4 层合板强度和刚度的宏观力学分析 4.1 概述 4.2 层合板的刚度和柔度 4.3 几种典型层合板的刚度计算 4 层合板强度和刚度的宏观力学分析 4.1 概述 4.2 层合板的刚度和柔度 4.3 几种典型层合板的刚度计算 4.4 层合板刚度的理论和实验比较 4.5 层合板的强度分析

4.1 概述 4.1.1 层合板的特性 层合板： 由两层或两层以上单层叠合在一起组成整体的结构板，各单层可以是纤维方向不同而材质相同，也可以是材质不同。 不同纤维方向单层叠合成的层合板称为多向层合板。 层合板的性能与各单层的材料性能有关，且与各单层的铺设方式有关。 工程上常使用层合板的结构形式。 因为有可能在不改变单层材料的情况下，设计出各种力学性能的层合板以满足工程上不同的要求，这是单层所没有的特点。

层合板的特性： （1）不一定有确定的材料主方向。 （2）强度、刚度取决于各单层性能和铺设方式，若各单层的性能和铺设顺序已确定，可推算出层合板的刚度。 （3）一般存在耦合效应，面内拉（压）、剪切荷载作用引起弯、扭变形，弯、扭荷载作用引起拉（压）、剪切变形。 （4）某一层或数层破坏，不一定全部失效。强度分析时比单层复杂。 （5）存在残余应力。 （6）各层之间存在层间应力。

4.1.2 层合板标记 层合板单层或单层组的方向和铺叠顺序的符号，称为层合板的标记。 z 坐标的原点取在层合板厚度的中间处， z 轴向下为正。 从 z = －h / 2 处开始向下排列，每单层或单层组的纤维方向与 x 轴即纤维方向角 q ，用度数表示。相同的纤维方向角单层层数，用下标数字表示在角度数的右下角。 单层或单层组之间用斜线隔开。

层合板的标记 O -453 05 902 45 z h/2 -h/2 x 下角标 S，表示对称层合板 。

对于奇数层对称层合板，需在中间层上加横线，如 对于非对称层合板，在标记中表明全部铺层组的铺设顺序，或附以下角标 T。如 层和 层相邻时，也可用 表示，这里 层在上。 则表示 层在上。

4.2 层合板的刚度和柔度 层合板强度和刚度分析，一般均采用宏观力学分析方法，把单层视为均匀的各向异性薄板，再把各单层层合成层合板，分析其强度和刚度。 弹性薄板：厚度远小于板的面内尺寸，板的所有位移都小 于板厚，各单层之间黏结牢固，没有相对滑移。 基于弹性力学薄板理论研究层合板的刚度。

4.2.1 层合板的基本假设 （1）直法线假设：原垂直于中面的法线变形后仍为垂直于 中面的直线。 （2）等法线假设：原垂直于中面的法线变形后长度不变。 （3）平面应力假设 ：各单层处于平面应力状态。 （4）线弹性和小变形假设 ：单层的应力-应变关系是线弹 性的，层合板是小变形。

4.2.2 层合板的应力-应变关系 中面（z = 0）上点的位移为： u0(x, y) v0 (x, y) w0 (x, y) 4.2.2 层合板的应力-应变关系 o x(u) y(v) z(w) 层合板坐标图 中面（z = 0）上点的位移为： u0(x, y) v0 (x, y) w0 (x, y) w0 称为板的挠度

o x(u) y(v) z(w) 层合板坐标图 由基本假设和几何方程得

中面的应变 中面的曲率 层合板的应变沿板厚度方向线性变化。

由于各单层的转换折减刚度矩阵不同，层合板的应力沿板厚度方向一般不是线性变化的。

1 2 3 4 x O z 2 1 3 4

作用在层合板上的内力和内力矩与层合板各单层应力有关。 4.2.3 层合板的刚度 h/2 1 x z y o 作用在层合板上的内力和内力矩与层合板各单层应力有关。 取高度为板厚的单元体 距中面 z 处的 dz 微元 x 面上有 sx、txy 和 txz y 面上有sy、tyx 和 tyz 由假设知， txz = tyz = 0 sx txz txy sy tyz tyx dz z

层合板的内力 dz z h/2 1 x y o sx txy sy tyx Ny Nyx Nxy x y 层合板的内力示意图 Nx

层合板的内力矩 dz z h/2 1 x y o sx txy sy tyx My y z x 层合板的内力矩示意图 Mxy Myx Mx

由于层合板的应力不连续分布，采用分层积分 k zN zk z2 z1 N 2 1 h/2 z0 zk-1 层合板各层编码次序

k zN zk z2 z1 N 2 1 h/2 z0 zk-1 层合板各层编码次序

拉伸刚度矩阵 A 弯曲刚度矩阵 D

耦合刚度矩阵 B 由于耦合刚度系数 Bij 的存在，面内内力不仅引起中面应变，同时产生弯曲与扭转变形；同样内力矩不仅引起弯扭变形，同时产生中面应变。

4.2.3 层合板的柔度

一般情况下 特殊情况下 、 、 称为柔度矩阵。

求该层合板内力及内力矩与应变之间的关系。 例题4-1 某 [ 45º / 0º ] 层合板，底层取向0º，厚度 5 mm，顶层取向45º，厚度 3 mm。这两层的材料主方向刚度性能相同，其刚度矩阵为 1 45º 2 0º z x 求该层合板内力及内力矩与应变之间的关系。 解：（1）计算

（2）计算拉伸刚度矩阵 A 1 45º 2 0º z x

（3）计算耦合刚度矩阵 B 1 45º 2 0º z x

（4）计算弯曲刚度矩阵 D 1 45º 2 0º z x

（5）内力及内力矩与应变之间的关系

刚度矩阵 Q 的单位和应力的单位是相同的。 拉伸刚度 A 的单位是应力与长度的乘积； 耦合刚度 B 的单位是应力与长度平方的乘积； 弯曲刚度 D 的单位是应力与长度立方的乘积。 在层合板的应力－应变分析运算时必须采用一致的单位，否则会导致错误的结果。

4.3 几种典型层合板的刚度计算 4.3.1 单层板 一层单层板或几层由相同材料和相同主方向的单层板粘合而成的层合板 各向同性单层板 4.3 几种典型层合板的刚度计算 4.3.1 单层板 一层单层板或几层由相同材料和相同主方向的单层板粘合而成的层合板 各向同性单层板 横观各向同性单层板 单层板 特殊正交各向异性单层板 一般正交各向异性单层板 各向异性单层板

1. 各向同性单层板 独立弹性常数：弹性模量 E1=E2=E，泊松比 n21=n12=n

拉伸刚度矩阵

耦合刚度矩阵

弯曲刚度矩阵

各向同性单层板的内力、内力矩-应变关系为 结论：各向同性单层板的拉、剪和弯扭之间无耦合效应

2. 横观各向同性单层板 设板面与各向同性面平行，则自然坐标轴与材料主方向一致。各向同性面内弹性模量和泊松比为 E1= E2 、n12=n21

拉伸刚度矩阵

耦合刚度矩阵

弯曲刚度矩阵

横观各向同性单层板的内力、内力矩-应变关系为 结论：横观各向同性单层板的拉、剪和弯扭之间无耦合效应

3. 特殊正交各向异性单层板 自然坐标轴与材料主方向相重合的正交各向异性单层板

特殊正交各向异性单层板的内力、内力矩-应变关系为 结论：特殊正交各向异性单层板的拉、剪和弯扭之间无耦合

4. 一般正交各向异性单层板 材料主方向与自然坐标轴不一致的正交各向异性单层板

一般正交各向异性单层板的内力、内力矩-应变关系为 结论：一般正交各向异性单层板的拉伸与弯曲之间无拉弯耦 合效应，但存在拉剪、弯扭耦合

5. 各向异性单层板

各向异性单层板的内力、内力矩-应变关系为 结论：各向异性单层板的拉伸与弯曲之间无拉弯耦合效应， 但存在拉剪、弯扭耦合

结论：单层板特点 （1）单层板耦合刚度系数 Bij = 0，不存在拉弯耦合效应。 （2）各向同性、横观各向同性和特殊正交各向异性单层板中， A16 = A26 = 0， D16 = D26 = 0。不存在拉剪耦合和弯扭耦合效应。 （3）一般正交各向异性、各向异性单层板，存在拉剪耦合和弯扭耦合效应。

对称层合板：各单层的几何尺寸和材料性能都对称于中面 的层合板 4.3.2 对称层合板 对称层合板：各单层的几何尺寸和材料性能都对称于中面 的层合板 1 2 m k n n-1 x z hm-1 hk hm hk-1 tk tm O 对称层合板各层坐标图 几何对称 材料对称

内力只与中面应变有关，内力矩只与中面曲率有关，不存在拉伸与弯曲耦合效应，力学分析得到简化。 1 2 m k n n-1 x z hm-1 hk hm hk-1 tk tm O 对称层合板各层坐标图 B = 0 对称层合板的基本特点 内力只与中面应变有关，内力矩只与中面曲率有关，不存在拉伸与弯曲耦合效应，力学分析得到简化。

内力、内力矩与中面应变、中面曲率的关系 一般情况下，刚度系数 A16、A26 、D16 、D26 不为零，对称层合板具有拉剪和剪拉耦合，弯扭和扭弯耦合。

各单层厚度均为 t 的偶数层对称层合板 对称层合板的拉伸刚度系数与层合板的单层铺叠顺序无关，但对称层合板的弯曲刚度系数与单层铺叠顺序有关。每单层的刚度对层合板弯曲刚度的贡献，取决于该层的位置。

1. 各向同性对称层合板 由对称于中面各不同的各向同性单层板组成

2. 特殊正交各向异性对称层合板 由对称于中面且自然坐标轴与材料主方向重合的正交各向异性单层板组成 对于 1 方向与 x 方向相同的第 k 层（0° 铺层）

对于 1 方向与 y 方向相同的第 m 层（90° 铺层）

特殊正交各向异性对称层合板与各向同性层合板相比，除 A11≠A22， D11≠D22 外，两者刚度系数形式相同。

3. 正规对称正交铺设层合板 由材料主方向与坐标轴夹角为0°，90°的正交各向异性单层交替铺设且对称于中面，其单层的层数为奇数。 例如：0°/ 90°/ 0° 90°/ 0°/ 90°/ 0°/ 90°

与 的差别只在 Q11 与 Q22 位置互换。 各刚度系数的计算与前面相同、且

4. 正规对称角铺设层合板 由材料性能相同、主方向与自然坐标轴夹角大小相等但成正负交替铺设且对称于中面的各单层组成，其单层的层数为奇数。 a 角铺设层 －a 角铺设层 利用 奇偶性

该层合板 Aij，Dij 各刚度系数都存在，但由于 A16、A26、D16、D26 中有正负交替项，其数值比其他刚度系数要小。 比特殊正交各向异性对称层合板的剪切刚度更大，工程上应用较多

5. 各向异性对称层合板 由各向异性单层组成，其刚度系数除 Bij 恒等于零外，其余刚度系数均不为零。

4.3.3 反对称层合板 由与中面相对称的单层组成，其材料主方向与坐标轴的夹角大小相等，但正负号相反，且对称层几何尺寸相等，总层数为偶数。 如： a t1 / -b t2 /…g ti / - g ti… / b t2 / -a t1 力学特征：不发生拉剪及弯扭耦合效应，但有拉弯耦合效应，即耦合刚度系数 Bij≠0 、

奇偶性 几何尺寸： 刚度特性： 同理

几何尺寸： 同理

层合板中与中面相对称的单层材料主方向与与坐标轴的夹角大小相等，但正负号相反，且对应厚度相等。 1. 反对称角铺设层合板 层合板中与中面相对称的单层材料主方向与与坐标轴的夹角大小相等，但正负号相反，且对应厚度相等。 a t1 -b t2 b t2 -a t1 x z O g ti -g ti … 几何尺寸：

有拉伸与扭转耦合、可用于制造需预扭的喷气涡轮叶片 刚度特性： a t1 -b t2 b t2 -a t1 x z O g ti -g ti … 有拉伸与扭转耦合、可用于制造需预扭的喷气涡轮叶片

由正交各向异性单层材料主方向与与坐标轴的夹角成 0° 和 90 ° 交替反对称铺设而成。 2. 反对称正交铺设层合板 由正交各向异性单层材料主方向与与坐标轴的夹角成 0° 和 90 ° 交替反对称铺设而成。 例如：0°/ 90°/ 0°/ 90° 90°t / 0°2t / 90°2t / 0°t 90° t1 0° t2 90° t2 0° t1 x z O 0° ti 90° ti …

90° t1 0° t2 90° t2 0° t1 x z O 0° ti 90° ti … 同理

90° t1 0° t2 90° t2 0° t1 x z O 0° ti 90° ti …

同理 90° t1 0° t2 90° t2 0° t1 x z O 0° ti 90° ti …

90° t1 0° t2 90° t2 0° t1 x z O 0° ti 90° ti … 同理

90° t1 0° t2 90° t2 0° t1 x z O 0° ti 90° ti … 另外

反对称正交铺设层合板 有拉伸与弯曲耦合效应

4.4 层合板刚度的理论和实验比较 4.4.1 正交铺设层合板的刚度理论与实验验证 4.4.1 正交铺设层合板的刚度理论与实验验证 n 层单层组成的正交铺设层合板，材料主方向与层合板坐标轴交错成 0° 和 90 ° 角。奇数层为 0°，厚度 t1 相等；偶数层为 90 °，厚度 t2 相等。 引入两个几何参数： 总层数 n、 正交铺设比 m

正交铺设比 ：奇数层总厚度与偶数层总厚度之比 表示奇数层总和， 表示奇数层总和 引入 主单层刚度比 F ：

n 为奇数时，即对称正交铺设层合板

n 为偶数时，即反对称正交铺设层合板 以上与 n 为奇数时相同

（1） Aij 与层数 n 无关，A11，A22 取决于 m 和 F，A12 和 A66 与 m 和 F 无关 1. 正交铺设层合板刚度的特点 （1） Aij 与层数 n 无关，A11，A22 取决于 m 和 F，A12 和 A66 与 m 和 F 无关 m A11- m 关系 A11 / Q11h 1 4 7 10 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 F 0.8 A22- m 关系 m 1 4 7 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 A22 / A11 F 0.6 0.4 0.2 0.4 0.8 0.6 0.2

（2） n 为奇数（对称层合板）时，Bij 恒等于零； n 为偶数（反对称层合板）时，有拉弯耦合。 B11- m 关系 m 1 4 7 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 F n =偶数 ﹣nB11 / A11h 0.2 0.4 0.6 0.8 n = 2 时（ m = 1 ），拉弯耦合影响最大。

（3） 弯曲刚度 Dij 是 n ，m 和 F 的复杂函数。 D11- m 关系 12D11 / A11h2 1 4 7 10 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 m F = 0.3 D22- m 关系 m 1 4 7 10 0.5 2.0 1.5 1.0 F = 0.3 12D22 / A22h2 n =3 n = 2 n = ∞ n = 4 n =7 n = ∞ n = 7 n = 3 n =2 n =4 D11 和 D22的极值发生在 n = 2 和 n = 3 时。 n ， m 增大或 F ≈ 1 时， D11 ≈ A11h2 / 12， D22 ≈ A22h2 / 12。

2. 正交铺设层合板理论和实验刚度比较 上面已证明两层和三层正交铺设层合板的刚度特性有极值，下面通过理论值和实验值的比较，说明三层以上正交铺设层合板有相同或更好的一致性。 由已知的 N 和 M 及测量的 e 0，k 计算的柔度系数A’、B’、D’和理论计算 A’、B’、D’进行比较，验证刚度理论计算的准确性。

玻璃/环氧单层组成的一系列正交铺设层合板理论和实验柔度比较 n =2 1 2 3 4 7 10 20 30 40 n =3 玻璃/环氧单层组成的一系列正交铺设层合板理论和实验柔度比较

4.4.2 角铺设层合板的刚度理论与实验验证 n 层单层组成的角铺设层合板，材料主方向与层合板坐标轴成 +a 和 -a 角交错铺设。 n 为奇数时，即对称角铺设层合板

n 为偶数时，即反对称角铺设层合板

A16，A26 取决于 n ，当 n 为奇数时与 n 成反比，当 n 为偶数时其值为零。 1. 角铺设层合板刚度的特点 （1） Aij 与铺设角 q 的关系 Aij / A11 ﹣0.5 q / (°) 15 30 45 60 75 90 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 A11 A22 A66 A12 A16max(n=3) A26max(n=3) A11、 A12、 A22、 A66、与层数 n 无关 A16，A26 取决于 n ，当 n 为奇数时与 n 成反比，当 n 为偶数时其值为零。 当 n = 3 时，A16 和 A26 有最大值 玻璃/环氧角铺设层合板 Aij- q 关系

（2） 奇数层 Bij = 0，偶数层 Bij 与 n 成反比。当 n = 3 时，B16 和 B26 有最大值，当 q = 45° 时，耦合影响最大。 B16 / A11h q / (°) 15 30 45 60 75 90 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 n 2 4 6 8 ∞ B16 - q 关系（n = 偶数）

（3） n 为奇数时， D16 和 D26与 n 成反比。 当 n = 3 时，D16 和 D26 有最大值， 在 q = 45° 时也达到最大。 D16，D26 存在而引起的扭矩为作用弯矩的 30%， n 增加时，耦合影响并不迅速减低。 ﹣D16 / D11 q / (°) 15 30 45 60 75 90 0.1 0.2 0.3 0.4 n 3 5 ∞ 9 7 D16 / D11 - q 关系（n = 奇数）

2. 角铺设层合板理论和实验刚度比较 玻璃/环氧单层组成的两层和三层角铺设层合板，两层层合板有最大的 B16 和 B26，三层层合板有最大的 A16、 A16、 D16 和 D26 ，其柔度实验值和理论值相当接近，因此认为角铺设层合板的刚度理论计算是准确的。

角铺设层合板理论和实验柔度比较

4.5 层合板强度分析 复合材料层合板的破坏一般是逐层发生的，因此可以通过单层应力分析和单层强度来预测层合板的强度。 表征层合板强度的典型指标有第一层失效强度和极限失效强度。

4.5.1 单层的安全裕度 假设单层的加载方式是比例加载，即单层的全部应力分量和应变分量按同一比例增加。 单层的极限应力矢量和外加应力矢量之比称为单层的安全裕度。 以蔡-希尔或蔡-胡张量失效判据为例，其失效曲面为一空间椭球面。

设单层的外加应力为 si（i = 1，2 ，6），分别为三个材料主方向应力s1， s2 和 t12 。 当应力矢量按比例增加达到失效曲面时，其极限应力矢量的分量为simax（i = 1，2 ，6），这时单层失效。 单层的安全裕度表示为 eimax 和 ei 为极限应变矢量的分量和外加应变矢量的分量。

单层处于simax 应力状态时，单层失效。代入蔡-希尔、蔡-胡或霍夫曼失效判据得关于 R 的二元一次方程。 以蔡-胡失效判据为例 R1 > 0， R2 < 0，其中 R1 是该应力状态下单层的安全裕度。 R2 的绝对值正好对应于该外加应力矢量反向时的值。

4.5.2 层合板的强度 1. 层合板强度指标 两个特征状态： 第一层失效和层合板最终失效 两个特征强度： 第一层失效强度和极限强度 1）第一层失效强度： 层合板中最先发生单层失效时，与内力和内力矩对应的层合板的等效应力。 对于只有面内荷载时，表示为平均应力，则有 h 为层合板厚度。

对于只有弯矩和扭矩时，表示为等效弯曲正应力和扭转切应力 2）极限强度： 层合板最终失效时，与内力和内力矩对应的层合板等效应力。 强度分析中可根据设计要求确定计算第一层失效强度和极限强度。 对于结构中的主要承力构件，一般采用第一层失效强度。

4.5.3 失效单层的刚度退化准则 假设层合板的失效模式是逐层失效，每一层失效时，其 N – D 曲线即出现一个拐点，表明单层失效后会使层合板刚度有所下降 。 继续使用层合板原有的刚度，计算带有失效单层的层合板的变形和应力显然是不合适的。 因此有必要给出层合板随单层逐步失效后的刚度退化准则

蔡提出了一种失效单层的刚度下降准则，认为复合材料单层的横向强度和剪切强度是由基体强度控制的，都比较低，单层的失效模式主要是基体开裂，纤维一般未断。 单层中基体开裂意味着横向刚度和剪切强度将大幅度下降。但由于层合板中单层失效后还有相邻层的约束作用，所以不能认为单层中基体开裂后，Q22、Q66、Q12 就降为零。

工程中采用近似的方法，仍将单层视为连续的，只认为基体在出现裂纹后刚度下降，导致由基体控制的工程弹性常数均有退化 。 失效单层的纵向刚度因纤维未断没有变化。一般采用同一刚度退化系数，对失效单层由基体控制的工程弹性常数进行折减，即有 刚度折减系数 Df 建议取 0.3，不过在有些商用有限元结构分析软件中，将 Df 取为 0.1 或 0。

4.5.4 层合板强度预测 全量法 和 增量法 全量法预测层合板强度的步骤： 1）根据单层材料主方向的工程弹性常数，层合板各层的铺设角度、顺序，计算层合板的刚度 A、B、D 或柔度； 2）由外加荷载计算各单层的材料主方向应力和应变； 3）计算各单层的安全裕度，安全裕度最低的单层最先失效，由此得到第一层失效强度；

4）对失效单层刚度按刚度退化准则折减，并将带有失效层的层合板看做新的层合板，重新计算层合板刚度、柔度和各单层安全裕度，再取安全裕度最低的单层为第二失效层，重复上述工作直到层合板全部单层失效，比较各单层失效时的安全裕度，取最大者乘以外加荷载，即得极限强度。

例：已知 三层对称正交铺设层合板受荷载为 Nx = N，其余荷载皆为零。外层厚度 t1，内层厚度 t2 =10 t1 ，正交铺设比 m = 0.2 。单层材料主方向的工程弹性常数 E1= 54 GPa ，E2= 18 GPa，G12= 8.8 GPa，n21= 0.25；基本强度 Xt = Xc = 1050 MPa，Yt = 28 MPa，Yc = 140 MPa，S = 42 MPa。试预测该层合板的极限荷载。 解：1. 计算第一失效荷载 1）单层材料主方向的刚度

对称层合板，B=0

2）层合板中面应变 3）各单层应力

4）用蔡-希尔理论求第一失效荷载 解得 第二层先失效，第一失效荷载 此时应变为

应力为 2. 第二次计算 1）削弱后的层合板刚度

2）层合板中面应变 3）各单层应力

外层第 2 主方向失效，1，3 层和 2 层剩余纤维方向（第一主方向）继续承担荷载，需进一步计算。 4）代入蔡-希尔理论 解得 将 代入第 1，3 层求得应力 56.7MPa x N h = 外层第 2 主方向失效，1，3 层和 2 层剩余纤维方向（第一主方向）继续承担荷载，需进一步计算。

3. 第三次计算 1）削弱后的层合板刚度

2）层合板中面应变增量 3）各单层应力增量

4）代入蔡-希尔理论 解得 极限荷载 总应变

例：已知 HT3/5224 复合材料的 层合板面内荷载为 Nx = 100 N/mm，Ny = 20 N/mm，Nxy = 10 N/mm。单层材料主方向的工程弹性常数 E1= 140 GPa ，E2= 8.6 GPa，G12= 5.0 GPa，n21= 0.35；基本强度 Xt = 1400 MPa， Xc = 1100 MPa，Yt = 50 MPa，Yc = 180 MPa，S = 99 MPa。单层厚度 h = 0.125 mm，试预测该层合板的第一层失效强度和极限强度。 解：计算单层材料主方向的刚度和柔度 计算参考坐标系下各层的刚度