第三章 随机事件的概率

§1 古典概型 概率的古典定义

1. 定义

2. 古典概型中事件概率的计算公式 设试验 E 的基本空间由n 个基本事件构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个基本事件，则事 称此为概率的古典定义.

3. 性质： 两个互斥事件A与B的和事件的 概率，等于事件A与事件B的概率之和。 定理： 即：

4. 古典概型的基本模型:摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 4. 古典概型的基本模型:摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为

(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 第3次摸到红球 4种 6种 第2次摸到黑球 第1次摸到黑球 6种 第2次摸球 10种 第3次摸球 10种 第1次摸球 10种

基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率. 2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.

4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型 (1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球. 4个球放到3个杯子的所有放法

因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为

(2) 每个杯子只能放一个球 问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为

课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率. 2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.

典型例题 解

解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有 于是所求的概率为

例3 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是 多少 ? 解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”，则所求概率为

于是所求概率为

例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数: (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有

因此所求概率为 (2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 因此所求概率为

例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 2 3 4 12 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 故一周内接待 12 次来访共有

1 2 3 4 12 2 周一 周二 周二 周三 周四 周四 周五 周六 周日 12 次接待都是在周二和周四进行的共有 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.

例6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为 故64 个人中至少有2人生日相同的概率为

说明

我们利用软件包进行数值计算.

§2 几何概率

定义 当随机试验的基本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型.

会面问题 例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 那么 两人会面的充要条件为

若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 故所求的概率为

例2 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆 车. 求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的时 刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到 2 时的任何时刻到达车 站是等可能的.

解 设 x, y 分别为 甲、乙两人到达的时刻, 则有 见车就乘 的概率为

最多等一辆车,甲、乙 同乘一车的概率为

蒲丰投针试验 例3 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直 蒲丰资料 例3　1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( b<a )的针,试求 针与某一平行直线相交的概率. 解

　　由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.

蒲丰投针试验的应用及意义

历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1) 3.1795 859 2520 0.5419 1925 Reina 3.1415929 1808 3408 0.83 1901 Lazzerini 3.1595 489 1030 0.75 1884 Fox 3.137 382 600 1.0 1860 De Morgan 3.1554 1218 3204 0.6 1855 Smith 3.1596 2532 5000 0.8 1850 Wolf 相交次数 投掷次数 针长 时间 试验者

利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟. 单击图形播放/暂停 ESC键退出