第一章 电磁现象的普遍规律

第一章 电磁现象的普遍规律 1、电磁场与实物物体的相同点 电磁场与实物物体一样，都具有能量、动量和质量(运动质量)。

第一章 电磁现象的普遍规律 2、电磁场与实物物体的不同点 （1）实物物体是由分子原子组成，有它的内部结构；而电磁场不是由分子原子组成，没有内部结构。 （2）实物物体是定域在空间的确定区域内，即实物物体具有一定的形状，占据一定的空间；而电磁场没有一定的形状，是弥散在整个空间中。 （3）几个实物物体不能同时占据同一个空间；而几个不同的电磁场可以同时占据同一个空间。

第一章 电磁现象的普遍规律 §1 电荷和电场 §2 电流和磁场 §3 麦克斯韦方程 §4 介质的电磁性质 §5 电磁场的边值关系 §1 电荷和电场 §2 电流和磁场 §3 麦克斯韦方程 §4 介质的电磁性质 §5 电磁场的边值关系 §6 电磁场的能量和能流

§1 电荷和电场 库仑定律 电场 高斯定理和静电场的散度 静电场的环路定理和旋度 小结

一、库仑定律 1、库仑定律的内容 在真空中，静止点电荷Q对另一个静止点电荷Q′的作用力F 为

一、库仑定律 其中F 是Q′受到的力。r 是由Q指向Q′的矢量，r是r 的模，也就是两个点电荷之间的距离。ε0是真空中的介电常数，其数值与单位为 ε0=8.85×10-12库仑2/(米2•牛)

2、说明 一、库仑定律 （1）定律的中的静止，是相对于观察者的参考系而言的 （2）静止点电荷对另一个点电荷的作用力遵从库仑定律，不论第二个点电荷的运动状态如何 （3）库仑定律运用于真空，并不意味着存在介质时它就失效

一、库仑定律 （1）近距离作用观点 （2）超距作用观点 （3）场的观点

二、电场 1、定义 电荷的周围的空间存在着一种物质，这种物质叫做电场。 相对于观察者静止的电荷激发的电场叫做静电场。

（1）电场对处于电场中的电荷有力的作用，这种力叫做电场力 二、电场 2、电场的两条性质 （1）电场对处于电场中的电荷有力的作用，这种力叫做电场力 （2）电荷在电场中运动，电场力会做功，这说明电场具有能量

二、电场 3、电场强度 （1）定义 单位试探电荷在电场中某点x 处所受的电场力，叫做该点的电场强度。用E(x)表示。

二、电场 其中Q′是试探电荷的电量，F 是Q′处于P点时受的电场力 E(x)=E(x,y,z) F=Q′E

二、电场 （2）说明 ① E(x)的物理意义 ② E(x)与F 和Q′无关，由电场本身的性质来决定 4、点电荷的场强公式

二、电场 5、场强的叠加性（线性叠加） 多个点电荷所激发的电场等于每个点电荷单独存在时激发电场的矢量和。

二、电场 设第i 个点电荷的电量为Qi,它在P 点激发的场强为

二、电场 （1）场强叠加原理中，说的是点电荷 （2）场强叠加原理的另一种表述 多个电荷所激发的电场，等于每个电荷所激发的电场的矢量和。

源点(source point)的坐标用xˊ表示。 二、电场 源点(source point)的坐标用xˊ表示。 场点(field point)的坐标用x 表示。

二、电场 其中

三、高斯定理与静电场的散度 1、高斯定理 在电场中，通过任意闭合曲面上的电通量等于闭合曲面包围电荷的代数和除以ε0。即

三、高斯定理与静电场的散度 Q 为闭合曲面包围电荷的代数和。

三、高斯定理与静电场的散度 值得说明的是 (1)高斯定理是以库仑定律和电场叠加原理为基础的 (2)通过闭合曲面上的电通量仅与闭合面内的电荷有关

三、高斯定理与静电场的散度 2、静电场的散度 当电荷连续分布时 其中S 是V 的边界（表面），V 是S 所包围的区域。

三、高斯定理与静电场的散度

三、高斯定理与静电场的散度 这就是高斯定理的微分形式。它反映了电荷与电场之间的局域关系，即在空间无穷小区域内的关系。

3、对微分形式的说明 三、高斯定理与静电场的散度 （1）电场是有源场，电荷是电场的源 电场中某点的散度，只与该点电荷的密度有关，与别处的电荷密度无关

（2）电场线的发出与会聚 三、高斯定理与静电场的散度 当ρ>0，▽·E >0 ，说明电场线从该点发出。

三、高斯定理与静电场的散度 结论（书上P.8第7行）： 电场线起自于正电荷，终止于负电荷，在无电荷的地方，既无电场线发出，又无电场线终止。但可以有电场线连续通过该处，即电场线不会在没有电荷的地方中断。

三、高斯定理与静电场的散度 (3)注意电场散度的局域性 电场中某点的电场强度的散度，只与该点的电荷密度有关，即散度只存在于有电荷分布的区域内。 (4)高斯定理的微分形式及积分形式在非稳恒情况下也成立。

四、静电场的环路定理和旋度 1、静电场的环路定理 由环路定理可知，静电场力做功与路径无关，只与起 点和终点的位置有关。静电场是保守力场，静电场的 环流（也叫做环量，即 ）为零

四、静电场的环路定理和旋度 2、静电场的旋度 由此可知静电场是无旋场

五、小结 1、静电场的两个方程

电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通过；在静电情形下，电场没有涡旋结构。 五、小结 2、静电场的性质和图像 电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通过；在静电情形下，电场没有涡旋结构。 例：P.9下面。

§2 电流和磁场 电流密度 电荷守恒定律的数学表达式 磁场 磁场旋度与散度公式的证明 安培力公式（安培定律）

一、电流密度 1、 电流密度的定义 　　 导体中某点电流密度J 的方向与正电荷在该点处的运动方向一致。J 的大小定义为单位时间内流过该点单位垂直面积上的电量，即单位垂直面积上的电流强度。

一、电流密度

2、电流密度与电荷的平均定向飘移速度的关系 一、电流密度 2、电流密度与电荷的平均定向飘移速度的关系 J =nq v 其中，n为单位体积内的电荷个数（即数密度），q是一个电荷的电量。显然nq就是单位体积内的电量，即电荷体密度

一、电流密度 ρ=nq J =ρv 其中ρi和vi分别为第i种载流子的电荷体密度和定向漂移速度。

二、电荷守恒定律的数学表达式 dI =J •dS 是dS 面元上的电流强度，即单位时间内（1秒钟）从dS上流出的电量。

二、电荷守恒定律的数学表达式 　　　　　是闭合面S上的电流强度，即单位时间内从S上（由内向外）流出的电量。 就应该等于单位时间（1秒钟）内V内电量q 的减小量，即q 的减小率。

二、电荷守恒定律的数学表达式 从数学上来讲　　是q 的增加率，它和减小率的关系是数值相等，符号相反。

二、电荷守恒定律的数学表达式 而

二、电荷守恒定律的数学表达式 求导过程说明： （1）V 与t 无关，因而V不用对t求导。 （2） 因而对t 求导时，只求偏导数

二、电荷守恒定律的数学表达式 称为电流的连续性方程，这是电荷守恒定律的微分形式。

二、电荷守恒定律的数学表达式 讨论： （1）若　　　 ，即电荷的体密度在增大， 表示该点有吸收通量之负源，有电流线会聚，对闭合面来说，有电流线从面外穿入面里。

二、电荷守恒定律的数学表达式 （2）若　　　，即电荷的体密度在减小， 表示该点有散发通量之正源。有电流线散发，即有电流线从内向外穿出。 表示在全空间的总电荷守恒。

二、电荷守恒定律的数学表达式 在稳恒电流场中，一切物理量不随时间变化，因 而　　　　，因此得

二、电荷守恒定律的数学表达式 这表示稳恒电流的电流线是连续的，即穿入闭合面的电流线条数等于穿出闭合面的条数。或者说稳恒电流场（J 场）为无源场。其电流线为闭合曲线，没有发源点和终止点。

三、磁场 1、毕奥—萨伐尔定律

三、磁场

三、磁场 (2.8a)

三、磁场 2、磁场的环量与旋度

三、磁场 这是电流与磁场关系的积分形式。

三、磁场 (2.11) 这说明静磁场是有旋场。

三、磁场 3、磁场的散度 此式说明，磁感线是无头无尾的闭合曲线。它连续通过一点，不会中断，磁场是无源场。

三、磁场 4、说明 (2.11) (2.12) (1)静磁场是有旋无源场 磁场的散度方程和旋度方程各自从一个侧面反映了静磁场的性质

三、磁场 　　　　　，说明B 的散度处处为零，磁场为无源场。这说明不存在自由磁荷（磁单极），磁感线总是闭合的。 ，说明磁场是涡旋场，稳恒电流激发了静磁场。 （2）安培环路定理相当于静磁场的旋度方程

四、磁场旋度与散度公式的证明 1、磁场的散度的证明

四、磁场旋度与散度公式的证明

四、磁场旋度与散度公式的证明 所以 (2.13)

四、磁场旋度与散度公式的证明 2、磁场的旋度的证明

四、磁场旋度与散度公式的证明

四、磁场旋度与散度公式的证明 其中▽′是对x′的微分，▽是对x的微分。

四、磁场旋度与散度公式的证明 由 　　　　　　　　　　　 得

四、磁场旋度与散度公式的证明 由电流的连续性方程，在稳恒情况下

四、磁场旋度与散度公式的证明

四、磁场旋度与散度公式的证明 注意　　　　　　　　　 的条件是r ≠0。即 当r ≠0时，　　　　　，因此

四、磁场旋度与散度公式的证明 上式中的被积函数只有在x=x′（ 即r =0） 点上不为零。

四、磁场旋度与散度公式的证明 上式中的被积函数只有在x=x′ 即r =0 点上不为零。 利用公式

四、磁场旋度与散度公式的证明

四、磁场旋度与散度公式的证明 上式中的被积函数只有在x=x′ 即r =0 点上不为零。

四、磁场旋度与散度公式的证明 由图上可以看出，r =x-x′，它的方向由源点x′指向场点x，当小球很小时，它的方向沿半径指向球心，这与dS的方向正好相反，因此

四、磁场旋度与散度公式的证明

3、说明 四、磁场旋度与散度公式的证明 （1）磁场的微分方程是从毕奥—萨伐尔定律推出来的 ▽•B =0 在一般情况变化的磁场中也是成立的。而 只有在静磁场中成立。

四、磁场旋度与散度公式的证明 （2）从▽•B=0，可以看出磁场是无源场 从 可以看出，磁场为涡旋性质的场。 （3）要注意到磁场的旋度的局域性 例.书上P.18

五、安培力公式（安培定律） 　 实验指出，一个电流元I dl 在磁场中所受的力可以表之为 B是电流元所在处的外磁场，它不包含该电流元激发的磁场。

五、安培力公式（安培定律） 如果真空中有两个电流元 I1dl1＝J1dV1 I2dl2＝J2dV2 则电流元 J1dV1受到J2dV2的作用力为

五、安培力公式（安培定律） J2dV2受到的力为

五、安培力公式（安培定律） 由此可见 （1）电流元之间的相互作用力也服从平方反比定律 （2）电流元之间的作用力的方向不再具有有心性质

五、安培力公式（安培定律） （3）电流元之间的相互作用力一般不满足牛顿第三定律

五、安培力公式（安培定律） 　　可以证明，两个闭合稳恒电流回路之间的相互作用力满足牛顿第三定律。 F12=-F21 详见第一章习题10（P.47）

§3 麦克斯韦方程 法拉第电磁感应定律 位移电流 麦克斯韦方程组 电磁场 洛仑兹力的公式

§3 麦克斯韦方程 （1.8） （1.10） （2.13） （2.11）

（1）变化的磁场在它周围的空间激发电场（涡旋电场或感生电场）。 §3 麦克斯韦方程 （1）变化的磁场在它周围的空间激发电场（涡旋电场或感生电场）。 （2）变化的电场在它周围的空间激发磁场（麦克斯韦位移电流假设）。

一、法拉第电磁感应定律 1、法拉第电磁感应定律的内容 　　 闭合线圈中产生的感应电动势与通过线圈内部的磁通量对时间的变化率成正比。

2、麦克斯韦的第一个假说 一、法拉第电磁感应定律 E 为电动势（electromotive force，简称为EMF） 变化的磁场总是要在它周围的空间激发感生电场。

一、法拉第电磁感应定律 E感是单位正电荷受的感生电场力，即单位正电荷受的非静电力。 E感•dl 是单位正电荷移动dl 位移过程中，感生电场力所做的功，即单位正电荷移动dl 位移过程中，非静电力所做的功。

一、法拉第电磁感应定律 是单位正电荷沿闭合曲线L 移动一周，感生电场力所做的功，即把单位正电荷沿L 移动一周，非静电力所做的功。

一、法拉第电磁感应定律 根据电动势的定义

一、法拉第电磁感应定律 3、积分方向的约定 (1)dS的方向的确定 首先确定dS的方向，在选取dS的方向时，一定要使得计算出的磁通量为正，即n 的方向与B 的方向之间的夹角为锐角。

一、法拉第电磁感应定律 (2) L的绕行方向的规定 L 的绕行方向与n 的方向构成右手系。

一、法拉第电磁感应定律 4、法拉第电磁感应定律的微分形式 B=B（x，t）=B（x，y，z，t）

一、法拉第电磁感应定律 （3.3a） （1.10） E=E库+E感 （3.3）

5、说明 一、法拉第电磁感应定律 （1）由(3.3a)式可见，感生电场是有旋场 （2）电场E感不是由电荷激发的，而是变化的磁场激发的 （3）导线的存在显示了电场E感的存在。导线不存在时，只要有变化的磁场，E感照样存在。

二、位移电流 （2.5） （2.6） 说明恒定电流的电流线为闭合线。

二、位移电流 （2.11）

二、位移电流 （1）修改电荷守恒定律的表达式，使得（2.5）式与（2.11）式相适应。 （2）修改（2.11）式，使得它与电荷守恒定律相适应。

二、位移电流 方法是假定在电容器的内部存在一个位移电流的物理量JD ，叫做位移电流密度，它和传导电流J合起来构成闭合量，即 　　　　　▽•（J +JD）=0 （3.4)

二、位移电流 （3.5）

二、位移电流 由高斯定理得 得

二、位移电流 （3.8） （3.9）

二、位移电流 说明： （1）由　　　　　可以看出，位移电流本质上为变化的电场 （2）仅从（3.4）式，不足以把JD唯一的确定下来

三、麦克斯韦方程组 1、麦克斯韦方程组

三、麦克斯韦方程组 2、对方程的说明 （1）　　　　是普遍成立的 其中 E =E库+E感

三、麦克斯韦方程组 　 用电场线的语言来说，由　　　　可以看出，每单位电荷激发或会聚　　根电场线，似乎在任何情况下都如此。在迅变情况下，单位电荷发出的电场线的分布可能与静电场不一样，但是电场线的通量应该是一样的。电荷可以随时间变化，但它发出的电场线数也将随之改变。

三、麦克斯韦方程组 　 （2）　　　　 是普遍成立的 　　变化的磁场产生电场。 （3）▽•B=0，是普遍成立的

三、麦克斯韦方程组 两边求散度 由此可见▽•B与时间无关，也就是说在稳恒的情况下有▽•B=0，磁场发生变化以后仍有▽•B=0。因此▽•B≡0是普遍成立的。

三、麦克斯韦方程组 （4）引入了位移电流的假说，即变化的电场在空间激发磁场，在迅变的情况下也是成立的。

四、电磁场 1、电磁场是统一的场 　 并不是电场与磁场的简单叠加，尽管电磁场的能量等于电场能量与磁场能量之和。

2、变化的电场激发的磁场和电流的磁场都是右旋的 四、电磁场 2、变化的电场激发的磁场和电流的磁场都是右旋的 即B 的方向与　　　的方向构成右手系，而变化的磁场激发的电场是左旋的。

四、电磁场 3、电磁场可以独立于电荷、电流之外而存在

五、洛仑兹力的公式 在库仑定律中，静止电荷Q 受到的静电场力为 F=QE dF=ρEdV

对于带电粒子系统来说，如果一个粒子的电量为q，速度为v，则J 等于单位体积内的qv之和。即 五、洛仑兹力的公式 （3.11） 此式称为洛仑兹力密度公式。 对于带电粒子系统来说，如果一个粒子的电量为q，速度为v，则J 等于单位体积内的qv之和。即

五.洛仑兹力的公式 J=nqv （3.12） 此公式称为洛仑兹力公式。

五、洛仑兹力的公式 说明： （1）公式中的E 和B 是同一点上的总电场与总磁场，包括带电体自身在该点产生的场。 （2）洛仑兹力密度公式中的v 相对于观察者参考系的速度，而不是相对于场源的速度。

麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式，正确的反映了电磁场的运动规律以及它和带电物质相互作用的规律，成为电动力学的基础。 五、洛仑兹力的公式 麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式，正确的反映了电磁场的运动规律以及它和带电物质相互作用的规律，成为电动力学的基础。 其它的规律原则上都可以在该基础上结合其它理论推导出来。

三、麦克斯韦方程组

§4 介质的电磁性质 介质的概念 介质的极化（电场对介质的作用） 介质的磁化（磁场对介质的作用） 介质对电磁场的作用 介质中的麦克斯韦方程组

一、介质的概念 实物物质— 分子— 原子—

二、介质的极化（电场对介质的作用） 两类电介质 （1）无极分子电介质（正、负电荷重心重合) （2）有极分子电介质（正、负电荷重心不重合）

1、介质的极化 二、介质的极化（电场对介质的作用） 　　对于无极分子电介质来说，在没有外电场时，分子的正负电荷重心重合在一起，分子的电偶极矩为0，即 　　　　　　　　　p分子＝0

二、介质的极化（电场对介质的作用） ΔV内分子电矩的矢量和为0，即　　 一旦加上外电场， 电子位移极化。

二、介质的极化（电场对介质的作用） 对于有极分子电介质来说，在没有加外电场时，分子正、负电荷重心并不重合，每个分子的电矩不为0，即

二、介质的极化（电场对介质的作用） 在加上外电场之后，每个分子都受一力矩的作用。

二、介质的极化（电场对介质的作用）

二、介质的极化（电场对介质的作用） 2、极化强度矢量P 　　 单位体积内分子电矩的矢量和叫做极化强度，用符号P 表示。

3、ρP与P 关系 二、介质的极化（电场对介质的作用） 每一个分子的电偶极矩均为 p=ql 计算极化电荷总电量 P dS l

二、介质的极化（电场对介质的作用） 以dS 为底面，以p为轴，|l|为母线做一斜柱体，P与p的方向一致。斜柱体的体积为 　　　　dτ=dS·l cosθ 　　 ndτ=nlcosθdS 　nqlcosθdS=nql• dS=P •dS (4.2)

二、介质的极化（电场对介质的作用） （4.3）

4、σP与P 的关系 二、介质的极化 从ΔS1上穿出的正电荷的电量为 P1·dS1=-P1·ndS 从ΔS2上穿出的正电荷的电量为

P2·ndS - P1·ndS =( P2-P1)·ndS =(P2-P1)·dS 二、介质的极化（电场对介质的作用） 　 从侧面上穿出的电荷可忽略不计，则从柱面上 穿出的正电荷电量为 P2·ndS - P1·ndS =( P2-P1)·ndS =(P2-P1)·dS

二、介质的极化（电场对介质的作用） 留在柱体内的极化电荷为 -( P2-P1)·dS =-( P2-P1)·nΔS σP=-(P2-P1)·n (4.4) 其中n为交界面的单位法矢，由介质1指向质2

二、介质的极化（电场对介质的作用） 在电磁学书上 σP=(P2-P1)·n （4.4′） 式中n为交界面的单位法矢，且由介质2指向介质1。

三、介质的磁化（磁场对介质的作用） 分子电流都具有一定的磁矩。 m=ia=ian 这个磁矩是分子本身固有的，因此叫做固有磁矩。

三、介质的磁化（磁场对介质的作用） 1、介质的磁化 在没有加外磁场时，每一个分子的分子磁矩都不为零（mi≠0, ），然而在小体积元内分子磁矩的矢量和为零，即

三、介质的磁化（磁场对介质的作用） 1、介质的磁化 加上外磁场，分子磁矩受一磁力矩作用。 T=m×B

三、介质的磁化（磁场对介质的作用） 2、磁化强度矢量M 单位体积内分子磁矩的矢量和，叫做磁化强度。

三、介质的磁化（磁场对介质的作用） 3、JM 与M 之间的关系 计算S上的磁化电流 计算环绕L上的分子电流 计算环绕dl上的分子电流 n

三、介质的磁化（磁场对介质的作用） 3、JM 与M 之间的关系 设单位体积内有n个分子，则斜柱体内的分子数为 nacosθdl=na·dl

三、介质的磁化（磁场对介质的作用） 环绕dl的分子电流强度为 nia·dl=nm·dl=M·dl S上的磁化电流为

三、介质的磁化（磁场对介质的作用） 设S上的磁化电流密度为JM (4.14)

四、介质对电磁场的作用 1、介质对电场的作用　

四、介质对电磁场的作用 ε0 ∇ ·E =ρf+ρP (4.5) ρP=-∇·P 　　　　　 ∇·（ε0E+P）=ρf　　　　　(4.6)

四、介质对电磁场的作用 定义电位移矢量D，令 　　　 　　D=ε0E+P (4.7) 　　　　　　 ∇ ·D=ρf (4.8)

P= eε0E 即P（x）= eε0E（x） 称为介质的极化率。 四、介质对电磁场的作用 　 称为介质的极化率。

εr=1+ e 叫做相对介电常数（相对电容率） ε=εrε0 叫做介电常数（电容率） 四、介质对电磁场的作用 D =ε0E+ eε0E =(1+ e) ε0E =εrε0 E=εE (4.10) 式中 εr=1+ e 叫做相对介电常数（相对电容率） ε=εrε0 叫做介电常数（电容率）

四、介质对电磁场的作用 2、介质对磁场的影响 设正负电荷中心的带电量为±q，相距为x，则 pi=qi xi

四、介质对电磁场的作用

磁化电流JM 与极化电流JP 之和叫做介质内的总诱导电流 四、介质对电磁场的作用 它为电流密度的单位。记为J P （4.15） ▽×B = µ0J +μ0ε0 磁化电流JM 与极化电流JP 之和叫做介质内的总诱导电流

四、介质对电磁场的作用 （4.16）

四、介质对电磁场的作用 （4.17） (4.18) H 叫做磁场强度。 （4.19）

四、介质对电磁场的作用 实验表明：对于各向同性的非铁磁质，磁化强度M 和磁场强度H 之间有简单的线性关系。 M = H (4.20) 称为磁化率。

四、介质对电磁场的作用 （1+ ）µ0H = B B = (1+ )µ0H= µrµ0H= µH (4.21) µr = 1+ , µ = µrµ0 (4.22) µr称为相对磁导率，µ称为磁导率。 B = µH

五、介质中的麦克斯韦方程组 (4.23)

五、介质中的麦克斯韦方程组 D＝εE (4.24) B＝µH (4.25) J＝σE (4.26) 叫做介质的电磁性质方程。

§5 电磁场的边值关系 法向分量的跃变 切向分量的跃变

§5 电磁场的边值关系 E＝E0+E´ E1＝E0-E´<E0 E2＝E0+E´>E0

§5 电磁场的边值关系 （5.1） 上式中的Qf 、If 的分布不一定是连续的。

一、法向分量的跃变 D1·n1ΔS1+D2·n2ΔS2＝Qf ΔS1＝ΔS2＝ΔS

一、法向分量的跃变 D2n－D1n＝σf (5.5) 可见电位移矢量的法向分量在交界面上不连续。

一、法向分量的跃变 由 D＝ε0E+P 得 D2n＝ε0E2n+P2n D1n＝ε0E1n+P1n

一、法向分量的跃变 代入（5.5）式得 (ε0E2n－ε0E1n)+(P2n－ P1n)＝σf 由（4.4）式得 σP＝－n·(P2－P1)＝－(P2n－P1n) 所以 P2n－P1n＝－σP (5.4) 可见极化强度的法向分量不连续。

一、法向分量的跃变 D2n－D1n＝σf (5.5) P2n－P1n＝-σP (5.4) ε0（E2n－E1n）＝σf +σP (5.3) 可见电场强度矢量、极化强度矢量和电位移矢量的法向分量在两种介质的交界面上不连续。

一、法向分量的跃变 由上面的讨论可知：极化强度矢量的法向分量Pn的跃变与极化电荷的面密度有关，电位移矢量的法向分量Dn的跃变与自由电荷的面密度有关，电场强度的法向分量En的跃变与总电荷密度（σf +σP）有关。

n·(B2－B1)=0 B2n ＝ B1n (5.6) 一、法向分量的跃变 对于磁场B来说，由

二、切向分量的跃变 电流线密度α α的方向为正电荷的运动方向。α的大小等于通过与电流方向垂直的单位直线上的电流强度。即

二、切向分量的跃变 由 得通过与电流方向垂直的直线Δl上的电流强度为 ΔI＝αΔl (5.7)

二、切向分量的跃变

If＝(n×Δl)·αf ＝(αf×n)·Δl 二、切向分量的跃变 H1·(-t)Δl+H2·tΔl＝αfΔl H2t－H1t＝αf (5.8) Δl ＝Δlt If＝(n×Δl)·αf ＝(αf×n)·Δl

二、切向分量的跃变 (H2－H1)//＝αf×n 式中//表示投影到界面上的分量，即切向分量。上式两边同时左叉乘n 得 n×(H2－H1)//＝n×(αf×n) n×(H2－H1)//＝ n×(H2－H1) n×(H2－H1)＝n×(αf×n)

A×(B×C)＝(A·C)B－(A·B)C 得 n×(αf×n)＝（n·n）αf －(n·αf) n ＝αf 二、切向分量的跃变 由 A×(B×C)＝(A·C)B－(A·B)C 得 n×(αf×n)＝（n·n）αf －(n·αf) n ＝αf n×(H2－H1) ＝αf (5.9) 可见，在两种介质的交界面上，H 的切向分量有跃变。

二、切向分量的跃变 n×（E2－E1）＝0 n×（M2－M1）＝αM

二、切向分量的跃变 n×(E2－E1)＝0 n×(H2－H1)＝α n·(D2－D1)＝σ n·(B2－B1)＝0 n·(P2－P1)＝－σP n×(M2－M1)＝αM

§6 电磁场的能量和能流 场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 w 和S 的表达式 电磁场能量的传输

一、场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 1、能量密度w 　　电磁场单位体积内的能量叫做能量密度，用w表示，它是空间位置和时间的函数。即 w＝w（x.,t）

一、场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 2、能流密度(坡印廷矢量)S S在数值上等于单位时间内流过单位垂直截面上的能量，其方向代表能量传输的方向。 单位时间内从S 面流入的能量 　　＝单位时间内场对电荷做的功＋单位时间内V内电磁能量的增量

一、场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 如果场对电荷不做功，则单位时间内从S 面流入的能量全部变成场的能量，即 单位时间内从S面流入的能量＝V内电磁能的增加率

一、场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 S·dσ是单位时间内从dσ上穿出的能量。 是单位时间内从S上穿出的能量。 是单位时间内从S上穿入的能量。

一、场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 因为力与速度v的点乘积为功率。在体积为dV的小块中有电荷，这些电荷受到的力为 　　　　　　　 　　f dV 其中f 是力的密度，即单位体积中的电荷所受到电磁场的作用力。 　　　　　　 f＝ρE＋ρv×B

一、场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 设dV块的运动速度为v，则电磁场对它做的功的功率为 　　　　　　　f·v dV 电磁场对整个V内所有电荷做的功率为

一、场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 V内电磁场的总能量为 单位时间内的增量叫做增加率。即

一、场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 因而有 (6.1) 由奥－高公式得

一、场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 由（6.1）式得 （6.2） （6.3） 由此可见，场对电荷所做的总功率等于场的总能量的减少率，因此总能量守恒。

二、w 和S 的表达式 　　　　　f＝ρE＋ρv×B 　　　　f·v＝(ρE＋ρv×B)·v 　　　　　＝ρE·v＋0 　　　　　＝ρv·E 　　　　　＝J·E 　 　(6.4)

▽·（E×H）＝H·(▽×E)－E·(▽×H) 二、w 和S 的表达式 (6.5) ▽·（E×H）＝H·(▽×E)－E·(▽×H)

E·(▽×H)＝H·(▽×E)－▽ ·（E×H） ＝ 二、w 和S 的表达式 E·(▽×H)＝H·(▽×E)－▽ ·（E×H） 　　　　　＝

二、w 和S 的表达式 S＝E×H (6.8) 能流密度S也称为坡印廷矢量（Poynting）,它是电磁波传播问题中的一个重要物理量。 (6.9)

二、w 和S 的表达式 讨论： （1）在真空中 （6.10）

二、w 和S 的表达式

即电磁场的能量密度等于电场能量密度加上磁场能量密度。然而电磁场并不是电场与磁场的简单相加。 二、w 和S 的表达式 (6.10) 　 即电磁场的能量密度等于电场能量密度加上磁场能量密度。然而电磁场并不是电场与磁场的简单相加。

二、w 和S 的表达式 （2）介质内的电磁能量和能流

三、电磁场能量的传输 电子的电量为 　　　　　　e＝1.6×10-19库仑 如果电子的平均漂移速度为 ，则导线中的电流密度为

三、电磁场能量的传输 其中n为单位体积内的自由电子数，并把导线中的载流子当成正电子。值得说的是，在经典电子论中得到

三、电磁场能量的传输 一般情况下，金属导体中的n≈1029/m3。对于1A/mm2　的电流来说，J＝106A/m

三、电磁场能量的传输 　例：书上P.43