第三章 时域分析法

本章主要内容 3.1 典型输入信号 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 控制系统的稳定性 3.6 控制系统的误差分析

3.1 典型输入信号 阶跃函数 速度函数（斜坡函数） 加速度函数（抛物线函数） 脉冲函数 正弦函数

阶跃函数 R=常数 R=1时称为单位阶跃信号 r(t)=1(t) r(t)=u(t) 或 单位阶跃函数的拉氏变换

表征匀速信号 速度函数（斜坡函数） R=1时称为单位斜坡信号 r(t)=t 单位斜坡函数的拉氏变换

表征匀加速信号 加速度函数 R=1时称为单位抛物线函数 单位抛物线函数的拉氏变换

脉冲函数 单位脉冲信号 当 A=1, 单位脉冲函数的拉氏变换

正弦函数 正弦函数的拉氏变换

稳态响应： 时，系统的输出状态。 时间响应 系统在某一输入信号作用下，其输出量从初始状态到进入稳定状态前的响应过程。 瞬态响应：

3.2 一阶系统的时域分析 一阶系统的形式 闭环极点(特征根)：-1/T

一阶系统的单位阶跃响应 稳态分量 暂态分量

1）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴  2）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴  性质： 1）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴  2）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴  最终稳态输出值与输入值（信号）趋于一致，误差为零。 324324

(t0) 一阶系统的单位斜坡响应 性质： 1）经过足够长的时间，输出增长速率近似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后时间T； 暂态分量

一阶系统的单位脉冲响应 只包含瞬态分量

输入信号 拉氏变换 输出信号 阶跃 信号 斜坡 脉冲

此对应关系说明，系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数。或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。而积分常数由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性，不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。

3.3 二阶系统的时域分析 一、二阶系统传递函数的标准形式 阻尼比 无阻尼自然频率 系统的特征方程 闭环特征方程根（闭环极点）

过阻尼： 欠阻尼： 临界阻尼 无阻尼：

二阶系统的单位阶跃响应 欠阻尼：0< <1 过渡过程为衰减的振荡 (t0) 阻尼自然频率

(t0) 无稳态误差； 含有衰减的正弦振荡项: 其振幅衰减的快慢由x 和wn决定，衰减系数：xwn 衰减振荡的频率为wd ，

无阻尼：=0 (t0) 响应为无阻尼的等幅振荡 无阻尼自然频率 具有稳定边界

临界阻尼：=1 (t0) 系统包含两类瞬态衰减分量 单调上升，无振荡、 无超调、无稳态误差。

过阻尼：>1 (t0) 系统包含两类瞬态衰减分量 单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。

负阻尼（ <0） 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。 -1<ξ<0 ξ < -1 振荡发散 单调发散

（1）二阶系统的阻尼比ξ 决定了其振荡特性： 几点结论： （1）二阶系统的阻尼比ξ 决定了其振荡特性： ξ < 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； ξ = 0时，出现等幅振荡; 0<ξ<1时，有振荡，ξ 愈小，振荡愈严重，但响应愈快; ξ≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；

（2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速。 系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。

（3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0. 4~0 （3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。

二阶系统的单位脉冲响应 (t0) 欠阻尼：0< <1 无阻尼：=0 临界阻尼：=1 过阻尼：>1

二阶系统的单位斜坡响应 (t0) 欠阻尼：0< <1 无阻尼：=0 临界阻尼：=1 过阻尼：>1

二阶系统在跟踪单位速度函数时，稳态误差为 响应时间 超调量 0.4-0.8

在控制系统设计时，对开环放大倍数 K 取不同的值，可以得到不同的x和wn，从而改变稳态误差的大小。

二、二阶系统的性能指标 在许多实际情况中，评价控制系统动态性能的好坏，是通过系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应的特征量来表示的。 通常，希望二阶系统工作在 的欠阻尼状态下。 会造成系统瞬态响应的严重超调， 将使系统的响应变得缓慢。

瞬态指标定义： 最大超调量 稳态值的２％或５％ 上升时间 峰值时间 调整时间

二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标 上升时间 峰值时间 调整时间

最大超调量 （Mp） 振荡次数

瞬态指标性质： （1）二阶系统的动态性能由ωn和决定。 （2）增加 降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数N ； 系统快速性降低，tr、tp增加。 （3） 一定，ωn越大，系统响应快速性越好， tr、 tp、ts越小。 （4）Mp 、N 仅与有关，而tr、tp、ts与 、ωn有关，通常根据允许的最大超调量来确定 。 一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。

例：

3.4 高阶系统的时域分析 若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶系统。在控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统。从理论上讲，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的时域响应，然后按上述二阶系统的分析方法来确定系统的瞬态性能指标。但是，高阶系统的分布计算比较困难，同时，在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。因此，工程上通常把高阶系统适当地简化成低阶系统进行分析。下面简单地介绍高阶系统时域响应的确定方法及研究高阶系统性能的思路和途径。

设三阶系统的闭环传递函数 令输入信号 :

当 高阶系统的时域响应是由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。 二阶系统在单位阶跃信号作用下的输出信号为

三阶系统和二阶系统输出比较： （1）两者的稳态分量是一样的，都等于1，这是因为两个系统的输入信号相同。 （2）两者都有正弦（余弦）衰减项。这是因为三阶系统与二阶系统都有一对共轭复数闭环极点； （3）三阶系统的输出响应比二阶系统的输出响应多一项指数衰减项 。 因为 ，对三阶系统动态响应的影响是：使 减小，使 增加。

三阶系统有三个闭环极点： 是一对共轭复数极点, 与二阶系统相同 实部表达了闭环极点距离虚轴的距离。 一个负实数极点 实部 实部表达了闭环极点距离虚轴的距离。 反映了它们距[s]平面上虚轴的远近程度的比值.

衰减得慢，所以负实数极点对c(t)影响大． 相对来说衰减得太快 　　　在动态响应中起主导作用，使c(t)的形状发生质变—不振荡或以指数规律为基准进行振荡，即c(t)曲线无超调量。

衰减得快，所以对c(t)影响小． 相对来说衰减得太慢 　　　正弦衰减项在动态响应中起主导作用．

因为 时，指数衰减项 在只由 （即二阶系统）引起的阶跃响应的上升时间之内就衰减完了。 三阶系统已变成二阶系统 相对来讲衰减非常快 三阶系统就可近似地看作是二阶系统 因为　　　时，指数衰减项　　在只由　　（即二阶系统）引起的阶跃响应的上升时间之内就衰减完了。

控制系统动态响应中的暂态分量是由闭环极点造成的 控制系统动态响应中的暂态分量是由闭环极点造成的.一个稳定的高阶系统，如有个n闭环极点，则c(t)动态响应中就有n项暂态分量。这n项暂态分量对c(t)动态响应的影响如何，主要看造成该项暂态分量的闭环极点距离虚轴的远近程度。 若距虚轴较远的闭环极点的实部与距虚轴最近的闭环极点的实部的比值大于或等于5，且在距离虚轴最近的闭环极点附近不存在闭环零点, 这时离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态特性起主导作用，称之为闭环主导极点，它常以一对共轭复数极点的形式出现。

闭环零点只影响响应中暂态分量的系数，即影响暂态分量衰减的初始值，不影响暂态分量中 结论： （１）控制系统动态响应的类型取决于闭环极点，而过渡过程的具体形状由闭环极点、闭环零点共同决定。 （２）闭环零点的作用还表现在使过渡过程的峰值时间缩短，提高系统对控制信号的快速性，且零点越靠近虚轴，上述作用便越大。但若零点离虚轴太近，将导致超调量s%增大，使系统的阻尼性能变坏。因此在配置闭环零点时，要很好地解决tp与s%之间的矛盾。 （３）闭环零点和极点，当它们彼此靠得很近时，它们对系统的动态响应的影响将互相抵消。

3.5 控制系统的稳定性 一、稳定的概念和定义 所谓自动控制系统的稳定性，就是系统能够抵抗使它偏离稳定状态的扰动作用，重新返回原来稳态的性能，即在去掉作用于系统上的扰动之后，系统能够以足够精确的程度恢复初始平衡状态。 稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。

稳定与不稳定系统的示例 图1为稳定的系统。 图2为不稳定系统。 A f 图2 不稳定系统 图1 摆运动示意图 图3 小范围稳定系统 d f c A 图1为稳定的系统。 图2为不稳定系统。 图3，小球超出了C、D范围后系统就不再是线性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。

闭环极点分布与动态响应关系

二.稳定的充要条件 　线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征 方程的所有根均具有负实部，或者说闭环传递函数的所有 极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。 一般方法：解出全部特征根，判断特征根在[s]平面内位置． 判断稳定性 代数判据，频率判据

三、劳斯－霍维兹稳定判据 为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。但是，这种求解系统特征方程的方法，对低阶系统尚可以进行，而对高阶系统，将会遇到较大的困难。因此，人们希望寻求一种不需要求解的特征方程而能判别系统稳定性的间接方法－－劳斯－霍维兹判据 劳斯－霍维兹判据利用特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部特征根具有负实部的条件，以此作为判别系统是否稳定的依据，因此，这种判据又称为代数稳定判据。

若该方程的特征根为pi（1,2,….n）,该n个根可以是实数也可以是复数，则 1、稳定的必要条件 设系统的特征方程为 若该方程的特征根为pi（1,2,….n）,该n个根可以是实数也可以是复数，则 将上式展开 ……

系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正。 　如果特征方程的根 都具有负实部，则所有系数 大于零。 系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正。 根据必要条件，在判别系统的稳定性时，可事先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。但是，当特征方程满足稳定的必要条件时，并不意味着系统一定是稳定的，为了进一步确定系统的稳定性，可以使用劳斯－霍维兹判据。

2、霍维兹判据 假定线性系统特征方程 为 霍维兹判据为 （1）系统的特征方程式的各项系数全部为正值，且不等于零； （2）霍维兹行列式中，各对角线行列式 都大于零。

霍维兹判据中的各阶行列式

[例] 设系统的特征方程式为 解： 因本例特征方程式为 即 其各项系数为正，又有 所以系统不稳定。 试用霍维兹判据判别该系统的稳定性。

3、 劳斯判据 设系统的特征方程为 利用方程各项系数构造劳斯表： … … … …

劳斯判据判断稳定性步骤： 应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺 序进行： 　应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺 序进行： 1、确定系统是否满足稳定的必要条件。当特征方程的系数不满足ai >0 (i=0,1,2,……n)时，系统是不稳定的。 2、当特征方程的系数满足ai >0 (i=0,1,2,……n)时，计算劳斯表。当劳斯表的第一列系数都大于零时，系统是稳定的。如果第一列出现小于零的系数，则系统是不稳定的。

[例] 设系统的特征方程式为 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解 因本例特征方程式为 即 其各项系数为正。

排出劳斯表： 由劳斯表的第一列看出，第一列中系数符号不全为正值，所以系统不稳定。另外，改变符号两次（从+1到-6再到+5），说明闭环系统有两个正实部的根，即在[s]右半面内有两个闭环极点。

[例] 已知控制系统的方框图如图所示，其中 试确定欲使系统稳定时值K的取值范围。 解 ：系统的闭环传递函数为 系统的特征方程为 欲满足稳定的必要条件，必须使K＞0。

要满足稳定的充分条件，必须使 及 因此，满足系统稳定的充分必要条件，其K值的取值范围为

劳斯稳定判据特殊情况处理： 　在运用劳斯稳定判据时，劳斯表有时会遇到下列两种特殊情况： （1）某行第一列的元素等于零，而另外有元素不等于零； （2）某行所有元素均为零。这种情况表明在[s]平面内存在一些大小相等符号相反的根（实根、共轭虚报或实部符号相异虚部数值相同的共轭复根）。

[例] 设系统的特征方程式为 负值 变化两次，含有两个具有正实部的根，系统不稳定。

[例] 设系统的特征方程式为 有共轭虚根 （各项乘以1/2） 行为系数构成辅助方程

辅助方程求导得到下一行系数。 　　由于系统有两对虚根，系统的暂态分量为等幅振荡，所以系统不稳定。

在系统的分析中，劳斯判据可以根据系统特征方程的系数来确定系统的稳定性，同时还能给出系统的某些参数的取值范围。但是，它的应用也具有一定的局限性，通常它只能提供系统绝对稳定性的结论，而不能指出系统是否具有满意的动态过程。此外，当系统不稳定时，它不能提供改善系统稳定性的方法和途径。

3.6 控制系统的误差分析 系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。 　　　系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。 　　　在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性 能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形成有 关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机 械的间隙、摩擦等因素有关。

系统的误差e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差。 一、稳态误差的定义 系统的误差e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差。 式中, cr(t)为系统输出量的希望值，c(t)为输出量的 实际值。 误差信号的稳态分量，被定义为稳态误差，记为ess(t) 理想环节

控制系统的偏差信号是 通常 系统的误差信号与偏差信号之间的关系为

二、稳态误差的计算 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差） 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差） 对于随动系统，给定输入变化，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。 对恒值系统，给定输入通常是不变的，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。

不计扰动输入的影响，求系统的给定稳态误差。 1、给定稳态误差 不计扰动输入的影响，求系统的给定稳态误差。 令 可直接用偏差信号 来表示系统的误差信号 。所以，系统的误差传递函数为 应用终值定理有

对于单位阶跃输入，R(s)=1/s, 求得系统的稳态误差为 单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入，R(s)=1/s, 求得系统的稳态误差为 令 称Kp为稳态位置误差系数。稳态误差可表示为 在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置稳态误差。

对于0型系统 对于1型系统（或高于1型的系统）

　　可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大, 　　越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。 　对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。

单位斜坡输入时的稳态误差 对于单位斜坡输入 ，系统的稳态误差为 稳态速度误差系数

对于0型系统， 对于Ⅰ型系统，

　对于2型系统（或高于2型的系统）， 在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为 ，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需 ，也即系统必须有足够积分环节。

单位抛物线输入时的稳态误差 对于单位抛物线输入 ，此时系统的稳态误差为 称Ka为稳态加速度误差系数。

对于０型系统 对于Ⅰ型系统

对于Ⅱ型系统 对于3型系统（或高于3型的系统）

以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和Ⅰ型系统的稳态误差为 ，Ⅱ型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。

在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如表所示。 III 系统类别 静态误差系数 阶跃输入 斜坡输入r(t)=R t 加速度输入 I II

　若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为 　则系统的总稳态误差为 　综上所述，稳态误差系数Kp、Kv和Ka描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法。提高开环放大系数 K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。

例: 设图所示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。 解:由图求得系统的特征方程为 R(s) - C(s)

由特征方程列劳斯表 2 1+0.5K 3 K 要使系统稳定，必须 K >0, 3(1+0.5K)－2K >0 解得 K >0，K< 6 所以，当0< K< 6时，系统是稳定的。 由图可知，系统的开环传递函数为 系统的稳态误差系数分别为 K

所以，系统的稳态误差为 上述结果表明，系统的稳态误差与K成反比，K值越大，稳态误差越小，但K值的增大受到稳定性的限制，当K >6时，系统将不稳定。

2、扰动稳态误差 扰动不可避免 扰动稳态误差 负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。 系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。 扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。

R(s) - B(s) + N(s) C(s) 扰动输入引起的误差为 而此时系统的输出为 扰动输入作用下系统的误差传递函数

系统的稳态误差为 例 设控制系统如图所示，其中 给定输入 ，扰动输入 （Rr和Rn均为常数），试求系统的稳态误差。

- 解 当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。 令n(t)=0，求得给定输入作用下的误差传递函数为 所以给定稳态误差为 - + N(s) C(s) R(s)

令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为 所以扰动稳态误差为 r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。 由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大系数（即K1），可以减小系统的扰动稳态误差。

该系统总的稳态误差为 为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们 假设图中 给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出， 即

系统总的稳态误差为 若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。 若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前的积分环节才起作用。 因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前。

三、减小或消除稳态误差的方法 为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定。 为了进一步减小系统稳态误差，可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量，加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。

1、按给定输入的顺馈补偿 为了消除由r(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量 ，经补偿装置对系统进行开环控制。

系统误差信号的拉氏变换式为 显然，如果选择补偿装置的传递函数为 则系统的给定稳态误差为零。

2、按干扰输入的顺馈补偿 为了消除由n(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置Gc(s)加到系统中，若设r(t)=0，则系统的输出C(s)就是系统的误差信号。输出的拉氏变换式为 经整理得 R(s) N(s) E(s) - + C(s) A 显然，如果选择补偿装置 的传递函数为

说明： 顺馈补偿实际上是应用开环控制方法去补偿扰动信号的影响，所以它不改变反馈系统的特性（如稳定性）。 对补偿装置的参数要求有较高的稳定性，否则削弱补偿效果。 由于顺馈补偿的存在，可降低对反馈系统的要求，因可测干扰由顺馈完全或近似补偿，由其他干扰引起的误差可由反馈系统予以消除。

四、动态误差系数 计算稳态误差的方法，只是根据终值定理求得稳态误差值，且静态误差系数的一个明显特点，是对于一个给定系统所求得的稳态误差可能是一个有限值，或者是零，或者是无穷大，所以误差随时间的变化规律不能求出。而研究动态误差系数就可能提供一些关于误差随时间变化的信息，即系统在给定输入作用下进入稳态后，其稳态误差随时间变化的规律。

设有单位反馈系统，其误差传递函数为

动态加速度误差系数 动态位置误差系数 动态速度误差系数 用终值定理，可求得系统的稳态误差为

如果已知各动态误差系数和输入信号的各阶导数，即可求出 时误差的变化规律。

[例]有两个单位反馈系统，其开环传递函数分别为 按静态误差系数分析时，两个系统的静态误差系数是相同的，即

当 时，两个系统在单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位加速度信号下的稳态误差分别为

按动态误差系数来分析 其误差传递函数为

对于0型系统，当系统的输入为速度或加速度信号时，稳态误差是随着时间的增加而增加的。

第三章 结 束 谢 谢！