机械能守恒定律协变性疑难 叶邦角 中国科学技术大学物理学院 中国科学技术大学物理学院《力学》教学组教学研讨会，2010年元旦， 安庆

伽利略变换与相对性原理 动能定理的协变性 机械能守恒定律不满足协变性吗？ 相对性原理与协变性

一、伽利略变换与力学相对性原理 1.伽利略变换

2.力学的相对性原理 在两个相互做匀速直线运动的惯性系中，牛顿定律具有相同的形式。 相对性原理 物理学的基本规律在不同的惯性系具有相同的形式，或物理学规律是满足伽利略协变性的。 即表达基本规律的数学关系式在不同惯性系形式相同，数学关系式相同的意思不是指数值相同，而是其形式相同。

牛顿定律服从相对性原理，故由牛顿定律推导出的一切规律都应服从相对性原理． 动量定理、动能定理、角动量定量等都是牛顿定律的推论，它们当然应该服从相对性原理． 力学的规律或公式可以直接从S系转换成S’系，只需在公式中把所有物理量变成带“’”的物理量。

S系 S’系

二、动能定理的协变性 下面由伽利略变换来证明动能定律满足相对性原理。 1.从牛顿定理到动能定理 设有一保守的(即只有保守内力的)力学系 统，在惯性系S中第i个质点的位置矢量为ri，所受外力为Fi ，内力为 fi，则牛顿定律为

两边乘以第 i个质点的位移dri= vidt，可得 对全部质点取和 此即系统的功能定理 注意，第一式两边所乘的dri，是第i个质点相对于惯性系S的位移、如果不是相对于S系的位移，而乘以相对于别的参考系的位移，则dri=vidt将不成立，上式右边也就得不出来了.

对于保守系统有势能的概念： 此即保守系统的功能定理

2. 动能定理的伽利略变换

功的变换 可见，在一般情况下, 外力对系统所作的功与参考系有关． 动能的变换

即不仅动能与参考系有关，而且动能的改变也与参考系有关(顺便提一下，动量与此不同，虽然动量也与参考系有关，但动量的改变却与参考系无关)． 势能增量的变换 可见势能与动能不同，它与参考系无关．

动能定理的整体变换 这就证明了保守体系的质点组的动能定理是服从伽利略相对性原理的．

3.非保守体系的动能定理也满足相对性原理 如果内力存在着像摩擦力这样的非保守内力，则： 非保守内力总是成对出现，在经典力学中满足牛顿第三定律，因此 与参照系选择无关！

三、机械能守恒定律不满足协变性吗？ 机械能守恒定律是在一定条件下的动能定理， 它并非牛顿定律的单纯推论。 它是否满足相对性原理就要看这个条件是否满足相对性原理了。

则: 机械能守恒定律满足相对性原理 【例】若施于两物体的水平力F1=F2 = mmg，两物体作匀速相对运动．则对两物体组成的系统，外力F1和F2作功之和恰好等于系统内部摩擦力作功之和，满足式(*)条件．两物体都作惯性运动，变换惯性系不会改变惯性运动．只能改变作惯性运动的速度，机械能守恒对一切惯性系成立，只是对不同惯性系，系统有不同的动能值．

由式(*)所表述的机械能守恒条件，若在某惯性系中成立，当变换到另一惯性系时是否仍然成立． 若满足式(*)的条件，则因非保守内力做功与参考系选择无关，从一个惯性系变换到另一个惯性系不会引起改变. 问题在于在惯性系 dA外 =0，变换到另一惯性系, dA‘外是否还为零. 当然，如果作用在每个质点上的外力Fi满足和为零或ΣFi =0，不难证明，若在惯性系中dA外=0，当变换到另一惯性系S’ 时，仍有dA‘外 =0．

证明如下：设在惯性系有: 由机械能守恒有: 以u表示惯性系 S’相对于S系的平动速度:

这就证明了机械能守恒的陈述在上述条件下满 足相对性原理．

倘若系统 F=SFi ≠0，而且 F 的方向也不垂直于v ，则没有上述结果．这时，对某惯性系为机械能守恒的系统，变换到另一惯性系 ，机械能不再守恒．从机械能守恒条件看，dA外 =0的条件当变换到另一惯性系时dA’外 ≠0! 这种例子是很多的，例如单摆的悬挂点的约束力，弹簧振子的墙上固定点的约束力，在某惯性系中不作功，当变换到另一惯性系 时就有可能作功．这时机械能守恒的陈述就不再满足相对性原理．

【例】考虑下面的过程：一滑块的质量为m，用劲度系数为k的轻弹簧将它与墙壁B点相联并置于光滑的水平面上，开始时拉开物体微小的距离后释放，系统开始做简谐振动，如图1A所示，如果在旁边有一小车以速度u向右匀速运动，对小车为参照系，该系统的机械能守恒吗？

以地面为参考系，弹簧在墙壁B点有力，但没有位移，不做功，支持力与重力不做功，因而有: 不需写成（x-ut)! 对小车，该系统的机械能不守恒！

可见，与在地面参考系中的机械能守恒式子是等价的！

机械能守恒定律真的不满足协变性吗？

四、相对性原理与协变性 1.相对性原理的准确含义 相对性原理(表述I) : 如果S是惯性系，则相对于S作匀速运动而无转动的其它参考系S 也是惯性系；自然界定律对于所有惯性系都是相同的. 相对性原理的后一半是指，如果惯性系S中有一条定律，则任意另一惯性系S中必存在一条对应的定律，并且两者的内容和形式(在同类坐标下，例如都采用直角坐标，但空间坐标轴不一定互相平行，两个四维时空原点不一定重合)都相同，即只要把前者表达式中的物理量理解为相对于惯性系S 而言即成后者，而不需另行证明.

相对性原理(表述Ⅱ) : 如果S是惯性系则相对于S作匀速运动而无转动的其它参考系S也是惯性系；自然界全部定律所构成的大集合在惯性系之间的变换下是协变的. 例如: 麦克斯韦方程组是洛伦兹协变的．但单拿其中一个方程，例如高斯定理来变换，结果的形式就较复杂，不能通过等价变形化为原来的形式．把高斯定理和修正的安培定律联立在一起进行洛伦兹变换，然后再在新参考系中对变换结果进行等价变形，即可化为具有原来形式的两个新方程. 【协变集】如果自然界若干定律联立在一起，进行参考系变换，然后再在新参考系中对变换结果进行等价变形，可化为具有原来形式的全部新定律，则这些定律称为是联立协变的，这些定律作为元素所构成的集合称为协变集.

2.协变集 只含有一个元素的协变集称为单元素协变集。 几个协变集的并集显然仍是协变集。 元素不能再减少的协变集称为最小协变集。 电动力学中表示成某阶四维张量等式的规律集都是协变集。 每一标量定律构成单元素协变集。 如麦克斯韦方程组中的高斯定理与修正的安培定律，法拉第定律与磁感应通量守恒定律分别构成两个四元素最小协变集；电荷守恒定律构成单元素最小协变集。

相对性原理(表述Ⅲ): 如果S是惯性系，则相对于S作匀速运动而无转动的其它参考系, S也是惯性系；自然界每一定律至少属于一个协变集. 此外,虽然存在着单独协变的定律，但许多事实，如麦克斯韦方程组中各定律均不单独协变. 因此有: 不都单独协变原则: 自然界的定律不都单独协变． 因为协变概念下的相对性原理(表述Ⅱ和Ⅲ)并不要求每一定律都单独协变，所以我们不能把不单独协变的定律说成它们不满足或不服从相对性原理；仅当一个定律既不单独协变，又不属于一个协变集时．它才算“不服从相对性原理”.

设惯性系S中的A 和B定理，只联立协变而不单独协变 表述l A B A’ B’ 联立协变 A B C’ D’ 表述III

【例】牛顿第二定律的x分量: 当S ‘系的 Z’轴平行于S系的 Z轴，而Z’ 轴与Z轴成角度q时, 上式转变为不同的形式： 而不是简单地写成:

最小协变集的求法:如果A(a)是某阶三维张量定律的分量，那末，最小协变集必含整个张量定律．故寻求后者(仍以A(a)表示)所属于的最小协变集. 麦克斯韦方程组中的高斯定理与修正的安培定律，法拉第定律与磁感应定律分别构成两个四元素最小协变集;电荷守恒定律构成单元素协变集．

2) 机械能守恒定律式属于 b为参数的功能定理最小协变集： 机械能守恒定律可表示为: 对任一惯性系S ,条件(1) 蕴含性质(2) 最小协变集:

结束语 以机械能守恒定律为代表的协变性疑难不复存在. 以往困惑的根源在于误以为相对性原理要求自然界每一定律都单独协变，而这一误解又与包括爱因斯坦、朗道等人的著作在内的已往所有著作表述欠确切有关： 他们都只说相对性原理要求自然界定律在参考系变换下是形式不变的，而来指出联立协变和单独协变都符合要求，甚至根本末引进联立协变的概念. 所有文献在证明定律的洛伦兹协变性时都无一例外地应用了四维张量形式不变性定理，然而它们都只把这 “配张量”的方法单纯地解释为证明各有关定律具有洛伦兹协变性的一种技巧, 而从未提及它所反映的实质是各分量等式只具有联立协变性，而无单独协变性(零阶张量除外).

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