第四章 补充 连续系统常用的数学模型及其转换 1．微分方程及传递函数的多项式模型 在MATLAB 语言中，可以利用分别定义的传递函数分子、分母多项式系数向量方便地加以描述。例如对于（2-2）式，系统可以分别定义传递函数的分子、分母多项式系数向量为：

[例1] 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型表示出来，并将其建立在工作空间中。 解:

补充知识：MATLAB的基础知识Ⅰ 一. MATLAB简介 MATLAB具有以下主要特点： 3)程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。 4)强大的数据可视化功能。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATMB里，数据的可视化非常简单。MATIAB还具有较强的编辑图形界面的能力。 5)丰富的工具箱；由各学科领域内学术水平很高的专家编写的功能强劲的工具箱，使用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高、精、尖的研究。

二. MATLAB的工作环境 启动MATIAB6.x后，显示的窗口如图所示。

而选中命令窗口中View菜单的“Dock command Window”子菜单又可让命令窗放回桌面(MATIAB桌面的其他窗口也具有同样的操作功能)。

窗口中的符号“》”，表示MATIAB已准备好，正等待用户输入命令。用户可以在“》”提示符后面输入命令，实现计算或绘图功能。 在命令窗口中，可使用方向键对已输入的命令行进行编辑，如用“↑”键或“↓”键回到上一句指令或显示下一句命令。 (3)工作空间窗口“Work-space” 工作空间指运行MATLMB程序或命令所生成的所有变量构成的空间。每打开一次MATLAB，MATIAB会自动建立一个工作空间。

(4) 命令历史窗口“Command History”

[例2] 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型表示出来。 解：其MATLAN命令为： num=7*[2,3]; den=conv(conv(conv([1,0,0],[3,1]),conv([1,2],[1,2]),[5,0,3,8]); sys=tf(num,den) 运行结果： Transfer function: 14 s + 21  15 s^8 + 65 s^7 + 89 s^6 + 83 s^5 + 152 s^4 + 140 s^3 + 32 s^2

sys=zpk([z],[p],[k]) 2．传递函数的零极点增益模型 在MATLAB里，用函数命令zpk( )来建立控制系统的零极点增益模型，或者将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增益模型。zpk( )函数的调用格式为： sys=zpk([z],[p],[k]) 函数返回的变量sys为连续系统的零极点增益模型。

>> sys=zpk([z],[p],[k]) 结果： Zero/pole/gain: 5 (s+20) [例3] 已知系统传递函数为 ， 利用MATLAB将上述模型表示出来。 解： >> k=5; >> z=-20; >> p=[0,-4.6,-1]; >> sys=zpk([z],[p],[k]) 结果： Zero/pole/gain: 5 (s+20) --------------- s (s+4.6) (s+1) 

3．状态空间模型 在MATLAB中，用函数ss( )来建立控制系统的状态空间模型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统状态空间模型。ss( )函数的调用格式为： sys=ss(a,b,c,d) 函数的返回变量sys为连续系统的状态空间模型。函数输入参数a,b,c,d分别对应于系统的A，B，C，D参数矩阵。

[例4] 已知系统的状态空间描述为 利用MATLAB将上述模型表示出来。 P41 作业2-2 解： 2.25,-4.25,-1.25,-0.25; 0.25,-0.5,-1.25,-1; 1.25,-1.75,-0.25,-0.75]; >> b=[4;2;2;0]; >> c=[0,2,0,2]; >> d=0; >> sys=ss(a,b,c,d)

4. 三种数学模型之间的转换 表2-1 数学模型转换函数及其功能 函 数 名 函 数 功 能 ss2tf 将系统状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp 将系统状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2ss 将系统传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp 将系统传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss 将系统零极点增益模型换为状态空间模型 zp2tf 零极点增益模型换为传递函数模型

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) (1) 控制系统模型向传递函数或零极点增益形式的转换 1.状态方程向传递函数形式的转换 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) iu用于指输入量序号，对于单输入系统iu=1；返回结果num为传递函数分子多项式系数，按s的降幂排列；相应的传递函数分母系数则包含在矩阵den中。 为了获得传递函数的形式，还可以采用下述方式进行，即： G1=ss(A,B,C,D); G2=tf(G1)

[例5] 已知连续系统的状态空间描述如下，求相应的传递函数模型。 >> a=[2.25,-5,-1.25,-0.5; 2.25,-4.25,-1.25,-0.25; 0.25,-0.5,-1.25,-1; 1.25,-1.75,-0.25,-0.75]; >> b=[4;2;2;0]; >> c=[0,2,0,2]; >> d=0; >> T=1; >> [num,den]=ss2tf(a,b,c,d,T); >> sys=tf(num,den)

2.模型向零极点形式的转换 其基本格式为： [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) → 状态方程模型转换为零极点模型 [z,p,k]=tf2zp(num,den) → 传递函数模型转换为零极点模型 G1=zpk(sys) → 非零极点模型转换为零极点模型 [例6] 已知连续系统的状态空间描述如下，将其转换成零极点形式。

(2)系统模型向状态方程形式的转换 其基本格式为： [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) [a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) G1=ss(sys) [例7] 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型转换成状态空间模型。

[G1，T]=canon(sys,’modal’) (3)约当规范状态方程的实现 在MATLAB中提供给用户一个规范实现函数canon,以进行线性定常系统模型sys的规范状态空间表达式的实现. 其基本格式： G1=canon(sys, ’modal’) 同时，规范实现函数canon还可以返回状态变换阵T [G1，T]=canon(sys,’modal’) [例8] 《现代控制理论》 教材P46-47 试用canon函数将下列状态空间表达式化为约当标准型。

在现代控制理论课程中变换后的状态空间表达式为：

解：>> A=[0,1,0;0,0,1;2,3,0]; >> B=[0;0;1]; >> C=[1,0,0]; >> D=0; >> sys=ss(A,B,C,D,1); >> [G1,T]=canon(sys,'modal')

控制系统建模的基本方法 1. 解析法建立数学模型 [例] 试列写如图所示RLC的电路方程，建立系统的状态空间表达式。 如：《现代控制理论》 解：根据电路定律可列写如下方程：

2. 实验建模法

《自动控制原理》P131

一.正弦信号产生器 在进行频率响应实验时，必须提供适当的正弦信号产生器。对于大时间常数系统，实验所需要的频率范围约为0.001~10赫兹；对于小时间常数系统，实验所需要的频率范围约为0.1~1000赫兹。正弦信号必须没有谐波或波形畸变。 二．由Bode图求最小相位系统传递函数 为了确定传递函数，首先要画出实验得到的对数幅值曲线的渐进线。渐进线的斜率必须是±20分贝/十倍频程的倍数。 图2.2-1表示了0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统的对数幅值曲线，同时也表示了频率与增益K之间的关系。

2.2-1

三．频率响应法建立系统传递函数模型举例 [例] 用实验方法测得某系统的开环频率响应数据表2-1。试用表中数据建立该系统开环传递函数模型G(s)。 [解] （1）由已知数据绘制该系统的开环频率响应的Bode图。

（2）±20dB/dec及其倍数的折线逼近幅频特性，如图中折线。得两个转折频率。 求出相应惯性环节的时间常数为： （3）由低频段幅频特性知道： 所以K=1。 （4）由高频段相频特性知，相位滞后已超过-1800，且随着ω增大，相位滞后加大，显然该系统存在纯滞后环节 ，为非最小相位系统。

（5）设法确定纯滞后时间τ值。查图中 而按所求得的传递函数，应有 解得：τ1=0.37s。 再查图中 解得：τ2=0.33s。 （6）最终求得该系统开环传递函数模型G(s)为：

3．控制系统建模实例 独轮自行车实物仿真问题 1．问题提出 2.3-1

2.3-2

控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆问题”（如图2.3-3所示）。 G

2．解析法建立该系统数学模型 1）根据牛顿第二定律，在水平x轴方向满足：

2）摆杆重心的水平运动可描述为：

3）摆杆重心的垂直方向上的运动可描述为：

4）摆杆绕其重心的转动方程为： 整理式（2）和式(6)

3．模型简化 因为摆杆是均质细杆,所以可以求其对于质心的转动惯量.设单位长度的质量为 ,取杆上一个微段dx,其质量为 ,则此杆对于质心的转动惯量有: ① 当小车的质量M=1kg；倒立摆的质量m=1kg ；倒摆长度2 =0.6m；重力加速度g=10m/s2时得：

② 若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（-100<θ<100）的细微变化，则可以近似认为：

其等效动态结构图为： F(s) θ(s) X(s) 设系统状态为：

本章小结