材料力学 刘鸿文主编(第5版) 高等教育出版社 教师：朱林利，副教授， llzhu@zju.edu.cn 航空航天学院 应用力学研究所 助教：邬开，838325268@qq.com 作业、课件等相关信息网址： http://mypage.zju.edu.cn/mmllzhu/ 目录

夏学期作业14： 13.31、13.33 14.4ac、14.5c

知识要点回顾 卡氏定理 功的互等定理 卡氏定理应用

莫尔积分图乘法

因为 是由单位力或单位力 偶引起的弯矩, 故沿杆长方向的 图一般是由直线或折线组 成. M(x)图一般是曲线. M(x) c dA Mc M 因为 是由单位力或单位力 偶引起的弯矩, 故沿杆长方向的 图一般是由直线或折线组 成. M(x)图一般是曲线. M(x) M M(x) c x dx xc dA M Mc M(x) l

设在杆长为 l 的一段内M(x)图是曲线 ω M(x)是直线， 设直线方程是 为 l 段内图 M(x) 的面积ω C xc x l M(x)

为图M(x)对 y 轴坐标的静矩 ω C 为图M(x)的形心，xc 为其坐标 是和 M(x) 图的形心对应处的 M(x) 的值. xc C l x

即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x) 图形心C对应的 的乘积来代替 Mc 对于等直杆有 M(x) xc C 即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x) 图形心C对应的 的乘积来代替 Mc x 当M图为正弯矩时， ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号. l x 也应按弯矩符号给以正负号. Mc

几中常见图形的面积和形心的计算公式 a b 顶点 h C C h l l 三角形 二次抛物线

h h c c 顶点 顶点 3l/4 l/4 l l N 次抛物线 二次抛物线

注意 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 有时M(x)图为连续光滑曲线，而 为折线，则应以 M(x) 然后求其和.

例18 均布荷载作用下的简支梁，其 EI 为常数. 求跨中点的挠度. q F 以 图的转折点为界，分两段使用图乘法. M(x) A B C l/2 C1 C2 F A B C l/2 以 图的转折点为界，分两段使用图乘法. M(x)

A B C q l/2 C1 C2 F A B C l/2

例20 图示开口刚架，EI=const. 求A和B两截面的相对角位移 θAB 和沿F力作用线方向的相对线位移 ΔAB .

Fa/2 F 解： a/2 B a A F Fa/2 Fa/2 a/2 1 A a/2 a/2

例21 图示刚架，EI=const. 求A截面的水平位移 ΔAH 和转角θA . q a a B

1 B A a 解： 1 B A a q B A a 1 1 qa/2 qa 1 qa/2 1 1 qa2/2 a 1 qa2/2 a

(Principle of virtual work) §13-7 虚功原理 (Principle of virtual work) 一、虚功原理 (Principle of virtual work) 质点和质点系的虚位移原理：质点和质点系处于平衡状态的 充要条件是，作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零. 作用在杆件上的力分为外力和内力 外力：荷载和支座反力 内力：截面上各部分间的相互作用力 对于处于平衡状态的杆件，其外力和内力对任意给定的虚位 移所作的总虚功等于零.

外力虚功 内力虚功 杆件的约束条件：  支座约束条件  各单元体变形的几何相容条件 杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件， 且为微小量，即符合虚位移的基本要求. 所以，可以把杆件 由荷载作用产生的 微小实位移 当作虚位移.

(一) 梁的外力虚功 梁上荷载： RA RB F4 F1 F2 F3 F1， F2， F3， F4， RA， RB 给梁任一虚位移，荷载作 (一) 梁的外力虚功 梁上荷载： RA RB F4 F1 F2 F3 F1， F2， F3， F4， RA， RB 给梁任一虚位移，荷载作 用点沿其作用方向的相应 虚位移（支座处没有虚位 移）为 A B 1 2 3 4 l 1， 2， 3， 4 外力虚功为

F4 F1 F2 F3 RA RB (二) 梁的内力虚功 弯矩虚功 M M+dM Q+dQ M Q M+dM （受拉） dx A B l (二) 梁的内力虚功 dx 弯矩虚功 M M+dM Q+dQ M dx dx Q M+dM （受拉）

F4 F1 F2 F3 RA A l RB B dx 剪力虚功 dx Q M Q+dQ M+dM dx

(1) 该微段的外力虚功 M，Q 应看作该微段的外力 该微段的外力虚功为（略去二阶小量）

(2) 该微段的内力虚功 dWi 由该微段的虚位移原理 (3) 梁的内力虚功 梁的虚位移原理为

若横截面上不仅有弯矩 M 和剪力 Q， 还有轴力 FN 和扭矩 Mn，则杆的虚位移原理为  i 为 Fi 力作用点沿Fi方向的相应虚位移，d，d，d ， d 分别为与弯矩M ，剪力Q，轴力FN 和扭矩 Mn相对应虚 位移；  虚位移原理既不限定于线性问题，也不限定于弹性问题.

第十四章 静不定结构 Chapter14 Statically Indeterminate Structure

(Chapter 14 Statically Indeterminate Structure) 第十四章 静不定结构 (Chapter 14 Statically Indeterminate Structure) §14-1 静不定结构概述(Instruction about statically indeterminate structure) §14-2 用力法解静不定结构(Solving statically indeterminate structure by force method) §14-3 对称及反对称性质的应用 (Application about symmetrical and antisymmetrical properties )

§14-1 静不定结构概述 （Instruction about Statically indeterminate structure） 在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的数目为结构的静不定次数（degree of statically indeterminate）.

（Classification for statically indeterminate） 二、静不定问题分类 （Classification for statically indeterminate） 第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的,可称为外力静不定系统; 第二类:仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不定的,可称为内力静不定系统; 第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力是静不定的,也称联合静不定结构.

判断下列结构属于哪类超静定 （a） （c） （b） （d） （e） （f） 外力超静定 内力超静定 混合超静定 外力超静定 内力超静定

三、工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering） 在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提高构件的承载能力 . 塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?

在铣床上洗削工件时，为 用车床加工细长轴时，经常 防止工件的移动并减小其变形 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成系统 用车床加工细长轴时，经常 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 减少其变形。卡盘和辅助支撑 构成超静定系统。

（Determine the degree of statically indeterminacy） 四、超静定次数的判定 （Determine the degree of statically indeterminacy） （1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差即为结构的超静定次数； （2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力超静定;平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍的节点数. 五、分析方法（Analytical method） 1.力法（Force method）:以未知力为基本未知量的求解方法; 2.位移法（Displacement method）:以未知位移为基本未知量的求解方法.

（Solving statically indeterminate structure §14-2 用力法解静不定结构 （Solving statically indeterminate structure by force method） 一、力法的求解过程（Basic procedure for force method） 1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3···代替多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”; 2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力; 4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.