第 三 章 静定梁

§3.1 静定单跨梁的计算 常见的静定单跨梁有下列三种类型：（1）简支梁；（2）悬臂梁（3）伸臂梁。 组成：两刚片组成规律。三个支座反力。 计算方法：取全梁为隔离体，可用平面一般力系，三个平衡方程。

一、杆件截面内力及正负号规定 平面杆件截面上一般有三个内力：N、Q、M。 N Q Q 轴力—截面内力沿杆轴切线方向的分力，以拉为正，压为负；画轴力图要注明正负号； N 剪力—截面内力沿杆轴法线方向的分力, 对截取的隔离体邻近截面顺时针方向转动趋势的为正，反之为负；画剪力图要注明正负号； Q Q

二、杆件截面内力计算方法——截面法 M 如P25【例3.1】 用截面法计算指定截面内力的步骤： （1）首先利用整体平衡条件求支座反力。 弯矩—截面内力对截面形心的力矩。 在水平杆中，当弯矩使杆件下部纤维受拉时，弯矩为正，反之为负。 M 二、杆件截面内力计算方法——截面法 即沿指定截面将杆件截开，取截面的一边为隔离体，利用隔离体的三个平衡方程，可确定该截面的三个内力分量。 如P25【例3.1】 用截面法计算指定截面内力的步骤： （1）首先利用整体平衡条件求支座反力。

画隔离体受力图时应注意： （2）沿指定截面截开，取截面一边（通常取受力简单部分）为隔离体。 （3）画出隔离体受力图，未知内力按正方向画出。 （4）建立隔离体的平衡条件，确定该截面的三个内力分量。 画隔离体受力图时应注意： （1）隔离体与周围的约束要全部截断，以相应的约束力代替。 （2）约束力要符合约束性质。 （3）如实画出隔离体上的全部力。 （4）隔离体受力图的表示必须清楚、明确。

例：用截面法求指定截面内力 计算如图所示结构截面 1 的内力 先计算左截面的内力，可取截面1以左隔离体进行分析。 P 2Pa 1 a 1.5a 先计算左截面的内力，可取截面1以左隔离体进行分析。 P 根据静力平衡条件求截面未知力： P P 计算右截面的内力,也可取截面1以左隔离体进行分析。在这个隔离体上有集中力矩 2Pa，三个未知力为： M Z 1 P 1.5a Q Z 1 N Z 1 M U 1 P 1.5a 2Pa Q U 1 N U 1

计算截面 2 的内力 计算截面 3 的内力 现取截面 2 左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条件就可得出截面 2 上的三个未知力： a P 1.5a 2Pa 1 2 3 (a) 现取截面 2 左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条件就可得出截面 2 上的三个未知力： 也可取截面 2 右边隔离体计算 P a M 2 M 2 P 1.5a (d) 2 2Pa Q2 Q2 N 2 N 2 P P a 计算截面 3 的内力 此时应取截面 3 以上的隔离体进行分析比较简单。 Q3 M 3 N 3

不画隔离体，直接由截面内力定义得出的内力算式： 轴力=截面一边所有外力沿杆轴切线方向投影的代数和 。 剪力=截面一边所有外力沿杆轴法线方向投影的代数和。 弯矩=截面一边所有外力对截面形心的力矩代数和。

三、荷载与内力之间的微分关系 1、分布荷载作用 下列简支梁所受荷载如下。设竖向荷载向下为正，横坐标轴x向右为正，纵坐标轴y向下为正，截面内力正负号规定同前。 P q d x m A C D E F B q 1、分布荷载作用 Q M+⊿M qx O M x Q+⊿Q dx y

综合上式，可得 上述微分关系表达式的几何意义是： 式【3.1（a）】表示剪力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度，但两者正负号相反。 式【3.1（b）】表示弯矩图在某点的切线斜率等于该点的剪力。 式【3.2】表示弯矩图曲线在某点的二阶导数（一阶导数的变化率）等于该点的荷载集度，但符号相反。

上述微分关系说明在荷载连续分布的区段，内力图的形状有以下特点： （1）在均布荷载区段（q=常数） Q图是x的一次式，Q图是斜直线；若取剪力图纵坐标向上为正，q向下作用时，斜直线自左向右向下倾斜。 M图是x的二次式，M图是抛物线；当q向下时，M图的一阶导数的变化率为负，即曲线向下凸。 （2）在无荷载区段（q=0） Q图是水平线，Q等于常数。 M图是x的一次式，M图是斜直线，倾斜方向同剪力的符号。

2、集中力作用 P QE左 ME右 qx E x ME左 QE右 y 在集中力作用点E附近取微段为隔离体，由平衡方程：

3、集中力偶作用 式【3.3（a）】说明集中力作用点的两侧剪力值是不等的，相差值为P。因此剪力图在P作用点有突变，突变值为P。 式【3.3（b）】说明集中力作用点的两侧弯矩值是相等的，但由于P作用点两侧剪力值不等，因此，弯矩图在P作用点两侧斜率不同而形成一尖点，当P作用向下时，尖角向下。 3、集中力偶作用 在集中力偶作用点F附近取微段为隔离体，由平衡方程：

m QF左 MF右 qx x F MF左 QF右 y

式【3.4（a）】说明集中力偶m作用点的两侧剪力值是相等的。因此剪力图在m作用点两侧无变化。 式【3.4（b）】说明集中力偶作用点的两侧弯矩值是不等的，两侧弯矩值相差m。因此，弯矩图在m作用点两侧有突变，突变值为m。且由于m作用点两侧的剪力相等，弯矩图在m作用点两侧的斜率相等，即两侧的切线彼此平行。

4、剪力图与弯矩图的形状特征（据上面的各种关系推出） 梁上情 无外力区段 集中荷载P作用处 集中力偶m作用处 铰处 均布荷载q作用区段 况 内力图 常数 (水平线) 斜直线 (自左至右) 有突变 (突变值为Fy) 无变化 剪力图 零 极 值 抛物线 有尖角 (尖角突出方向同Fy指向) 有突变 (突变值为MO) 直线变化 弯矩图 为 零 (凸出方向向同qy指向) (平直线或斜直线)

5、几种典型弯矩图和剪力图 1、集中荷载作用点 M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载向下突变亦向下。 2、集中力矩作用点 l q l /2 P l /2 m 1、集中荷载作用点 M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载向下突变亦向下。 2、集中力矩作用点 M图有一突变，力矩为顺时针向下突变； Q 图没有变化。 3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸； Q 图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜

注： (１)在铰结处一侧截面上如无集中力偶作用，M＝０。 在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用，则该截面弯矩＝此外力偶值。 (２)自由端处如无集中力偶作用，则该端弯矩为零。 　　自由端处如有集中力偶作用，则该端弯矩＝此外力偶值。

四、内力图的绘制 绘制内力图的要点： 内力图——表示杆件上各截面内力沿杆长度变化规律的图形。绘制时，以杆轴为横坐标，各截面内力值为纵坐标。 规定如下：弯矩图的纵坐标一律画在杆件受拉纤维一侧，不注明正负号。剪力图和轴力图可画在杆件任一侧，但需注明正负号（对水平杆件，一般把正号剪力和轴力画在杆件上方。 绘制内力图的要点： 1、选择控制截面

控制截面是指荷载的不连续点，如分布荷载的起点和终点、集中力作用点和集中力偶作用点。 2、计算控制截面内力值 基本方法是截面法。 3、分段绘制内力图 将一杆件以控制截面分段，以控制截面的内力值作为内力图在该截面的纵坐标，由荷载与内力的微分关系总结的内力图特征绘制各分段的内力图。

例：用内力图规律作梁的剪力图和弯矩图 解：1、求支座反力 2、绘剪力图 3、绘弯矩图 本题：A，C左， C右，B，D FyA FyB A B 2m FP=20kN M=160kN•m q=20kN/m 8m C D 解：1、求支座反力 FyA = 72kN（↑）FyB = 148kN （↑） 2、绘剪力图 控制截面：集中力（包括反力）作用点左右；分布荷载起、终点，自由端等等。 72 88 60 20 FQ图( kN ) x=5.6m 本题：A右，C左，B左，B右，D 3、绘弯矩图 144 16 113.6 80 M图 (kN• m) 控制截面：集中力（包括反力）作用截面；分布荷载起、终点；集中力偶作用截面左右；自由端；剪力零点处等等。 本题：A，C左， C右，B，D

假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。 §3.2 叠加法绘制直杆弯矩图 MA MB q q P A B MA q MB 分段叠加法的理论依据： A B O M M NA NB MB YA YB MA 假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。 MA q MB MB MA 图中：OA段即为线弹性阶段 AB段为非线性弹性阶段 M + M M M MB MA

（1）悬臂段分布荷载作用下 （1）集中荷载作用下 （2）跨中集中力偶作用下 （2）集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图 （3）叠加得弯矩图 3m 4kN 4kN·m 3m 8kN·m 2kN/m （1）悬臂段分布荷载作用下 （1）集中荷载作用下 4kN·m 2kN·m 6kN·m （2）跨中集中力偶作用下 （2）集中力偶作用下 4kN·m 4kN·m 2kN·m 4kN·m （3）叠加得弯矩图 （3）叠加得弯矩图 4kN·m 6kN·m 4kN·m 4kN·m 2kN·m

= M 图 + M0 图 M 图 FP MA A MB B C MA MB FP FP ab/l MA MB FPab/l a b l MA

一、简支梁弯矩图的叠加方法 在M图的基础上加 MO ,即为总的M图。 上图的梁上荷载: 跨间集中荷载FP(或q), 杆端力偶, MA、 MB。 分为两组: (1) MA , MB 单独作用,M 图是直线, (2) FP 单独作用,M0 图是折线。 在M图的基础上加 MO ,即为总的M图。

注： M(x)＝M（x）＋MO（x） MO的竖标⊥梁轴线。 （2）同侧弯矩纵坐标相加，异侧弯矩纵坐标相减。 （1）弯矩图叠加,是纵坐标叠加,不是图形的简单拼合,其关系为: M(x)＝M（x）＋MO（x） MO的竖标⊥梁轴线。 （2）同侧弯矩纵坐标相加，异侧弯矩纵坐标相减。

二、结构中任意直杆段弯矩的叠加法 取 AB 段 跨中荷载 q 杆端力：弯MAB，MBA 剪力：FQAB，FQBA FNAB MBA MAB 取 AB 段 跨中荷载 q 杆端力：弯MAB，MBA 剪力：FQAB，FQBA 轴力：FNAB，FNBA 不影响弯矩，可暂不予考虑。 FNBA lAB q FP A B M0 (a)

作任意直线段弯矩图归结作相应简支梁弯矩图。 比较相应简支梁 跨中荷载 q 支座反力FYA，FYB 杆端弯矩MAB，MBA 应用平衡条件 分别可从b），c）中得出：FQAB，FQBA 和FYA0，FYB0 可知：FYA0=FQAB，FYB0=-FQBA 故知：b），c）中，弯矩图完全相同。 作任意直线段弯矩图归结作相应简支梁弯矩图。

q FP M0 (a) A B lAB q MBA MAB (b) FNBA FNAB A B FQAB FQBA q MAB A MBA B (c) FYB0 FYA0 (d) MBA MAB qlAB2/8

用分段叠加法作直杆M 图的步骤 (1) 竖：用截面法求杆端控制截面弯矩值。 (2) 联：将杆两端弯矩纵标连以虚直线。 (3) 叠加：以连线为基础，叠加由于杆跨上荷载所产生的简支梁弯矩图的纵坐标。

三、梁弯矩图的一般作法 (1)求控制截面（点）的弯矩值，画在图上。【控制点：选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点等）】 (2)分段作M图，取“无荷段连直线，有荷段加简支”。（当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上再叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。）

四、示例： - 【例1】作图示简支梁的内力图。 解： 1、求支座反力 2、作剪力图 3、作弯矩图 FP=40kN q=20kN/m FyA =70kN FyB =50kN 解： 1、求支座反力 70 FQ图 （kN) + 2、作剪力图 - 10 50 3、作弯矩图 40 40 M图 （kN·m) 100 100 120

【例2】作图示梁的内力图。 1、求支座反力。 2、作弯矩图。 M图 (kN·m) FP= 40kN q=20kN/m M=20kN·m FyA =35kN FyB =45kN 1、求支座反力。 20 2、作弯矩图。 20×22/8=10 40×2/4=20 30 35 M图 (kN·m)

【例3】利用叠加法求作图示梁结构的内力图。 1m 2m q=4 kN/m A B C P=8kN m=16kN.m D E F G kN kN [分析] 该梁为简支梁，弯矩控制截面为：C、D、F、G 叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值 解： （1）先计算支座反力 （2）求控制截面弯矩值 取AC部分为隔离体，可计算得： kN 取GB部分为隔离体，可计算得： kN

1m 2m q=4 kN/m A B C P=8kN m=16kN.m D E F G 17 A C P=8kN A D A B C D E F G 17 4 13 7 23 15 26 7 G B 8 30 M图（kN.m） 17 9 m=16kN.m G B 7 + A B C D E F G _ 8 Q图（kN）

§3.3 简支斜梁的计算 在房屋建筑中，楼梯的计算简图通常取为简支斜梁。 θ q l l q′ l′

斜梁所示的荷载分两种（1）沿斜杆轴线分布的竖向荷载，如自重；（2）沿水平线分布的竖向荷载，如使用荷载。 计算时为了统一，常将斜杆轴线分布的竖向荷载，化为沿水平分布的竖向荷载。当为均布荷载时，两者的折算关系为： ql=q′l′=q′l/cosθ q = q′/cosθ q′——沿杆轴线每单位长度上的竖向均布荷载； q——沿水平线每单位长度上的竖向均布荷载。

用书P33【例3.5】来说明静定斜梁计算的特点。 （1）简支斜梁计算支座反力和内力的方法仍然是隔离体平衡和截面法。 （2）在竖向荷载作用下，简支斜梁的支座反力和相应的平梁支座反力是相同的。 （3）在竖向荷载作用下，简支斜梁的弯矩图和相应平梁的弯矩图是相同的。 （4）在竖向荷载作用下，斜梁有轴力；斜梁的剪力和轴力是相应平梁的两个投影。 （5）斜梁杆轴线是直线，可用分段叠加法绘制弯矩图。

§3-3 静定多跨梁 由中间铰将若干单跨梁（简单梁）按照几何不变无多余约束体系组成规则联结在一起而构成的静定梁，称为静定多跨梁。 §3-3 静定多跨梁 由中间铰将若干单跨梁（简单梁）按照几何不变无多余约束体系组成规则联结在一起而构成的静定梁，称为静定多跨梁。 这种结构型式在公路桥梁和屋架檩条中应用较多。

计算支座反力的一般方法： 支座反力一般多于三个，先列三个整体平衡的方程，再结合静定多跨梁组成时有中间铰结点的特点，即补充在铰处截面弯矩为零的条件，计算出全部支座反力。 特点是：因支座反力数较多，方程也较多，不可避免地要解联立方程。 1、几何组成 基本部分+附属部分 （1）基本部分：不依赖其它部分，本身能独立承受荷载并维持平衡。 （2）附属部分：依赖于基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡。

如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称它为基本部分；而CE部分就需要依靠基本部分AC才能保证它的几何不变性，相对于AC 部分来说就称它为附属部分。 （b） E A C （c）

2、计算原则 先计算附属部分，再计算基本部分。 组成：先固定基本部分，再固定附属部分（搭）。 计算：先计算附属部分，再计算基本部分（拆）。把多跨梁的计算分解为一个个的单跨梁的计算，各个解决，从了避免了联立方程。

FP1 FP2 FP3 FP3 FP2 FP1

FP1 FP3 FP2 FP3 FP2 FP1

3、静定多跨梁内力图的绘制 绘制规定与方法： （1）静定多跨梁的内力正负号规定及内力图的绘制规定同单跨梁。 （2）计算静定多跨梁的内力就是分别计算各单跨梁的内力；将各单跨梁的内力图连在一起就是静定多跨梁的内力图。 （3）直杆的荷载与内力微分关系及内力图特征仍然适用于静定多跨梁。多跨梁中间铰处M=0，可以利用这些条件校核多跨梁的内力图以及快速绘制其内力图。

【例1】作图示梁的内力图 FP 2a a a a a a/2 FP FP FP/2 FP/2 3FP/2 FP/2 FP/2 FP FP/4 B E F C D G 2a a a a a a/2 FP D F G C E A B FP D F G FP/2 FP/2 3FP/2 C E FP/2 A B FP/2 FP FP/4 3FP/4

FP FP/2 FP/2 3FP/2 FP/2 FP/2 FP FP/4 3FP/4 FP a/2 FP a/2 M 图 FP a/2 FP D F G FP/2 FP/2 3FP/2 C E FP/2 A B FP/2 FP FP/4 3FP/4 FP a/2 FP a/2 A B C D E F G M 图 FP a/2 FP FP /2 A B C D E F G FP /4 Q 图 FP /2

【例2】 2kN/m 6kN 3kN 10kN 2kN 6kN 8kN·m 15kN·m 12kN·m 4kN·m 2kN 4kN 2kN

多跨静定梁的弯矩图 15kN·m 12kN·m 10kN·m 4kN·m 7.5kN·m 8kN·m 16kN·m M 图

- - - FQ图 ( kN ) 6kN 2kN 4kN 2kN 10kN 2kN/m 3+2=5kN 12.5kN 10kN·m 9kN 7.5 7 FQ图 ( kN )

M 图 一系列简支梁的M图 15kN·m 12kN·m 10kN·m 4kN·m 7.5kN·m 8kN·m 16kN·m 2kN/m

【例3】 C D F B A E 【例4】 C D B A E C D F B A E M图 + M图 Q图 M图 + Q图 Q图

【例5】 构造关系图 2m 1m 4m 80k N·m A B 40k N C D E 20k N/m F G H 50 40 10 20 55 25 85 5 40 20 20 25 10 50 50

【例6】 M 图（k N·m） Q 图（k N） 2m 1m 4m 80k N·m A B 40k N C D E 20k N/m F G H 25 5 55 85 50 20 40 10 M 图（k N·m） 40k N 20k N/m 25 5 55 85 40 25 35 15 20 45 Q 图（k N）

作业： 题3.2 题3.4 题3.6 题3.15 题3.17 题3.21 题3.23 题3.25