第二章 随机信号分析 引言 随机过程 平稳随机过程 高斯过程 噪声 随机过程通过线性系统

引言 确知过程— 有确定形式、必然规律 随机过程— 无确定形式，没确定变化规律

随机信号— 信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全被预知 随机噪声— 不能预测的噪声统称为随机噪声

随机过程严格的定义： 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成一随机过程，记作X(t)。 简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。

样本函数的总体

随机过程 一般描述 概念 基本特征： 与随机变量的比较： 结论：具有随机变量和时间函数的特点 观察区间内是一个时间函数（称为实现） 任一时刻上观察到的值不确定，是一个随机变量 与随机变量的比较： 两者在定义方法上相似 样本空间不同： ①随机变量的样本空间是一个实数集合 ②随机过程的样本空间是一个时间函数的集合 结论：具有随机变量和时间函数的特点

部分描述——数字特征 一般描述 数学期望 分布函数 概率密度函数：分布函数对x的偏导数 定义 意义： 表示随机过程各个时刻的数学期望随时间的变化情况 本质就是随机过程所有样本函数的统计平均函数

方差 定义 意义： 数学期望和方差描述了随机过程各个孤立时刻的特征，无法反映随机过程在不同时刻的联系。 相关函数 表示随机过程在时刻t对于均值的偏离程度 数学期望和方差描述了随机过程各个孤立时刻的特征，无法反映随机过程在不同时刻的联系。 相关函数 相关函数用来衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性。

平稳随机过程 重要性 在实际应用特别在通信中所遇到的大多属于或接近于平稳随机过程 平稳随机过程可用一维、二维数字特征很好地描述。

平稳随机过程（严平稳或狭义平稳） 特点： 定义： n维分布函数或概率密度函数不随时间的平移而变化的随机过程。 数学期望和方差与时间t无关，均为常数 自相关函数与时间起点无关，只与时间间隔有关

广义平稳或宽平稳随机过程 定义：数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关的随机过程 特点：只涉及一维、二维数字特征 与狭义平稳的关系：狭义平稳只要数字特征存在，则必定是广义平稳；但反之，则不一定成立。 【注】不特别说明，均指广义平稳随机过程

各态历经性 各态历经性：随机过程的各个实现，如果都同样经历了随机过程的各种许可状态，该特性称为各态历经性。 遍历平稳随机过程：具有各态历经性的平稳随机过程。 特点：遍历平稳随机过程的数字特征完全可由该过程的任一实现的数字特征来决定，即可用时间平均值来代替统计平均值。

平稳随机过程自相关函数 设 为实平稳随机过程，则它的自相关函数 性质R(0)为平稳随机过程的平均功率 R(∞)为平稳随机过程的直流功率 设 为实平稳随机过程，则它的自相关函数 性质R(0)为平稳随机过程的平均功率 R(∞)为平稳随机过程的直流功率 R(0)-R(∞)=方差，为平稳随机过程的交流功率。 其物理意义：平稳随机过程的平均功率与直流功率之差等于 其交流功率

自相关函数为时间间隔的偶函数 自相关函数在时间间隔τ=0处有最大值

平稳随机过程 的功率谱密度 信号的时域与频域间的关系为傅里叶变换关系 对平稳随机过程而言，其自相关函数 和功率谱密度 为一对傅里叶变换关系 平稳随机过程 的功率谱密度 信号的时域与频域间的关系为傅里叶变换关系 对平稳随机过程而言，其自相关函数 和功率谱密度 为一对傅里叶变换关系 平稳随机过程的功率谱密度的性质： 功率谱密度为偶函数 随机过程的平均功率等于功率谱密度在频域上的积分 功率谱密度为非负函数

例2–1：某随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试求： （1）数学期望； （2）自相关函数； （3）功率谱密度； （4）总平均功率 。  

ò ò 解 (1)ξ(t)的数学期望为 1 a ( t ) = E [ e ( t )] = A cos( w t + q ) d q 2 p a ( t ) = E [ e ( t )] = A cos( w t + q ) d q c 2 p 常数） ( ] sin cos [cos 2 = - ò q p d t w A c

ò A = E [cos w ( t - ] t ) + cos[ w ( t + t ) + 2 q 2 )] cos( [ q + t 1 c 2 1 A 2 A 2 1 ò 2 p = cos w ( t - t ) + cos[ w ( t + t ) + 2 q ] d q 2 c 2 1 2 c 2 1 2 q 可见ξ(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔τ有关， 所以ξ(t)为广义平稳随机过程。 

（3） 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即 R(τ) Pξ(ω)，则因为 cosωcτ π［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］ 所以，功率谱密度为  Pξ(ω)= ［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］ （4）平均功率为 

高斯过程 定义： 又称正态随机过程，普遍存在并十分重要 在通信信道中的噪声通常是一种高斯过程 随机过程 ，若其任意n维分布服从正态分布(n=1，2，……），则称为高斯过程。 其n维正态概率密度函数表示

以后分析问题时，会经常用到高斯过程中的一维分布。例如，高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为 式中，a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。  1 ( x - a ) 2 = - f ( x ) exp( ) s 2 2 p s 2

 f(x)具有如下特性： (1) f(x)对称于x=a这条直线。  (2)  f(x) 特性 且有

正态分布的概率密度曲线

2 exp 1 ) ( p x f - = (3) a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。

当我们需要求高斯随机变量ξ小于或等于任意取值x的概率P(ξ≤x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即 这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下几种特殊函数： 

噪 声 定义： 散粒噪声/散弹噪声 热噪声 物理系统中对信号的传输与处理起扰乱作用而不能完全控制的一种不需要的波形 由电子器件中电流的离散性质引起 特点：平均值为零、幅度的概率密度函数为高斯分布 热噪声 导体中电子的随机运动所产生的一种电噪声 特点：均值为零的高斯分布

高斯噪声 白噪声 噪声的任意n维分布都服从高斯分布 定义：噪声n(t)的功率谱密度在整个频率范围内都是均匀分布的 只是理想化的噪声模型（对通信系统中的噪声分析都是以白噪声为基础） 一般：只要噪声所具有的频谱宽度远远大于系统的带宽，且在该带宽中其频谱密度基本上可作为常数来考虑，就可把它作为白噪声处理

高斯白噪声的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即  Pξ(ω)=  式中n0为一常数，单位是瓦/赫。 显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即 这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。 R(τ)=

如果白噪声又是高斯分布的， 就称之为高斯白噪声。 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。 热噪声和散弹噪声就是近似白噪声的例子。 

高斯白噪声/白色高斯噪声 带限白噪声： =n0/2 ，而在该区间外 =0 服从高斯分布而概率谱密度又是均匀分布的噪声 白噪声被限制在(-f0，f0)之内，即在该频率区上有 =n0/2 ，而在该区间外 =0

平稳随机过程通过线性系统 输出与输入随机过程的关系 输出随机过程的数学期望 输出随机过程的数学期望等于输入过程的数学期望乘以H(0) 建立在信号通过线性系统分析原理的基础之上 线性系统的响应y(t)与系统输入信号x(t)的关系 输出随机过程的数学期望 输出随机过程的数学期望等于输入过程的数学期望乘以H(0) 物理意义：平稳随机过程通过线性系统后输出的直流分量等于输入的直流分量乘以系统的直流传递函数

输出随机过程的功率谱密度 输出随机过程的分布 特别： 线性系统的输入过程是高斯过程，其输出也是高斯过程 系统输出的平稳随机过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度与系统的 的乘积 输出随机过程的分布 理论上，已知输入过程的分布，可确定输出随机过程的分布 特别： 线性系统的输入过程是高斯过程，其输出也是高斯过程

例2-2：带限白噪声。试求功率谱密度为 n0/2 的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为 K0e-jwt 0 其他 H(ω)=

t w f n k sin = 解： 由上式得|H(ω)|2= ，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为 Po(ω)=|H(ω)|2Pi(ω)= · ， |ω|≤ωH 可见，输出噪声的功率谱密度在|ω|≤ωH内是均匀的，在此范围外则为零，如图所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。自相关函数为  t H w f n k sin 2 =

图 带限白噪声的功率谱和自相关函数

式中，ωH=2πfH。由此可见，带限白噪声只有在τ=k/2fH(k=1, 2, 3, …) 上得到的随机变量才不相关。 它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。这是一个很重要的概念。 如图所示，带限白噪声的自相关函数Ro (τ)在τ=0 处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:  Ro(0)= n0fH

窄带随机过程 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。 实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。 

窄带过程的频谱和波形示意 £­ f c O S ( ) D a t 缓慢变化的包络 [ ] 频率近似为 b

因此，窄带随机过程ξ(t)可用下式表示:  ξ(t)=aξ(t) cos［ωct+φξ(t)］, aξ(t)≥0 等价式为 ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct 其中ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)  ξs(t)=aξ(t) sinφξ(t) 式中, aξ(t) 及φξ(t) 分别是ξ(t)的随机包络和随机相位， ξc(t)及ξs(t)分别称为ξ(t)的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波 cosωct 的变化要缓慢得多。

可以看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs (t)的统计特性。

同相和正交分量的统计特性 设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为σ2ξ。 重要结论：它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是 平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。 此外，在同一时刻上得到的ξc和ξs是互不相关的或统计独立的。

包络和相位的统计特性 包络aξ的一维概率密度函数为

可见，aξ服从瑞利分布。  同理，f(aξ, φξ)对aξ积分可求得相位φξ的一维概率密度函数为 f(φξ)= 可见，φξ服从均匀分布。 

重要结论：一个均值为零，方差为σ2ξ的窄带平稳高斯过程ξ(t)，其包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，aξ(t)与φξ(t)是统计独立的，即有下式成立： f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ)

设X(t)是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则 Xc(t)和Xs(t)也是高斯过程； 窄带随机过程的性质 Xc(t)和Xs(t)的统计特性： 设X(t)是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则 Xc(t)和Xs(t)也是高斯过程； Xc(t)和Xs(t) 的方差相同，且等于X(t)的方差； 在同一时刻上得到的Xc和Xs是不相关的和统计独立的。 aX(t)和X(t)的统计特性： 窄带平稳随机过程包络aX(t)的概率密度等于： 窄带平稳随机过程相位X(t)的概率密度等于：