第十一章 无穷级数 返回
一、主要内容
幂级数 三角级数 泰勒展开式 傅氏展开式 泰勒级数 傅氏级数 数或函数 常数项级数 函数项级数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 任 意 收 敛 半 径 R 幂级数 三角级数 泰勒展开式 傅氏展开式 满足狄 氏条件 泰勒级数 傅氏级数 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 数 数或函数 函 数
1、常数项级数 定义 级数的部分和 级数的收敛与发散
收敛级数的基本性质 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件:
常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 一般项级数 1. 2. 3.按基本性质; 4.充要条件 4.绝对收敛 5.比较法 5.交错级数 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 一般项级数
2、正项级数及其审敛法 定义 审敛法 (1) 比较审敛法
(2) 比较审敛法的极限形式
3、交错级数及其审敛法 定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
4、任意项级数及其审敛法 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
5、函数项级数 (1) 定义 (2) 收敛点与收敛域
(3) 和函数
6、幂级数 (1) 定义
(2) 收敛性
推论
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
(3)幂级数的运算 a.代数运算性质: 加减法 (其中
乘法 (其中 除法
b.和函数的分析运算性质:
7、幂级数展开式 (1) 定义
(2) 充要条件 (3) 唯一性
(3) 展开方法 a.直接法(泰勒级数法) 步骤: b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
(5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式
8、傅里叶级数 (1) 三角函数系 三角函数系
(2) 傅里叶级数 定义 三角级数
其中 称为傅里叶级数.
(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
(4) 正弦级数与余弦级数
(5) 周期的延拓 奇延拓:
偶延拓:
二、典型例题
例1 判断下列级数的敛散性 解 四、例题解析-例1-1
解 四、例题解析-例1-2
解 四、例题解析-例1-3
解 四、例题解析-例1-4
解 四、例题解析-例1-5
解 四、例题解析-例1-6
例2 判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？ 解 四、例题解析-例2-1
解 四、例题解析-例2-2
解 四、例题解析-例3
解 四、例题解析-例4-1
四、例题解析-例4-2
解 四、例题解析-例5
解 四、例题解析-例6
一、幂级数 1.会求收敛半径，收敛区间 一、幂级数-1
2.幂级数的求和 一、幂级数-2
例1.求下列各幂级数的收敛域 解 ∴收敛半径为 所以原级数在（-2，2）收敛 发散 收敛 故：原级数的收敛域为 [-2，2）。 例1（1）
解 ∴收敛半径为 例1（2）— 1
∴收敛半径为 例1（2）— 2
例1（2）— 3
解 用比值法： 则 原级数收敛； 原级数发散； 发散； 故：原级数的收敛域为 例1（3）
解 用比值法： 则 原级数收敛； 原级数发散； 原级数绝对收敛； 故：原级数的收敛域为 例1（4）
例2 (1) 解 两边逐项积分 例2（1）—1
例2（1）—2
解 两边逐项求导 例2（2）—1
两边同时积分， 例2（2）—2
解 由上题结论，有 （*） 例2（3）—1
例3 解 例3(1)-1
例3(1)-2
解 例3(2)-1
例3(2)-2
解 例3(3)-1
例3(3)-2
解 Y -2 -1 1 2 X O 例4-1
X Y O 1 -1 2 例4-2
解 例5-1
三、巩固练习
巩固练习题答案
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