第5章 matlab符号运算 5.1 符号运算简介 5.2 符号表达式的化简与替换 5.3 符号微积分 5.4 符号线性代数 5.1 符号运算简介 5.2 符号表达式的化简与替换 5.3 符号微积分 5.4　符号线性代数 5.5 符号方程的求解

5.1 符号运算简介 5.1.1 符号变量、表达式的生成 1．sym函数 sym函数可以用于生成单个的符号变量。该函数的调用格式为： s=sym(A) 如果参数A为字符串，则返回的结果为一个符号变量或者一个符号数值；如果A是一个数字或矩阵，则返回结果为该参数的符号表示。 x=sym('x')

2．syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1符号变量名2…符号变量名n 不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量分隔用空格而不要用逗号分隔。 注意： (1)  syms一次可以定义多个符号变量； (2)  syms命令sym函数的缩写形式；syms x y real 等价于x＝sym(‘x’，‘real’)；y＝sym(‘y’，‘real’)； (3)  MatLab提倡使用syms命令，因为书写更方便、清楚。

【例5-1】以下是sym命令与syms命令的区别。 >> y=sym a >> y=sym b >> y=a*b >> f=y^3-y^2-y f = a^3*b^3 - a^2*b^2 - a*b (2)  syms命令。 >> syms a b >> y=a*b >> f=y^3-y^2-y

3．建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下2种方法。 1) 用sym函数建立符号表达式 【例5-2】用sym建立符号表达式和。 (1)  。 第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 y=sym('a*x^2+b*x') %括号的内容必须是字符串 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 y =a*x^2 + b*x

(2)   第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 y=sym('exp(x+3)-sqrt(x)') 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 y =exp(x + 3) - x^(1/2)

【例5-3】建立表达式y＝sin(xy)。 方法一： syms x y y=sym(sin(x*y)) y = sin(x*y) 方法二： y=sin(x*y)

4．符号矩阵 符号矩阵也是一种符号表达式。符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。 符号矩阵的创建方法： >> syms a b c d >> A=[a b;c d] >> B=[a c;b d]; >> A*B ans = [ a^2+b^2, a*c+b*d] [ a*c+b*d, c^2+d^2]

MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如 transpose(A):返回A矩阵的转置矩阵 det (A):返回A矩阵的行列式值 其实，许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。

【例5-4】求矩阵转置矩阵和行列式值。 解： 第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 >> A=[11 -1 0;9 3 5;-4 2 8] >> t=transpose(A) >> d=det(A) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 t= 11 9 -4 -1 3 2 0 5 8 d = 246.0000

5.1.2 findsym函数和subs函数 1．findsym函数 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量(自变量)。该函数的调用格式为： findsym(s,n)

findsym函数通常由系统自动调用，在进行符号运算时，系统调用该函数确定表达式中的符号变量，执行相应的操作。函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。优先选择靠近x的小写字母和x后面的字母。

【例5-5】求符号变量。 >> syms x y z >> f=z^x+x^y+y^z >> findsym(f,1) ans = X >> findsym(f,2) x,y >> findsym(f) x,y,z

2．subs函数 subs是单词substitution的缩写，意思就是“替代”。函数subs可以用指定符号替换表达式中的某一个特定符号。该函数的调用格式为： R＝subs(S) 对于S中出现的全部符号变量，如果在调用函数或工作区间中存在相应值，则将值代入，如果没有相应值，则对应的变量保持不变； R＝subs(S,new)

　　　用新的符号变量替换S中的默认变量，即有findsym函数返回的变量； R＝subs(S,old,new) 用新的符号变量替换S中的变量，被替换的变量由old指定，如果new是数字形式的符号，则数值代替原来的符号计算表达式的值，所得结果仍是字符串形式；如果new是矩阵，则将S中的所有old替换为new，并将S中的常数项扩充为与new维数相同的常数矩阵。

【例5-6】 解： 第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 >> syms a b c x >> f=a*x^2+b*x+c >> y=subs(f,2) >> z=subs(f,a,3) >> s=subs(f,[a,b,c],[3,4,5])

第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 y = 4*a + 2*b + c z = 3*x^2 + b*x + c s = 3*x^2 + 4*x + 5

5.1.3 符号和数值之间的转化 在符号变量生成一节中已经介绍了sym函数，该函数用于生成符号变量，也可以将数值转化为符号变量。格式为： s＝sym(A,flag)

转化的方式由参数“flag”确定，它也可以为’r’、’f’、’e’、’d’，默认的为’r’。’r’代表有理数格式，’f’代表浮点数格式，’e’代表有理误差格式，’d’代表十进制格式。 sym的另一个重要作用是将数值矩阵转化为符号矩阵，而eval可以将符号表达式变换成数值表达式。

【例5-7】 解： >> y=sqrt(3) (1) 浮点格式。 >> sym(y,'f') ans = 3900231685776981/2251799813685248

(2) 有理格式。 >> sym(y,'r') ans = 3^(1/2) (3) 有理误差格式。 >> sym(y,'e') 3^(1/2) - (268*eps)/593

(4) 十进制格式。 >> sym(y,'d') ans = 1.7320508075688771931766041234368

5.1.4 任意精度的计算 符号计算的一个非常显著的特点是：在计算过程中不会出现舍入误差，从而可以得到任意精度的数值解。如果希望计算结果精确，可以用符号计算来获得足够高的计算精度。符号计算相对于数值计算而言，需要更多的计算时间和存储空间。 MATLAB工具箱中有3种不同类型的算术运算： 数值型：MATLAB的浮点数运算； 有理数类型：Maple的精确符号运算； VPA类型：Maple的任意精度算术运算。

在3种运算中，浮点运算速度最快，所需的内存空间小，但是其结果精确度最低。双精度数据的输出位数由format命令控制，但是在内部运算时采用的是计算机硬件所提供的八位浮点运算。而且，在浮点运算的每一步，都存在一个舍入误差，如上面的运算中存在三步舍入误差：计算1/3的舍入误差，计算1/2＋1/3的舍入误差，以及将最后结果转化为十进制输出时的舍入误差。 符号运算中的有理数运算，其时间复杂度和空间复杂度都是最大的，但是，只要时间和空间允许，都能够得到任意精度的结果。 可变精度的运算运算速度和精确度均位于上面两种运算之间。其具体精度由参数指定，参数越大，精确度越高，运行越慢。

5.1.5 创建符号方程 1．创建抽象方程 MATLAB中可以创建抽象方程，即只有方程符号，没有具体表达式的方程。若要创建方程，并计算其一阶微分的方法如下。 >> f=sym('f(x)'); >> syms x h; >> df = (subs(f,x,x+h)-f)/h df = (f(x+h)-f(x))/h 抽象方程在积分变换中有着很多的应用。

2．创建符号方程 创建符号方程的方法有两种：利用符号表达式创建和创建M文件。 利用符号表达式创建的步骤就是，先创建符号变量，通过符号变量的运算生成符号函数直接生成符号表达式。而利用M文件创建符号方程的步骤就是先利用 M 文件创建的函数，可以接受任何符号变量作为输入，作为生成函数的自变量。

5.2 符号表达式的化简与替换 5.2.1 符号表达式的化简 MATLAB中可以实现符号表达式化简的函数有collect、expand、horner、factor、simplify、simple。 1．collect 该函数用于合并同类项，具体调用格式为： R=collect(S) 合并同类项。其中S可以是数组，数组的每个元素为符号表达式。该命令将S中的每个元素进行合并同类项。 R=collect(S,v) 对指定的变量v进行合并，如果不指定，则默认为对x进行合并，或者由findsym函数返回的结果进行合并。

【例5-8】对函数进行合并。 解： 第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 >> syms x y >> z=collect(x^2*y+x*y^2-2*x-3*y) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 z =y*x^2 + (y^2 - 2)*x - 3*y

2．expand expand函数用于符号表达式的展开。其操作对象可以是多种类型，如多项式、三角函数、指数函数等。用户可以利用expand函数对任意的符号表达式进行展开。

【例5-9】展开表达式。 解： 第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 >> syms x >> y=exp(x+1) >> expand(y) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 ans = exp(1)*exp(x)

3．horner horner函数将函数转化为嵌套格式。嵌套格式在多项式求值中可以降低计的时间复杂度。该函数的调用格式为： R=horner(P) 其中P为由符号表达式组成的矩阵，该命令将P中的所有元素转化为相应的嵌套形式。

【例5-10】对进行化解。 解： 第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 >> syms x >> y=horner(x^3-6*x^2-11*x-6) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 y =x*(x*(x - 6) - 11) - 6

4．factor和simplify factor函数实现因式分解功能，如果输入的参数为正整数，则返回此数的素数因数。 函数simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。表达式中可以包含和式、方根、分数乘方、指数函数、对数函数、三角函数、bessel函数、超越函数等。

【例5-11】对表达式进行因式分解。 解： 第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 >> syms x >>factor(x^3-x^2-10*x-8) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 ans = (x - 4)*(x + 2)*(x + 1)

【例5-12】对表达式进行因式分解。 解： 第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 >> syms s >> y=s^2+4*s+4 >> simplify(y) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 ans =(s + 2)^2

5．simple 该函数同样实现表达式的化简，并且该函数可以自动选择化简所选择的方法，最后返回表达式的最简单的形式。函数的化简方法包括：simplify、combine(trig)、radsimp、convert(exp)、collect、factor、expand 等。该函数的调用格式为： r＝simple(S) 该命令尝试多种化简方法，显示全部化简结果，并且返回最简单的结果；如果S为矩阵，则返回使矩阵最简单的结果，但是对于每个元素而言，则并不一定是最简单的。 [r,how]＝simple(S) 该命令在返回化简结果的同时返回化简所使用的方法。

5.2.2 符号表达式的替换 在MATLAB中，可以通过符号替换使表达式的形式简化。符号工具箱中提供了两个函数用于表达式的替换：subexpr和subs。subs在前面的章节已经介绍过了，这里不再具体讲解。下面只介绍一下subexpr。 subexpr函数自动将表达式中重复出现的字符串用变量替换，该函数的调用格式为： [Y,SIGMA]＝subexpr(X,SIGMA)

指定用符号变量SIGMA来代替符号表达式(可以是矩阵)中重复出现的字符串。替换后的结果由Y返回，被替换的字符串由SIGMA返回； [Y,SIGMA]＝subexpr(X,'SIGMA') 该命令与上面的命令不同之处在于第二个参数为字符串，该命令用来替换表达式中重复出现的字符串。

5.3 符号微积分 5.3.1 符号表达式求极限 极限是微积分的基础，微分和积分都是“无穷逼近”时的结果。在MATLAB中函数limit用于求表达式的极限。该函数的调用格式为： (1)  limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。 (2)  limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。

(3)  limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a＝0的情况。 (4)  limit(f,x,a,'right')：求符号函数f的极限值。'right'表示变量x从右边趋近于a。 (5)  limit(f,x,a,‘left’)：求符号函数f的极限值。‘left’表示变量x从左边趋近于a。

【例5-13】求的极限。 解： 第一步：在matlab命令窗口中输入如下命令。 >> syms x y f1=sin(x)/x; f2=sin(x+2*y); f=limit(f1) g=limit(f2,y,0) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f =1 g =sin(x)

【例5-14】求下列极限。 解： (1) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> sym x >> y=(1-cos(x))/x^2 >> f=limit(y) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=1/2

(2) 第一步：求当x趋于时y函数的极限。 >> sym x >> y=(exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x)) >> f1=limit(y,x,Inf) 结果为： f1=1 第二步：求当x趋于时y函数的极限。 >> f2=limit(y,x,-Inf) f2 =-1 因为f1不等于f2所以极限不存在。

5.3.2 符号微分 MATLAB中函数diff实现函数求导和求微分，可以实现一元函数求导和多元函数求偏导。该函数在前面的MATLAB的数学功能一章已有介绍，用于计算向量或矩阵的差分。当输入参数为符号表达式时，该函数实现符号微分，其调用格式为： diff(S)

实现表达式S的求导，没有指定变量和微分阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式S求一阶微分； diff(S,'v') 实现表达式对指定变量v的求导，以v为自变量，求一阶微分，该语句还可以写为diff(S,sym('v'))； diff(S,n)

按findsym函数指示的默认变量求S的n阶微分，n为正整数。 diff(S,'v',n) 求S对v的n阶导，该表达式还可以写为diff(S,n,'v')。 上述为利用diff函数计算符号函数的微分，另外，微积分中一个非常的重要概念为Jacobian矩阵，计算函数向量的微分。在MATLAB中，函数jacobian用于计算Jacobian矩阵。该函数的调用格式为： R=jacobian(f,v)

如果f是函数向量，v为自变量向量，则计算f的Jacobian矩阵；如果f是标量，则计算f的梯度；如果v也是标量，则其结果与diff函数相同。

【例5-15】求下列函数的微分。 (1)  y＝sin x； (2)  y＝arctan (ax)； (3)  y＝log10求二阶导， 在matlab中以10为底的对数需要用log10函数，以2为底的对数需要用log2函数，log是e为底的对数。

解： (1) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> sym x >> y=sin x >> f=diff(y) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=cos(x)

(2) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms a x >> y=atan(a*x) >> f=diff(y) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=a/(a^2*x^2 + 1) 注意：arctan(x)在matlab中输入形式为atan(x)。

(3) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> sym x >> y=log10(x^2) >> f=diff(y,x,2) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=-2/(x^2*log(10)) 注意：在matlab中以10为底的对数写为log10，以2为底的对数写为log2，而log则是默认是以e为底的对数函数。

5.3.3　符号积分 与微分对应的是积分，在MATLAB中，函数int用于实现符号微分运算。该函数的调用格式为： R=int(S) 求表达式S的不定积分，未指定积分变量和阶数，按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式求不定积分，也就是说，自变量由findsym函数确定； R=int(S,v)

以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分； R=int(S,a,b) 求表达式S在区间上的定积分，自变量由findsym函数确定； R=int(S,v,a,b) 求表达式S在区间上的定积分运算，自变量为v。a和b分别表示定积分的下限和上限。求被积函数在区间[a，b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a，b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a和b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分；当a和b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

(1) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> sym x >> y=(x^4+1)/(x^2+1) >> f=int(y) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=2*atan(x) - x + x^3/3

(2) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> sym x >> y=1/(1+x+x^2) >> f=int(y) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=(2*3^(1/2)*atan((2*3^(1/2)*x)/3 + 3^(1/2)/3))/3

(3) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms a x >> y=a*x^3 >> f=int(y,0,2) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=4*a

(4) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x >> y=sqrt(x+1)/(sqrt(x+1)+sqrt(3-x)) >> f=int(y,x,0,2) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 y =(x + 1)^(1/2)/((x + 1)^(1/2) + (3 - x)^(1/2))

5.3.4 级数求和 symsum函数用于级数的求和。该函数的调用格式为： r=symsum(s) 自变量为findsym函数所确定的符号变量，设其为k，则该表达式计算 s从0到k－1的和； r=symsum(s,v) 计算表达式s从0到v－1的和；

r=symsum(s,a,b) 计算自变量从a到b之间s的和； r=symsum(s,v,a,b) 计算v从a到b之间的s的和。其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。a和b是求和的开始项和末项。

【例5-17】求级数前6项的部分和s。 解： 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x >> s=symsum(1/(1+x^2),1,6) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 s =75581/81770

MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，所以函数 taylor 可以用于实现 Taylor级数的计算。该函数的调用格式为： r=taylor(f) 计算表达式f的Taylor级数，自变量由findsym函数确定，计算f的在0的6阶Taylor级数；

r=taylor(f,n,v) 指定自变量v和阶数n； r=taylor(f,n,v,a) 指定自变量v、结束n，计算f在a的级数。 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v＝a处展开，a的缺省值是0。

【例5-18】求函数的泰勒级数展开式。 (1) 求y＝sin(sinx)的三阶泰勒级数展开式。 (2) 求y＝tan(x)的2阶泰勒级数展开式。

(1) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x >> y=sin(sin(x)) >> f=taylor(y,x,4) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=x - x^3/3

(2) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x >> y=tan(x) >> f=taylor(y,x,3) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=x

5.4 符号线性代数 5.4.1 基本符号运算 在Matlab数学运算中，基本符号运算符包括＋、-、*、.*、\、.\、/、^、.^。 5.4　符号线性代数 5.4.1　基本符号运算 在Matlab数学运算中，基本符号运算符包括＋、-、*、.*、\、.\、/、^、.^。 (1) 加减运算。 A＋B，A-B。如果A、B为同类型的矩阵时，A＋B，A-B分别对对应分量进行加减。 (2)  A*B符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数，否则该函数返回错误信息。 (3)  A.*B符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。

(4)  A\B矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵(即非正方形矩阵)，但此时要求方程组必须是相容的。 (5)  A.\B数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 (6)  B/A矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。需要指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵(即非正方形矩阵)，但此时要求方程组必须是相容的。

(7)  A./B数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 (8)  A^B矩阵的方幂。 计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。 (9)  A.^B数组的方幂。 A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时，A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。

5.4.2 矩阵的特征值分解 在MATLAB中，矩阵的特征值和特征向量由函数eig计算。该函数的主要用法为： E=eig(A) 计算符号矩阵A的符号特征值，返回结果为一个向量，向量的元素为矩阵A的特征值； [V,E]＝eig(A) 计算符号矩阵A的符号特征值和符号特征向量，返回结果为两个矩阵：V和E，V是矩阵A的特征向量组成的矩阵，E为A的特征值组成的对角矩阵，得到的结果满足。

【例5-19】求矩阵的特征值。 解： 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> A=[2 -1 5;3 0 1;6 7 3] >> e=eig(A) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 e = 9.1708 -2.0854 + 2.4292i -2.0854 - 2.4292i

5.4.3 Jordon 标准型 当利用相似变换将矩阵对角化时会产生Jordon标准型。对于给定的矩阵，如果存在非奇异矩阵，使得矩阵最接近对角形，则矩阵称为的Jordon标准型。MATLAB中函数jordan用于计算矩阵的Jordon标准型。该函数的调用格式如下： J=jordan(A) 计算矩阵的 Jordon 标准型； [V,J]=jordan(A) 返回矩阵的 Jordon 标准型，同时返回相应的变换矩阵。

【例5-20】将矩阵化为Jordon标准型。 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> A=[2 -1 5;3 0 1;6 7 3] >> J = jordan(A) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 J = -2.0854 + 2.4292i 0 0 0 9.1708 0 0 0 -2.0854 - 2.4292i

5.4.4　奇异值分解 奇异值分解是矩阵分析中的一个重要内容，在理论分析和实践计算中都有着广泛的应用。在MATLAB中，完全的奇异值分解只对可变精度的矩阵可行。进行奇异值分解的函数为svd，该函数的调用格式为： sigma = svd(A),计算矩阵的奇异值; sigma = svd(vpa(A)),采用可变精度计算矩阵的奇异值; [U,S,V] = svd(A),矩阵奇异值分解,返回矩阵的奇异向量矩阵和奇异值所构成的对角矩阵。 [U,S,V] = svd(vpa(A)),采用可变精度计算对矩阵进行奇异值分解。

【例5-21】计算矩阵的奇异值。 解： 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> A=[10 1 9;3 7 1;5 -3 6] >> sigma = svd(A) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 sigma = 15.8056 7.8148 0.3319

5.5 符号方程的求解 5.5.1 代数方程的求解 代数方程包括线性方程、非线性方程和超越方程等。在 MATLAB 中函数 solve 用于求解代数方程和方程组，其调用格式如下： g=solve(eq) 求解方程eq的解，对默认自变量求解，输入的参数 eq 可以是符号表达式或字符串； g=solve(eq,var) 求解方程eq的解，对指定自变量求解；

在上面的语句中，如果输入的表达式中不包含等号，则 MATLAB 求解其等于 0 时的解。例如，g＝solve(sym('x^2-1'))的结果与g＝solve(sym('x^2-1＝0'))相同。 对于单个方程的情况，返回结果为一个符号表达式，或是一个符号表达式组成的数组；对于方程组的情况，返回结果为一个结构体，结构体的元素为每个变量对应的表达式，各个变量按照字母顺序排列。

【例5-22】求解方程。 解： 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x >> g=solve('x^3-8*x^2+17*x-10') 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 g=1、2、5(3个解)

5.5.2　求解代数方程组 代数方程组同样由函数 solve 函数进行，其格式为： g=solve(eq1,eq2,...,eqn) 求由方程eq1、eq2、…、eqn等组成的系统，自变量为默认自变量； g=solve(eq1,eq2,...,eqn,var1,var2,...,varn) 求由方程eq1、eq2、…、eqn 等组成的系统，自变量为指定的自变量：var1、var2、…、varn。

解： 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x1 x2 x3 x4 >> L1=x1-2*x2+3*x3-4*x4-4; >> L2=x2-x3+x4+3; >> L3=-x1-x2+2*x4+4; >> [x1,x2,x3,x4]=solve(L1,L2,L3,x1,x2,x3,x4) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 x1 =- z - 20； x2 =z + 6； x3 =z； x4 =-9

5.5.3　微分方程的求解 MATLAB中微分方程的求解通过函数dsolve进行，该函数用于求解常微分方程。 dsolve函数该函数的具体调用格式为 r = dsolve(‘eq1,eq2,...’, ‘cond1,cond2,...’, ‘v’) r = dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v') 其中，eq1、eq2等表示待求解的方程，默认的自变量为x。方程中用D表示微分，如Dy表示；如果在D后面带有数字，则表示多阶导数，如D2y表示。cond1、cond2等

表示初始值，通常表示为y(a)＝b或者Dy(a)＝b。如果不指定初始值，或者初始值方程的个数少于因变量的个数，则最后得到的结果中会包含常数项，表示为C1、C2等。dsolve函数最多接受12个输入参数。

【例5-24】求 解： 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x y >> r=dsolve('D2y+y=0','x') 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 r =C2*cos(x) + C3*sin(x)

5.5.4　微分方程组的求解 求解微分方程组通过 dsolve 进行，格式为： r = dsolve('eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', 'v')。 该语句求解由参数eq1、eq2等指定的方程组成的系统，初值条件为cond1、cond2等，v为自变量。

【例5-25】求微分方程组的解。 (1) (2)

解： (1) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x y z >> f=dsolve('Dy-z','Dz-y','x') 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f = y: [1x1 sym] z: [1x1 sym]

(2) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x y t >> f=dsolve('D2x=y','D2y=x','t') 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f = x: [1x1 sym] y: [1x1 sym]

5.5.5 复合方程 复合方程通过函数 compose 进行，该函数的调用格式为： compose(f,g) 返回函数f(g(y))，其中f＝f(x)，g＝g(y)，x是f的默认自变量，y是g的默认自变量； compose(f,g,z)

返回函数f(g(z))，自变量为z； compose(f,g,x,z) 返回函数f(g(z))，指定f的自变量为x； compose(f,g,x,y,z) 返回函数f(g(z))，f和g的自变量分别指定为x和y。

5.5.6 反方程 反方程通过函数finverse求得，该函数的调用格式为： g=finverse(f) 在函数f的反函数存在的情况下，返回函数f的反函数，自变量为默认自变量； g=finverse(f,v) 在函数f的反函数存在的情况下，返回函数f的反函数，自变量为v。

5.5 符号方程的求解 5.6.1 傅里叶(Fourier)变换及其逆变换 傅里叶变换由函数fourier实现，该函数的调用格式为： 5.5 符号方程的求解 5.6.1 傅里叶(Fourier)变换及其逆变换 傅里叶变换由函数fourier实现，该函数的调用格式为： F＝fourier(f)，实现函数f的傅里叶变换，如果f的默认自变量为x，则返回f的傅里叶变换结果，默认自变量为w；如果f的默认自变量为w，则返回结果的默认自变量为t； F＝fourier(f，v)，返回结果为v的函数； F＝fourier(f，u，v)，f的自变量为u，返回结果为v的函数。 傅里叶逆变换

傅里叶逆变换由函数ifourier实现，该函数的调用格式为： f＝ifourier(F)，实现函数F的傅里叶逆变换，如果F的默认自变量为w，则返回结果f的默认自变量为x，如果F的自变量为x，则返回结果f的自变量为t； f＝ifourier(F，u)，实现函数F的傅里叶逆变换，返回结果f为u的函数； f＝ifourier(F，v，u)，实现函数F的傅里叶逆变换，F的自变量为v，返回结果f为u的函数。

【例5-26】已知某函数的fourier变换为，求该函数f(t)。 解： 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms t >> F=sin()/ >> f = ifourier(F,,t) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=fourier(sin()/, , t)/(2*pi)

【例5-27】求一下函数的傅里叶逆变换。 (1) ＝costsint (2)

解： (1) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms t >> f=cos(t)*sin(t) >> F=fourier(f) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 F=fourier(cos(t)*sin(t), t, -)

(2) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms t >> f=(sin(t))^3 >> F=fourier(f) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 F =fourier(sin(t)^3, t, -w)

5.6.2 符号拉普拉斯(Laplace)变换及其逆变换 laplace(F)，实现函数F的拉普拉斯变换，如果F的默认自变量为t，返回结果的默认自变量为s；如果F的默认自变量为s，则返回结果为t的函数； laplace(F，t)，返回函数的自变量为t； laplace(F，w，z)，指定F的自变量为w，返回结果为z的函数；

拉普拉斯逆变换由函数ilaplace实现，该函数的调用格式为： F＝ilaplace(L)，实现函数L的拉普拉斯逆变换，如果L的自变量为s，则返回结果为t的函数；如果L的自变量为t，则返回结果为x的函数； F＝ilaplace(L，y)，返回结果为y的函数； F＝ilaplace(L，y，x)，指定L的自变量为y，返回结果为x的函数。

(1) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms t s >> y=sin(t/2) >> f=laplace(y,t,s) %返回结果为s的函数 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=1/(2*(s^2 + 1/4))

(2) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms t s >> y=t^2 >> f=laplace(y,t,s) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=2/s^3

(3) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms t s >> y=cos(t)*sin(t) >> f=laplace(y,t,s) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f= - ((s - i)*i)/(2*((s - i)^2 + 1)) + ((s + i)*i)/(2*((s + i)^2 + 1))

【例5-29】求的原函数f(t). 解： 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms s t y=(s+2)/(s^2+4*s+3) f=ilaplace(y,s,t) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=1/(2*exp(t)) + 1/(2*exp(3*t))

5.6.3 符号Z变换及其逆变换 Z变换由函数ztrans完成，该函数的用法为： F＝ztrans(f)，如果f的默认自变量为n，则返回结果为z的函数；如果f为函数z的函数，则返回结果为w的函数； F＝ztrans(f,w)，返回结果为w的函数； F＝ztrans(f,k,w)，f的自变量为k，返回结果为w的函数。 Z逆变换由函数iztrans完成，其调用格式为： f＝iztrans(F)，若F的默认自变量为z，则返回结果为n的函数；如果F是n的函数，则返回结果为k的函数； f＝iztrans(F,k)，指定返回结果为k的函数； f＝iztrans(F,w,k)，指定F的自变量为w，返回结果为k的函数。

【例5-30】求下列函数的Z变换。 (1) (2)  f＝tan(x＋2) 解： (1) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms n >> f=n^2 >> F=ztrans(f) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 F=(z^2 + z)/(z - 1)^3

(2) 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >>syms n >>f=tan(x+2) >>F=ztrans(f) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 F =z^2*ztrans(tan(x), x, z) - z*tan(1)

【例5-31】求的Z反变换。 解： 第一步：在命令窗口输入如下程序。 >> syms x z >> F=2*z/(z-2)^2 >> f=iztrans(F,z,x) 第二步：按“enter”键，得到的结果如下。 f=2^x*(x - 1) + 2^x