元素替换法 ——行列式按行(列)展开(推论) 元素替换法 ——行列式按行(列)展开(推论) 淮海工学院 理学院 孙岚
定理(行列式按行(列)展开法则) 阶行列式 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 或
按第3行展开
反过来看 第三行元素代数余子式的代数和可以“合并”成一个行列式计算! 例如 用-2、-3、4替换原行列式中的第三行元素
同理 用-2、-3、4替换原行列式中的第二行元素 又如 用-2、-3、4替换原行列式中的第一列元素直接计算,而无需分别求出代数余子式。
结论 元素替换法求解代数余子式的代数和 (1)首先观察要求的表达式的代数余子式位于行列式的哪一行(列)? (2)用表达式中的系数去替换该行(列)元素,通过一个行列式去直接计算,而不需要分别计算。——合并成一个行列式
特别地: 第二行元素与第三行对应元素的代数余子式乘积之和为0. 第一行元素与第三行对应元素的代数余子式乘积之和为0.
行列式按行(列)展开的推论: 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 或
证 把行列式按照第 行展开
同理
例 和代数余子式分别为 和 ,求 和代数余子式分别为 和 ,求 和代数余子式分别为 和 ,求 (1) (2) (5) (4) (3) 设 中 元的余子式 设 中 元的余子式 和代数余子式分别为 和 ,求 和代数余子式分别为 和 ,求 和代数余子式分别为 和 ,求 第一行元素与第一行对应元素的代数余子式乘积之和 (1) (2) (5) (4) (3) 第三列元素与第一列对应元素的代数余子式乘积之和 代数余子式在第二行,用4、-2、3替换第二行元素 转换成代数余子式,替换计算 代数余子式不在一行,也不在一列,只能分别计算
谢谢!
例 设 中 元的余子式和 和代数余子式分别为 和 ,求 (1) (2) (3) (4) (5) 设 中 元的余子式和 和代数余子式分别为 和 ,求 例 第一行元素与第一行对应元素的代数余子式乘积之和 (1) (2) (5) (4) (3) 第三列元素与第一列对应元素的代数余子式乘积之和 代数余子式在第二行,用4、-2、3替换第二行元素 转换成代数余子式,替换计算 代数余子式不在一行,也不在一列,只能分别计算