第七章作业3： 7.29、7.31

(Generalized Hooke’s law ) §7-6 广义虎克定律 (Generalized Hooke’s law ) 一、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials) 1、符号规定 (Sign convention) x x y z y xy yx z （1） 正应力：拉应力为正, 压应力为负 （2） 切应力：对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针，则τ为正；反之为负 （3） 线应变：以伸长为正, 缩短为负； （4） 切应变：使直角增者为正, 减小者为负.

(Generalized Hooke’s law for isotropic materials) 2、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials) 用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独存在时, x ，y， z方向的线应变 x , y， z，然后代数相加. x 方向的线应变 x y z z y 单独存在时 x 单独存在时 单独存在时

在 x 、y 、 z同时存在时, x 方向的线应变x为 同理，在 x 、y 、z同时存在时, y , z 方向的线应变为 在 xy，yz，zx 三个面内的切应变为

—— 沿x、y、z轴的线应变 —— 在xy、yz、zx面上的角应变 上式称为广义胡克定律(Generalized Hooke’s law）

3、主应力-主应变的关系 (Principal stress-principal strain relation） 已知 1、 2、 3；1、2 、3 为主应变 二向应力状态下(In plane stress-state) 设  3 = 0

对于平面应力状态（In plane stress-state） (假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 ) xy x y yx x y xy yx

二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials) 构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示. 各向同性材料在三向应力状态下的体应变 1 2 3 a1 a2 a3 如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为 a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 变形后单元体的体积为 V1=a1(1+· a2(1+2 · a3(1+3

体积应变（Volumetric strain）为

1、纯剪切应力状态下的体积应变（ Volumetric strain for pure shearing stress-state) 即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变. 2、三向等值应力单元体的体积应变(The volumetric strain of triaxial-equal stress element body) m 三个主应力为 单元体的体积应变

1 2 3 a1 a2 a3 m 这两个单元体的体积应变相同 单元体的三个主应变为

如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三个棱边 应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以 在三向等值应力m的作用下，单元体变形后的形状和变形前 的相似，称这样的单元体是形状不变的. 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三 个线应变 x ，y， z 有关，仿照上述推导有 在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体 积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之 和成正比, 而与切应力无关.

解：铜块横截面上的压应力 铜块受力如图所示变形条件为 例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大， 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图所示. 已知铜的弹性模量 E=100GPa，泊松比 =0.34，当受到F=300kN 的均布压力作用时，求该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力. a F 解：铜块横截面上的压应力 铜块受力如图所示变形条件为 z y x z x y

解得 铜块的主应力为 体积应变为 最大切应力

例题11 一直径 d =20mm的实心圆轴，在轴的的两端加力矩 m=126N·m. 在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成 -45°方向的应变  =5.010-4 ,试求此圆轴材料的剪切弹性模 量 G. m m A x 45°

A 1 3 x y -45° 解：围绕A点取一单元体

例题12 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点与其轴线成 45°和135°角，即 x, y 两方向分别贴上应变片， 然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶，如图所示，已知圆筒 材料的弹性常数为 E = 200GPa 和  = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹 性范围内，且 max = 100MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变 形后的筒壁厚度. D t y m k x

解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示可求得 -45° x y k 1 3 max D t y m k x 解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示可求得

k点处的线应变 x , y 为 （压应变） （拉应变） 圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变和圆筒中任一点 ( 该点到 圆筒横截面中心的距离为  )处的径向应变为 因此，该圆筒变形后的厚度并无变化，仍然为 t =10mm .

例题13 已知矩形外伸梁受力F1，F2作用. 弹性模量 E=200GPa， 泊松比 = 0.3 , F1=100KN ， F2=100KN。 求：（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3 （2）A点处的线应变 x ， y ， z F1 b F2 A F2 h z b=50mm a l h=100mm

解：梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力 和弯曲引起的切应力. x = 20 x = 30 （拉伸） （负） （1）A点处的主应变 1， 2 ， 3

（2）A点处的线应变 x， y， z

例题14 简支梁由18号工字钢制成. 其上作用有力F= 15kN ， 已知 E=200GPa , = 0.3. 0° 45° 90° h/4 0.25 0.5 0.5

解： z A h/4 yA ，Iz ，d 查表得出 A A = 50.8 A = 68.8 为图示面积对中性轴z的静矩

0.5 F 1350 0.25 A 0° 45° 90° h/4 A A = 50.8 A = 68.8

(Strain-energy density in general stress-state) §7-7 复杂应力状态的应变能密度 (Strain-energy density in general stress-state) 一、应变能密度的定义 (Definition of Strain-energy density ) 物体在单位体积内所积蓄的应变能. 二、应变能密度的计算公式 (Calculation formula for Strain-energy density) 1、单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为 (Strain-energy density for simple stress-state ) 26

2、三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为 (Strain-energy density for simple stress-state ) 将广义胡克定律代入上式, 经整理得 用 vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为 体积改变能密度（ The strain-energy density corresponding to the volumetric) 用 vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, 称为畸变能密度（The strain-energy density corresponding to the distortion.） 应变能密度 vε等于两部分之和 27

图 a 所示单元体的三个主应力不相等，因而，变形后既发生 体积改变也发生形状改变. 1 2 3 (b) m m=(1+ 2+ 3)/3 代之以m 图 a 所示单元体的三个主应力不相等，因而，变形后既发生 体积改变也发生形状改变. 图 b 所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状 与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变. 28

图 b 所示单元体的体积改变比能密度 29

a单元体的比能为 a所示单元体的体积改变比能 (a) 1 2 3 空间应力状态下单元体的 畸变能密度 30

皇家学会的双眼和双手——胡克 　　罗伯特．胡克（Hooke Robert 1635-1703）是17世纪英国最杰出的科学家之一。他在力学、光学、天文学等诸多方面都有重大成就。他所设计和发明的科学仪器在当时是无与伦比的。他本人被誉为是英国皇家学会的“双眼和双手”。 胡克（1635-1703） 牛顿（1643-1727） 波义耳（1627-1691） 惠更斯（1629-1695）

复杂应力状态的应变能密度 三向应力状态 体积改变能密度 畸变能密度

§7-8 强度理论(The failure criteria) 一、强度理论的概念（Concepts of failure criteria) 1、引言 (introduction) 轴向拉、压 正应力强度条件 (Strength condition for normal stress) 弯曲 剪切 切应力强度条件 (Strength condition for shear stress) 扭转

关于“构件发生强度失效 起因”的假说 上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件. 2、 强度理论的概念(Concepts for failure criteria) 关于“构件发生强度失效 起因”的假说

根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行 分析,提出破坏原因的假说。在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。

(Two failure types for materials in normal temperature 二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads) 1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂. 2. 屈服失效(Yielding failure) 材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.

脆性断裂和塑性屈服 低碳钢 铸铁 轴向拉伸 扭转

材料破坏的主要因素 低碳钢 结论：低碳钢属于剪切破坏 拉伸时45°截面上具有最大剪应力 扭转时横截面周线上具有最大剪应力 # 滑移线说明是剪切破坏 # 斜截面剪应力： # 扭转时圆周上具有最大剪应力： 结论：低碳钢属于剪切破坏

结论：铸铁属于拉伸破坏 铸铁 拉伸时横截面上具有最大正应力 扭转时45°截面上具有最大正应力 # 轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应 # 轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应 力状态，横截面上正应立即为最大主应力 # 扭转时圆柱面上任意 一点处于纯剪切状态， 主应力与横截面成45° 结论：铸铁属于拉伸破坏

最大正应力 最大线应变 常用强度理论 最大切应力 形状改变 比能

四个强度理论的历史

达·芬奇（1452～1519） 伽里略 (1564～1642)

埃德姆·马略特 (1620－1684）

库仑（1736--1806） 库仑（1736--1806）

麦克斯韦（1831～1879 ）

三、四个强度理论 (Four failure criteria) 1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度 理论的萌芽； 3、库仑/杜奎特(C.Duguet)提出了最大切应力理论； 4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论，这是后来人 们在他的书信出版后才知道的. 第一类强度理论 —以脆断作为破坏的标志 包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 第 二类强度理论—以出现屈服现象作为破坏的标志 包括：最大切应力理论和形状改变比能理论 46

四、第一类强度理论(The first types of failure criteria) 1、 最大拉应力理论（第一强度理论） (Maximum-normal-stress criterion ) 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料 就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏. 基本假说：最大拉应力 1 是引起材料脆断破坏的因素. 脆断破坏的条件： 1 = b 强度条件: 1  [

( Maximum-normal-strain criterion) 2、最大伸长线应变理论（第二强度理论) ( Maximum-normal-strain criterion) 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料 就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏. 基本假说：最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破坏的因素. 脆断破坏的条件 最大伸长线应变 强度条件

五、第二类强度理论(The second types of failure criterion） 1、最大切应力理论 (第三强度理论) ( Maximum-shear-stress criterion) 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会 沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效. 基本假说: 最大切应力 max 是引起材料屈服的因素. 屈服条件 在复杂应力状态下一点处的最大切应力为 强度条件

2、畸变能密度理论（第四强度理论） ( Maximum-distortion-energy criterion) 基本假说：畸变能密度 vd是引起材料屈服的因素. 单向拉伸下，1= s， 2= 3=0，材料的极限值 屈服准则 强度条件

六、相当应力（Equivalent stress) 把各种强度理论的强度条件写成统一形式 r 称为复杂应力状态的相当应力.

(Mohr’s failure criterion) §7-9 莫尔强度理论 (Mohr’s failure criterion) 一、引言（Introduction) 莫尔认为：最大切应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律).综合最大切应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论. 52

二、莫尔强度理论(Mohr’s failure criterion) ： 任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即 将屈服或剪断. M O2 O O1 O3 F N T L [c] [t] 1   M´ L´ T´ 公式推导 代入 强度条件 53

三、 各种强度理论的适用范围及其应用 （The appliance range and application for all failure criteria) 1、适用范围(The appliance range ) (1) 一般脆性材料选用第一或第二强度理论； (2) 塑性材料选用第三或第四强度理论； (3) 在三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生 脆性破坏，故选用第一或第二强度理论； (4) 在三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材 料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论.

2、强度计算的步骤 (Steps of strength calculation) (1)外力分析：确定所需的外力值； (2)内力分析：画内力图，确定可能的危险面； (3)应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力； (4)强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算. 3、应用举例（Examples） 55

第七章作业4： 7.33、7.35、7.36

本章完！ 祝大家学习愉快!