小和方向均未确定；由于支持力N与动摩擦力f的比值确定的，做其合力R的大小未确定而方向是确定的（与竖直线夹α角），于是，把N与f合成为一个力R，物块所受的四个力即可等效地视为三个力R、mg和F，而这三个力的矢量关系可由图来表示。 由图便很容易得出结论：当拉力F与水平面夹角为 α=tg-1μ时，将取得最小值 Fmin=mgsinα=

四、动量 能量问题 对时间的积累 冲量 I=Ft 动量定理 系统所受合力为零或不受外力 动量守恒定律 Ft=mv2mv1 力的积累和效应 牛顿第二定律F=ma 对时间的积累 冲量 I=Ft 动量 p=mv 动量定理 Ft=mv2mv1 动量守恒定律 m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’ 系统所受合力为零或不受外力 对位移的积累 功：W=FScosα 瞬时功率：P=Fvcosα 平均功率： 机械能 动能 重力势能：Ep=mgh 弹性势能 动能定理 机械能守恒定律 Ek1+EP1=Ek2+EP2 或ΔEk =ΔEP 四、动量 能量问题 只有重力做功

F F＜mgsin mgsin a Fs＝E机 E机/s＝F F先减小后不变 mgsin－F＝ma 例1 一物体在光滑的斜面上受到一平行于斜面的力作用，由静止开始沿斜面运动，运动过程中物体的机械能与物体位移关系的图像如图所示，其中0-s1过程的图线为曲线，s1-s2过程的图线为直线。根据该图像，下列判断正确的是（ ） （A）0-s1过程中物体的加速度越来越大 （B）s1-s2过程中物体可能在做匀速直线运动 （C）s1-s2过程中物体可能在做变加速直线运动 （D）0-s2过程中物体的动能在不断增大 F F＜mgsin mgsin a Fs＝E机 E机/s＝F F先减小后不变 mgsin－F＝ma

（浙江大学自主招生考题）有长为L的绳，上栓一质量为m的小球，假设能量守恒，求最高点与最低点绳的拉力之差。 例2 （浙江大学自主招生考题）有长为L的绳，上栓一质量为m的小球，假设能量守恒，求最高点与最低点绳的拉力之差。 点评： 1.竖直平面内的圆周运动的两类模型 2.竖直平面内圆周运动的几个特殊位置 浙大真题

T v mgL＝mv2/2＋Mu2/2 绳对小车做功为Mu2/2 绳对小球做功为－Mu2/2 例3 如图所示，质量为M的小车停在光滑水平面上，质量为m的小球用长为L的细绳悬挂在车顶上，将小球拉至细绳成水平方向后由静止释放，空气阻力不计,当小球达到细绳成竖直方向的位置时，小车的速度为u，则在小球下落过程中 （A）重力对小球做功mgL， （B）合外力对小球做功为mgL， （C）悬绳对小球不做功， （D）小球克服悬绳拉力做功为Mu2/2。 mgL＝mv2/2＋Mu2/2 绳对小车做功为Mu2/2 T 绳对小球做功为－Mu2/2 v

例4 如图所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的一另端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当绳与AB成角时，圆环移动的距离是多少？这是小球的速度为多大？ 华约真题 本题考查了动量守恒、机械能守恒、相对运动。难度高于高考，比竞赛题略容易。

例5 一辆汽车质量为1×103 kg,最大功率为2×104 W,在水平路面上由静止开始做直线运动,最大速度为v2,运动中汽车所受阻力恒定.发动机的最大牵引力为3×103 N,其行驶过程中牵引力F与车速的倒数 的关系如图4所示.试求: 图4

(1)根据图线ABC判断汽车做什么运动？ (2)v2的大小. (3)整个运动中的最大加速度. (4)当汽车的速度为10 m/s时发动机的功率为多大？ 解析 (1)图线AB表示牵引力F不变,阻力Ff不变,汽 车做匀加速直线运动,图线BC的斜率表示汽车的功率 P不变,汽车做加速度减小的加速运动,直至达到最大速度v2,此后汽车做匀速直线运动. (2)汽车速度为v2时,牵引力为F=1×103 N

(3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大 (4)与B点对应的速度为 当汽车的速度为10 m/s时处于图线BC段,故此时的 功率为最大功率Pm=2×104 W 答案 (1)见解析 (2)20 m/s (3)2 m/s2 (4)2×104 W

m2gR/2－m1gR＝(m1＋m2)v2/2 m1g＝m1v2/R m2gR/2－m1gR＝(m1＋m2)Rg/2 例6 风洞实验室可产生水平方向的、大小可调节的风力。在风洞中有一个固定的支撑架ABC，该支撑架的外表面光滑，且有一半径为R的四分之一圆柱面，支撑架固定在离地面高为2R的平台上，平台竖直侧壁光滑，如图所示，地面上的D点处有一竖直的小洞，小洞离侧壁的水平距离为R，现将质量分别为m1和m2的两个小球用一根不可伸长的轻绳连接按图示的方式置于圆柱面上，球m1放在柱面底部的A点，球m2竖直下垂。 （1）在无风情况下，将两球由静止释放（不计一切摩擦），小球m1沿圆柱面向上滑行，刚到最高点C时恰对圆柱面无压力，则两球的质量之比m1: m2是多少？（m1到最高点时m2尚未着地） m2gR/2－m1gR＝(m1＋m2)v2/2 m1g＝m1v2/R m2gR/2－m1gR＝(m1＋m2)Rg/2 m2－2m1＝m1＋m2 m1:m2 ＝(－1):3

s＝at2/2 ax＝g/3 F＝max ＝mg/3 v＝at vx0＝vyt/3 ＝ 6Rg/3 例6 （2）改变两小球的质量比，释放两小球使它们运动，同时让风洞实验室内产生水平均匀的风迎面吹来，当小球m1滑至圆柱面的最高点C时绳恰好断裂，通过调节风力F的大小，使小球m1恰能与洞壁无接触地落入小洞D的底部，求小球m1经过C点时的速度及水平风力F的大小。 s＝at2/2 ax＝g/3 F＝max ＝mg/3 v＝at vx0＝vyt/3 ＝ 6Rg/3

用长L=1.6m的细绳，一端系着质量M=1kg的木块，另一端挂在固定点上。现有一颗质量m =20g的子弹以v1=500m/s的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以v2=100m/s的速度前进。问木块能运动到多高？（取g =10m/s2，空气阻力不计） 例7 北约真题

【解答】在水平方向动量守恒，有 mv1=Mv+mv2 (1) 式①中v为木块被子弹击中后的速度。木块被子弹击中后便以速度v开始摆动从式①求得vA= v = 8m/s。木块在临界位置C时的速度为vc，高度为 h′=L(1+cosθ) 如图4-4所示， 根据机械能守恒定律有

临界点如何确定？临界条件是什么？

木块从C点开始以速度vc做斜上抛运动所能到的最大高度h″为

s总＝R/ mgRcos－mgcos s总＝0 mgR(1－cos)＝mv2/2 N－mg＝mv2/R N＝mg＋mv2/R 例8 17．如图所示，竖直固定放置的斜面AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD的B端相切，圆弧面的半径为R，圆心O与A、D在同一水平面上，COB＝，现在一质量为m的小物块从斜面上的A点无初速下滑，已知小物块与AB斜面间的动摩擦因数为，则小物块在斜面上一共通过的总路程是＿＿＿＿＿＿＿，小物块运动过程中对C点的最小压力是＿＿＿＿＿＿＿＿。 s总＝R/ mgRcos－mgcos s总＝0 mgR(1－cos)＝mv2/2 N－mg＝mv2/R N＝mg＋mv2/R ＝mg＋2mg(1－cos) ＝3mg－2mgcos

s＝3922m ＝156 m mgh－W＝mv2/2 W＝mgh－mv2/2 ＝800156－8062/2 ＝1.23105J 例9 总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2 s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v-t图，试根据图像求：（g取10m/s2） （2）估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功； s＝3922m ＝156 m mgh－W＝mv2/2 W＝mgh－mv2/2 ＝800156－8062/2 ＝1.23105J

h1＝156m t1＝14s t2＝(h－h1)/v ＝344/6 ＝57.3s t总＝71.3s 例9 总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2 s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v-t图，试根据图像求：（g取10m/s2） （3）估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。 h1＝156m t1＝14s t2＝(h－h1)/v ＝344/6 ＝57.3s t总＝71.3s

例10 直径和高同为d的不带盖小圆桶，用一根水平直杆与直径和高同为2d的带盖大圆桶相连后，静放在光滑水平面上，它们的总质量为M。大桶顶部边缘部位有一个质量为m的小猴，此时小猴、两圆桶底部中心和直杆处于同一竖直平面内，如图所示。设小猴水平跳离大桶顶部，恰好能经过也处于运动状态的小桶上方圆周边缘部位后，落到小桶底部中心。 （1）计算小猴从大桶上方边缘部位落到小桶底部中心所经时间； （2）试求直杆长度； （3）导出小猴跳离大桶时相对地面的速度 北约真题 本题考查了平抛运动、动量守恒。高考范围内的难题

本题考查了斜抛运动、动量守恒。不在高考范围。 例11 物体做斜抛运动。 （1）已知抛出速度vo为和抛射角为，求物体的水平位移。 （2）假设一个人站在光滑冰面上，以相对于自己的速度vo斜向上抛出一个小球，当小球下落至抛出点高度时，水平位移为L，设人与球的质量分别为M和m，求抛出速度的最小值及小球抛出时速度与水平方向的夹角 北约真题 本题考查了斜抛运动、动量守恒。不在高考范围。

例13 北约真题 （2009北大自主招生考题）质量为m1和m2的两小球放在光滑的水平面上，分别以初速度v10和v20发生弹性正碰，碰后速度为v1和v2，求v1和v2。 点评： 1.弹性正碰在高考中的要求： 2.自主招生考试中对这一考点的要求： 3.多次碰撞问题 07年全国一卷题24 09、10年北京卷题24

例13 北约真题

例14 如图示，在光滑的水平面上，质量为m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m的小球A以初速度v0向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过了一段时间A与弹簧分离. （1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能EP多大？ （2）若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板，在A球与弹簧未分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反，欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹性势能达到第（1）问中EP的2.5倍，必须使B球在速度多大时与挡板发生碰撞？ 例10、 B A v0

解： （1）当弹簧被压缩到最短时，AB两球的速度相等设为v， 由动量守恒定律 2mv0=3mv B A v0 甲 由机械能守恒定律 EP=1/2×2mv02 -1/2×3mv2 = mv02 / 3 B A v1 v2 乙 （2）画出碰撞前后的几个过程图 由甲乙图 2mv0=2mv1 +mv2 B A v1 v2 丙 由丙丁图 2mv1- mv2 =3mV 由甲丁图,机械能守恒定律（碰撞过程不做功） A V 丁 B 1/2×2mv02 =1/2×3mV2 +2.5EP 解得v1=0.75v0 v2=0.5v0 V=v0/3

小结： （1）两物体速度相同时，弹簧最短（或最长）， 弹簧弹性势能最大，系统总动能最小。 （2）弹簧恢复原长时，弹性势能为零， 小结： 　　 　　 （1）两物体速度相同时，弹簧最短（或最长）， 弹簧弹性势能最大，系统总动能最小。 　　 　　 （2）弹簧恢复原长时，弹性势能为零， 系统动能最大。

(1)从撤去外力到物块A离开墙壁的过程中，墙壁对物块A的冲量; (2)在物块A离开墙壁后的运动过程中，物块A、B速度的最小值。 例15 (12分)如图，质量分别为m和3m的物块A、B用一根轻弹簧相连，置于光滑的水平面上，物块A刚好与墙接触。现用外力缓慢向左推物块B使弹簧压缩，然后撤去外力,此过程中外力做功为W,求： (1)从撤去外力到物块A离开墙壁的过程中，墙壁对物块A的冲量; (2)在物块A离开墙壁后的运动过程中，物块A、B速度的最小值。 华约真题 本题考查了系统的功能原理、动量守恒、机械能守恒。本题不超高考考纲。是一道很好高考复习题。

解析：(1)压缩弹簧时外力做功全部转化为弹性势能。撒去外力后，物块B在弹力作用下做加速运动。在弹簧恢复原长的过程中，系统的机械能守恒。设弹簧恢复原长时，物块B的速度为vB0，有 ① ② 此过程中系统的动量变化即为墙给A的冲量，有 ③ 联立①③式得 ④

(2)当弹簧恢复原长时，物块A的速度为最小值，有 ⑤ 物块A离开墙壁后，在弹簧的作用下速度逐渐增大，物块B速度逐渐减小。当弹簧再一次恢复原长时，物块A达到最大速度.物块B的速度减小到最小值.在此过程中系统的动量守恒、机械能守恒，有 ⑥ ⑦ 联立②⑥⑦式，可得 ⑧

例16 在光滑的水平桌面上有两个质量均为m的小球，由长度为2l的拉紧细线相连。以一恒力作用于细线中点，恒力的大小为F，方向平行于桌面。两球开始运动时，细线与恒力方向垂直。求在两球碰撞前瞬间，两球的速度在垂直于恒力方向的分量 北约真题 本题考查了质心运动定理、动量定理、动能定理。是一道竞赛原题

质心运动定理， 动量定理， 动能定理， 其中

例17 （14分) 平直铁轨上停着一节质量 的小车厢，可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。有 N名组员沿着铁轨方向列队前行，另有1名组长在最后，每名组员的质量同为 m 。 ⑴ 当组员和组长发现前面车厢时，都以相同速度VO跑步，每各组员在接近车厢时又以2VO 速度跑着上车坐下，组长却因跑步速度没有改为而恰好未追上车，试求N 。 ⑵ 组员们上车后，组长前进速度减为 ，车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个水平跳下，组员离开车瞬间相对车厢速度大小同为 u ，结果又可使组长也能追上车。试问，跳车过程中组员们总共至少消耗掉人体中的多少内能？ 北约真题

[解析] ⑴ 设组员全部上车后，车的速度为v 由动量守恒： 队长恰好未能追上车，必有 即得N＝2 ⑵ 设第一名组员离开后车速度V1，第二名组员离开后车速度V2

可使组长也能追上车，要求 为了计算临界情况，取 ， ，得

未名湖畔会有你的足迹 水木清华会有你的身影 知识改变命运 态度决定一切 尊严来自实力 细节成就完美 未名湖畔会有你的足迹 水木清华会有你的身影