[期末考试] “*”部分<材料力学C>不要求 [内容目录] 1-- 绪论及初始概念 2-- 轴向拉压与剪切 3-- 扭转 附录:平面图形的几何性质 4-- 弯曲内力 5-- 弯曲应力 ----------[半期考试]---------- 6-- 弯曲变形 7-- 应力分析与强度理论 8-- 组合变形 9-- 压杆稳定 10-- 能量法* 11-- 超静定* 12-- 动荷载* 13-- 交变应力* -----------[总复习]--------- [期末考试] “*”部分<材料力学C>不要求 第3章 扭 转 目 录

第八章 圆轴的扭转 8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题和弹塑性问题 返回主目录

8.1 扭转的概念与实例 工程构件分类: 块体 板 杆 x y z 杆的基本变形: 轴向拉压 弯 曲 扭 转 返回主目录

8.1 扭转的概念与实例 y 研究对象： 圆截面直杆 受力特点： 作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程: x SMx=0 z 8.1 扭转的概念与实例 x y z o M 研究对象： 圆截面直杆 传动轴 汽车转向轴 受力特点： 作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程: SMx=0 变形前 变形后 fAB 变形特征：相对扭转角 fAB 圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。 返回主目录

8.2 扭矩与扭矩图 扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。 Mo Mo T 内力偶 外力偶 假想切面 平衡 由平衡方程： 8.2 扭矩与扭矩图 扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。 Mo 外力偶 Mo 假想切面 内力偶 T 取左边部分 平衡 由平衡方程： 返回主目录

T 和T 是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。 Mo 平衡 外力偶 Mo 扭矩 T 假想切面 取左边部分 由平衡方程： 扭矩 外力偶 平衡 T Mo 取右边部分 T 和T 是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。

扭矩的符号规定： 按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。 Mo T 正 Mo T 负

画扭矩图： o x AB段： C A B BC段： A B C 20 BC段： 10 以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。

简捷画法： T 图 FN图（轴力） o x C A B 按右手法确定 A B C 5kN 2kN 8kN 　　　按右手法确定 + 向 5kN 2kN 8kN + 向 A B C 20 10 5kN 3kN FN 图 + - 在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。

例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。 MB MC C MA MD A D 解：由功率－转速关系计算外力偶矩

求各截面内力： 最大扭矩在AB段，且 T 图 MA MB MC MD MB T1 MD T3 BC段 MB MC T2 CA段 AD段 T /kN·m 1.64 3.28 2.18 T 图 最大扭矩在AB段，且

简捷画法： 按右手法确定 T 图 MA MB MC MD + 向 T /kN·m 2.18 C D A B 1.64 3.28 B C A 　　　按右手法确定 + 向 T 图 A C B D T /kN·m 2.18 1.64 3.28

讨论：试作扭矩图 x o C A B 40kN·m D 10kN·m x o C A B 40kN·m D 20kN·m 10kN·m 求反力偶： 　　　按右手法确定 + 向 　　　按右手法确定 + 向 A B C D A B C D 20 20 T 图 T 图 10 20 20 10 返回主目录

+ 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 变形体静力学的基本研究思路： 1. 变形几何条件 刚性平面假设： 静力平衡条件 变形几何条件 材料物理关系 + 8.3.1 圆轴扭转的应力公式 1. 变形几何条件 刚性平面假设： 变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。 变形后 变形前 返回主目录

1. 变形几何条件 取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的方形ABCD变成为菱形ABCD。 O C D A B r g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有： C D df g T r df /dx ,称为单位扭转角。 对半径为r的其它各处，可作类似的分析。

1. 变形几何条件 对半径为r的其它各处，作类似的分析。 同样有： T CC= gdx=rd r 即得变形几何条件为： --(1) O C D A B r 同样有： CC= gdx=rd C D df T gr 切应变g的大小与半径r成正比。与单位扭转角d /dx成正比。 即得变形几何条件为： --(1)

2. 物理关系— 材料的应力-应变关系 材料的切应力与切应变之间有与拉压类似的关系。 在线性弹性范围内，剪切胡克定律为： t G是t-g曲线的斜率，如图， 称为切变模量。 --(2) t s 1 G O t g 1 G 半径为r处的切应力则为： 圆轴扭转时无正应力

讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布 最大切应力在圆轴表面处。 --(3) T 圆轴几何及T 给定，d/dx为常数；G是材料常数。 r o max dx O C D A B r C D df T gr --(3) 圆轴几何及T 给定，d/dx为常数；G是材料常数。 截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离r成正比； 切应变在ABCD面内，故切应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。 最大切应力在圆轴表面处。

3. 力的平衡关系 --(3) 应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。 取微面积如图，有： t r T o max dA 利用(3)式，得到：

求IP，WT ? 3. 力的平衡关系 令： tmax 最后得到： o T --(4) tmax在圆轴表面处，且 r T o tmax 最后得到： --(4) tmax在圆轴表面处，且 IP 称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。 W =IP /r，称为抗扭截面模量。 T 求IP，WT ?

ò ò 8.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量 = dA I r 极惯性矩: 抗扭截面模量 W =I /r 8.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量 极惯性矩: ò = A dA I 2 r P d D o r dr dA 抗扭截面模量 W =I /r T P 讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积 dA=2prdr, 则有： a=d/D 极惯 性矩 ) 1 ( 32 2 4 / 3 a p r P - = ò D d I 抗扭截面模量： 16 / ) 1 ( 2 /( 4 3 a p P - = D I W T

圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量 = I 空心圆轴 实心圆轴 极惯 p D 性矩 I a=d/D=0 32 抗扭截 面模量 W 16 = ) o 实心圆轴 D o 空心圆轴 极惯 性矩 P = ) 1 ( 32 4 a p - D I a=d/D=0 32 4 D I p P = 16 3 W T 抗扭截 面模量 ) 1 ( 16 4 3 a p - = D W T

+ + ò dx ---(1) d / j r g = 研究思路： dx d G j r g t = 变形几何条件 材料物理关系 ---(2) 静力平衡关系 + A T dA dx d G = ò 2 r j ---(3) 圆轴扭转切应力公式： r t Ip T = ---(4) 且由(2)、(4)可知单位扭转角为： P j GI T dx d / = ---(5)

结论： 1）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。 2） 截面任一处 截面外圆周处（表面） tr=Tr/IP tmax=T/WT 实心圆轴 D o T tr tmax d D o 空心圆轴 tr tmax T

讨论： 1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 变形是否相同？ 相同 相同 不同 2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确? o T o T o T o T

8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态 切应力互等定理： 8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态 研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。 切应力互等定理： T dx t′ t dx C A dy 物体内任一点处两相互垂直的截面上，切应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离两截面的交线。 t t A A的平衡？ SMC(F)=tdxdy-tdydx=0  t=t 

8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态 一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等)承受扭转作用时发生沿轴线45方向的破坏，就是由此拉应力控制的。 8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态 纯切应力状态: 微元各面只有切应力作用。 dx C A dy t t′ t45 dx C t 45 s45 A s 纯切应力状态等价于转过45后微元的二向等值拉压应力状态。 45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等)承受扭转作用时发生沿轴线45方向的破坏，就是由此拉应力控制的。 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 解得： s45=-t；t45=0。 还有：s-45=t； t-45=0

ò 8.3.4 圆轴的扭转变形 单位扭转角为：  GI L T / = dx GI T d = j  T r L AB L B A g dx O C D A B r 8.3.4 圆轴的扭转变形 C D d g T 单位扭转角为： 相对扭转角 ：B截面相对于A截面的扭转角。若AB=L，则 AB dx GI T d L AB ò = P j  若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则 T/GIp=const. , 故有： P  GI L T AB / = GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。 P 若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。

例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·m MC=100N·m，材料G=80GPa， 试求（1）轴内的最大切应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。 f22 f18 f24 1000 A B C MB MC MA 解: 1) 画扭矩图。 2) 计算各段应力: AB段： N-mm-MPa单位制 A B C 150 100 T /N·m

rad GI l T 183 . = + j 2) 计算各段应力: 故 tmax=86.7MPa 3) 计算扭转角AC MB MC MA f22 f18 f24 1000 A B C MB MC MA 2) 计算各段应力: BC段： N-mm-MPa单位制 A B C 150 100 T /N·m 故 tmax=86.7MPa 3) 计算扭转角AC rad GI l T BC AB AC 183 . = + P j

思考题: 8-2，8-3 习题：8-1(b)(c)，8-2 返回主目录

8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 1.强度条件 拉压 t =[t]= tb/n (脆) 扭转强度条件 ss/n (延) 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 1.强度条件 拉压 ts/n (延) t =[t]= tb/n (脆) 扭转强度条件 max ss/n (延)  =[]= sb/n (脆) max ] [ / max s £ = A FN t T W [t]=0.5~0.6[s] (钢材，延性) [t]与[s]之关系： [t]=0.8~1.0[s] (铸铁，脆性) 返回主目录

2.刚度条件 轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP 单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIP ] [ 180 q p £  单位统一为 /m， 则有： （弧度转换为角度） ] [ 180 max q p P £  = o GI T 扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏； 另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。 轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP 单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIP 扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴； [q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。

3.扭转圆轴的设计 强度条件： ] [ / t £ = W 刚度条件： 二者均须满足 p D = W 16 p D = I 32 极惯 性矩 max t £ = T W 二者均须满足 刚度条件： ] [ 180 max q p P £  = o GI T 极惯 性矩 32 4 D I p P = 抗扭截 面模量 16 3 D W T p = 扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核； 确定许用载荷（扭矩）； 设计轴的几何尺寸。

例4. 实心圆轴如图，已知MB=MC =1.64kN·m， MD=2.18kN·m 材料G=80GPa，[t]=40MPa ， [q]=1/m，试设计轴的直径。 解: 1) 画扭矩图。 B MB MC C MA MD A D 最大扭矩在AB段，且 A C B D T /kN·m 2.18 2) 按强度设计，有： ] [ 16 / 3 max t p £ = D T W 1.64 3.28 N-m-Pa单位制

2) 按刚度设计，有： 1 10 80 3280 = 同时满足强度与刚度要求，则应取取大者 ] [ 180 32 / q p £  = D 4 max q p £  = o D G T GI 则有： 4 2 max ] [ 180 32 q p G M D °  ³ 9 1 10 80 3280 = N-m-Pa单位制 ) ( 10 9 . 69 3 m -  = mm 70 同时满足强度与刚度要求，则应取取大者

讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。 1 ) ( 10 80 180 3280 32  - ³ a p D 10 40 ) 5 . ( a = 1 / 2 ] [ g p - L D 实心轴 空心轴 扭矩图不变，按强度设计，有： ] [ max t £ = T 16 / ) 1 ( 4 3 a p - D W 重量比：重量减轻25%，尺寸略大一点。 故： =76.4mm 3 4 max ] )[ 1 ( 16 t a p - ³ T D 6 10 40 ) 5 . 3280  = 按刚度设 计，有： ] [ 180 32 / ) 1 ( 4 max q p a £  - = o D G T 则有： 取 D=78mm =71mm 4 2 9 1 ) ( 10 80 180 3280 32  - ³ a p D

例5. 联轴节如图。轴径D=100mm，四个直径d=20mm的螺栓对称置于D1=320mm的圆周上，t=12mm。若[]=80MPa，[bs]=120MPa。试确定许用的扭矩T。 解：1)考虑 轴的扭转 强度条件: ] [ 16 / 3 max t p £ = D T W t D1 T o D 16 / ] [ 3 D T扭 p t  £ m kN mm N · 7 . 15 10 100 80 6 =

T=min{Ti}=15.7 kN·m 2)考虑 螺栓剪切 强度: =FS/(d2/4)[] o D T=min{Ti}=15.7 kN·m FS 2)考虑 螺栓剪切 强度: =FS/(d2/4)[] 有： FS[]d2/4=25.12 kN 由平衡条件有 4FS(D1/2)=T T剪=4FS(D1/2) 4×25.12×0.16=16.1 kN·m 2)考虑 螺栓挤压 强度： bs=Fbs/Abs=Fbs/td[bs] 有: Fbs  td[bs]=28.8kN D1 T o Fbs 由平衡条件有： 4Fbs(D1/2)=T 故 T挤=4×28.8×0.16=18.4 kN·m。 返回主目录

8.5 静不定问题和弹塑性问题 求解变形体静力学问题的基本方程: 力的平衡方程、材料的物理方程和变形几何方程。 静定 求 内力应力 求变形 8.5 静不定问题和弹塑性问题 求解变形体静力学问题的基本方程: 力的平衡方程、材料的物理方程和变形几何方程。 静定 求 内力应力 求变形 物 理 求位移 几 何 变形体静力学问题 研究对象受力图 平衡方程求反力？ 静不定 物理方程几何方程 联立求解反力、内力、应力 变形、位移等 弹塑性问题 物理方程不同 静不定问题有多余的变形约束 返回主目录

静不定问题 例6 两端固定的圆截面杆AB，在C截面处受外力偶MC作用，试求两固定端的支反力偶矩。 解: 静力平衡方程 : MA MB 解: 静力平衡方程 : MC=MA+MB ---(1) 几何方程: AB=AC+CB=0 ---(2) MA MB T 图 物理方程(力—变形关系) AC=-MAa/GIP; CB=MBb/GIP ---(3) (3)代入(2)，再与(1) 联立求解，得: C B M b a + = A ;

弹塑性问题 例7 空心圆轴承受扭转作用，材料服从理想弹塑性切 应力-切应变关系。试估计轴开始发生屈服时的扭 tr tmax o r T 例7 空心圆轴承受扭转作用，材料服从理想弹塑性切 应力-切应变关系。试估计轴开始发生屈服时的扭 矩Ts，及轴可承受的最大扭矩TU。 解：解：1）弹性阶段：（T<Ts） 剪切胡克定律成立，有t=Gg。 T O t ts g 已知截面切应力分布，且有： tmax= T/WT=T/[pD3(1+a4)/16] 2）开始屈服: (T=Ts) 此时有: tmax=Ts/WT=ts

弹塑性问题 屈服扭矩: Ts= WTts = r t a p ) 1 ( 2 - 3）屈服阶段：（T>Ts） tr o r T tmax=ts 屈服扭矩: Ts= WTts = s r t a p ) 1 ( 2 4 3 - 3）屈服阶段：（T>Ts） 对于理想弹塑性材料，已经屈服的部分材料承担的载荷不再进一步增加，t ts。随着扭矩的进一步增大，截面上的切应力由外向内逐渐进入屈服；未屈服的弹性材料部分，切应力仍呈线性分布。 T=Ts tr tmax=ts o r MT TU>T>Ts

弹塑性问题 ò TU>T>TS T=TU 4）塑性极限扭矩：（T=TU） tr tmax=tys o r MT TU>T>TS tmax=ts o r T T=TU dA 4）塑性极限扭矩：（T=TU） 全部材料进入屈服，截面上各处应力均到达ts，载荷不再能继续增加。此载荷称为极限扭矩TU。 ò = R r s A U d dA T pr t 2 ) 1 ( 3 a p - 对于实心圆轴， a=0，则有： 屈服扭矩 极限扭矩 极限扭矩与屈服扭矩之比为: TU/TS=4/3

理想弹塑性扭转 T<TS 弹性阶段 T=TS 开始屈服 TU>T>TS 弹塑性阶段 T=TU 极限状态 线弹性材料模型 tr o r T tmax=ts tr tmax=ts o r T tmax=ts o r T tr tmax o r T T<TS 弹性阶段 T=TS 开始屈服 TU>T>TS 弹塑性阶段 T=TU 极限状态 线弹性材料模型 屈服扭矩: TS= s r t a p ) 1 ( 2 4 3 - 理想弹塑性模型 极限扭矩: = U T ) 1 ( 3 2 a t p - s R

小结 圆轴扭转 杆的拉压 EA L F / = D q GI T 扭矩 T (右手法) 内力 轴力FN(拉为正) 应力 正应力 s 在横截面上均匀分布。 切应力 t 在横截面上线性分布。 最大切应力在表面处 o T t max FN s 抗拉刚度 变形 EA L F N / = D P q GI T 抗扭刚度

小结 杆的拉压 圆轴扭转 强度设计 抗扭截 面模量： 实心轴 空心轴 刚度设计 极惯性矩： 实心轴 空心轴

习题：8-5，8-10，8-11 再 见 返回主目录

第3章 扭 转 §3-1、概述 §3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 §3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律 1-- 绪论 2-- 轴向拉压与剪切 3-- 扭转 4-- 弯曲内力 5-- 弯曲应力 6-- 弯曲变形 7-- 应力分析与强度理论 8-- 组合变形 9-- 压杆稳定 10-- 能量法 11-- 超静定 12-- 动荷载 13-- 交变应力 14-- 附录:平面图形的几何性质 [总复习] [练习] [思考] [返回] §3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 §3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律 §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 §3-5、圆轴扭转时的变形计算 §3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 §3-7、材料扭转时的力学性质 §3-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果 §3-9、扭转超静定问题 标题

§3-1、概述 汽车传动轴 一、概述

§3-1、概述 汽车方向盘

§3-1、概述 扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。 1-- 绪论 2-- 轴向拉压与剪切 3-- 扭转 4-- 弯曲内力 5-- 弯曲应力 6-- 弯曲变形 7-- 应力分析与强度理论 8-- 组合变形 9-- 压杆稳定 10-- 能量法 11-- 超静定 12-- 动荷载 13-- 交变应力 14-- 附录:平面图形的几何性质 [总复习] [练习] [思考] [返回] 扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 1.外力偶矩 直接计算 1-- 绪论 2-- 轴向拉压与剪切 3-- 扭转 4-- 弯曲内力 5-- 弯曲应力 6-- 弯曲变形 7-- 应力分析与强度理论 8-- 组合变形 9-- 压杆稳定 10-- 能量法 11-- 超静定 12-- 动荷载 13-- 交变应力 14-- 附录:平面图形的几何性质 [总复习] [练习] [思考] [返回] 1.外力偶矩 直接计算 二、外力偶矩 扭矩和扭矩图

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 按输入功率和转速计算 已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me 电机每秒输入功： 外力偶作功完成：

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 2.扭矩和扭矩图 T = Me

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 T = Me

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 扭矩正负规定 右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 扭矩图 1-- 绪论 2-- 轴向拉压与剪切 3-- 扭转 4-- 弯曲内力 5-- 弯曲应力 6-- 弯曲变形 7-- 应力分析与强度理论 8-- 组合变形 9-- 压杆稳定 10-- 能量法 11-- 超静定 12-- 动荷载 13-- 交变应力 14-- 附录:平面图形的几何性质 [总复习] [练习] [思考] [返回]

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 例题4-1 解: (1)计算外力偶矩 由公式 Pk/n

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 (2)计算扭矩 (3) 扭矩图

§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图

§3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律 一、纯剪切 单元体截面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态叫做纯剪切应力状态。 §3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律 1-- 绪论 2-- 轴向拉压与剪切 3-- 扭转 4-- 弯曲内力 5-- 弯曲应力 6-- 弯曲变形 7-- 应力分析与强度理论 8-- 组合变形 9-- 压杆稳定 10-- 能量法 11-- 超静定 12-- 动荷载 13-- 交变应力 14-- 附录:平面图形的几何性质 [总复习] [练习] [思考] [返回] 一、纯剪切 单元体截面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态叫做纯剪切应力状态。

§3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律 二.切应力互等定理

§3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律

§3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律 三.剪切胡克定律 其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa

§3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律 对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、μ存在关系 表明3个常数只有2个是独立的 §3-3 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律 1-- 绪论 2-- 轴向拉压与剪切 3-- 扭转 4-- 弯曲内力 5-- 弯曲应力 6-- 弯曲变形 7-- 应力分析与强度理论 8-- 组合变形 9-- 压杆稳定 10-- 能量法 11-- 超静定 12-- 动荷载 13-- 交变应力 14-- 附录:平面图形的几何性质 [总复习] [练习] [思考] [返回] 对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、μ存在关系 表明3个常数只有2个是独立的

§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 1、切应力计算 令 抗扭截面系数

§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 2. Ip 与 Wp 的计算 实心轴

§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 空心轴 令 则

§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比

§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 例题3-2 已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比  = 0.5。二轴长度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。 解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心轴

§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比  = 0.5。二轴长度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。 空心轴 d2＝0.5D2=23 mm

§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 实心轴 空心轴 d1=45 mm D2＝46 mm d2＝23 mm 确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：

§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 2、计算各轴的扭矩 解：1、计算各轴的功率与转速 M1=T1=1114 N.m 例题3-3 3 已知：P1＝14kW,P2= P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求:各轴横截面上的最大切应力。 2、计算各轴的扭矩 解：1、计算各轴的功率与转速 M1=T1=1114 N.m P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW M2=T2=557 N.m n1=n2= 120r/min M3=T3=185.7 N.m

§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 3 3、计算各轴的横截面上的 最大切应力

§3-5、圆轴扭转时的变形计算 相对扭转角 抗扭刚度 四、圆轴扭转时的变形计算

§3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 §3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 1. 等截面圆轴： 2. 阶梯形圆轴： 五、圆轴扭转时的强 刚度设计

§3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 单位长度扭转角 许用单位扭转角 扭转刚度条件

§3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 §3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 扭转强度条件 已知T 、D 和[τ]，校核强度 已知T 和[τ]， 设计截面 已知D 和[τ]，确定许可载荷 扭转刚度条件 已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 已知T 和[φ/]，设计截面 已知D 和[φ/]，确定许可载荷

§3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 §3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 例题3-4

§3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 §3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 例题3-5 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? 解： 1.外力

§3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 §3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 2.扭矩图 3.直径d1的选取 按强度条件 按刚度条件

§3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 4.直径d2的选取 按强度条件 按刚度条件 5.选同一直径时

§3-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 6.将主动轮按装在两从动轮之间 受力合理

§3-7、材料扭转时的力学性质 六、材料扭转时的力学性质

§3-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果

§3-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果 自由扭转 约束扭转 截面翘曲不受约束 各截面翘曲不同

§3-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果 开口/闭口薄壁杆件扭转比较

小结 1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算，扭矩图绘制 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算 4、圆轴扭转时的变形及刚度计算

第3章作业(4次) <材料力学基本训练> B本 3-1-(1) 3-1-(2) 3-2-1 3-3-1 3-3-2, 3-3-3 3-3-4 3-3-5 3-3-6 3-3-7 3-3-8 3-3-9 3-3-10 3-3-11 3-4-1 目 录