第十二章 分离变量法 本章中心内容 本章基本要求 用分离变量法求解各种有界问题； 掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题

第十二章 分离变量法 问题的引入 (1) (2) (3) 行波法 达朗贝尔公式

前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制．本章介绍的分离变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法． 其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题．

第十二章 分离变量法 本章中心内容 本章基本要求 用分离变量法求解各种有界问题； 掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题

掌握求解非齐次方程的本征函数展开法 掌握将非齐次边界条件齐次化的方法 着重掌握在柱、球坐标系中对 和 分离变量会得到哪些特殊函数微分方程

12.1 分离变量理论 12.1.1 偏微分方程变量分离及条件 具备什么条件？ 对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程 （12.1.1） 对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件？ 对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程 （12.1.1）

通过适当的自变量变换转化为下列标准形式： (12.1.2) 根据方程(12.1.2)类型直接可知： 方程是双曲型的 它是抛物型的 它是椭圆型的

其中 假设 （12.1.2）的解有下列分离的形式 (12.1.3) 分别是单个变量的二次可微函数。 代入 (12.1.2)即有 (12.1.4)

讨论: 1. 常系数偏微分方程 若（12.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的 代表 ，将方程两边同 除以XY, 则

要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为 ，从而得到两个常微分方程

2. 变系数偏微分方程 对于变系数函数 ，假设存在某一个函数 ，使得方程除以 后变为可分离的形式

上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 ，从而得到两个常微分方程

由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的 函数才能实施变量分离．

12.1.2 边界条件可实施变量分离的条件 一维的情形（设在边界点 处），常见的 三类边界条件为 第一类边界条件 第二类边界条件

第三类边界条件 假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界 条件为齐次的：

求定解问题的不恒等于零的解 须 因此得 可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件．此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系．

12.2直角坐标系中的分离变量法 12.2.1 分离变量法介绍 例12.2.1：具体考虑长为 ，两端固定的均匀弦的自 由振动 泛定方程 泛定方程　 （12.2.１） 边界条件 （12.2.２） （12.2.３） 初始条件

【解】 用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤： 第一步：分离变量 变量分离形式的试探解 代入（12.2.１）和（12.2.２）

定解问题的泛定方程变为

要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t, 也不依赖于x的常数，不妨设常数为 要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t, 偏微分方程分离成两个常微分方程: (12.2.4) (12.2.5)

由齐次边界条件有 (12.2.6) 否则得零解，对于齐次微分方程是无意义． 我们所谓的求解是指的求出非零解 故得 （12.2.7）

注意： 第二步：求解本征值（或称为固有值）问题 边界条件是齐次的，才得出（12.2.７）这样简单的结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件． 第二步：求解本征值（或称为固有值）问题 （12.2.5） 上面推导的方程 （12.2.7）

定义： 本征值 不能任意取，只能根据边界条件（12.2.7）取某些特定值。 本征函数 不同 （12.2.5）所对应的解 本征值问题 不同 （12.2.5）所对应的解 本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题

附录: 二阶常系数微分方程： 特征方程： 根的三种情况： 得常系数微分方程的通解：

三种可能逐一加以分析 求解（12.2.5），将 （１） （12.2.5）的解为 和 由（12.2.７）确定，即有

由此解出 被排除 （２）、 方程（12.2.5）的解是

和 由（12.2.7）确定，即 解出 也被排除．

（３） （12.2.5）的解 和 由（12.2.7）确定，即 如 ，则仍然解出

只剩下一种可能性： （12.2.8） 与 对应的函数为 （12.2.9） （12.2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．

常数 的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作 本征函数．方程（12.2.5）和条件（12.2.7）则构成 本征值问题或固有值问题．

第三步：先求特解，再叠加求出通解 ，由方程（12.2.4）求出相应的 对于每一个本征值 方程的解： 其中 和 是待定常数． （12.2.10） 方程的解： （12.2.11） 其中 和 是待定常数．

（12.2.9）和（12.2.11）代入到解 得到变量分离形式的特解 （12.2.12）

线性叠加后的解 （12.2.13） 这就是满足(12.2.1)和条件（12.2.2）的通解

第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 初始条件(12.2.3)确定叠加系数 （12.2.14）

可确定待定系数: (12.2.15) 至此，定解问题（12.2.1）-(12.2.3)的解已经求出

注意： 分离变量法是有条件的，会受到一定的限制 (1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离 (2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式

12.2.2. 解的物理意义 特解 (12.2.12) 改写为 (12.2.16) 驻波叠加

振幅: 初位相: 频率: 波节: 波腹:

点数为2，3，4的驻波形状 图12.1

（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的． 于是我们也可以说解 是由一系列频率不同 （成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的． 所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相 的差异，由初始条件决定，而圆频率 与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．

中最小的一个 称为基频， 相应的 称为基波． 称为谐频， 相应的 称为谐波． 基波的作用往往最显著．

式中方程的分离．在直角坐标系中热传导方程为 2. 三维形式的直角坐标分离变量 具体以直角坐标系中的三维齐次热传导方程为例来说明三维形 式中方程的分离．在直角坐标系中热传导方程为 坐标变量和时间变量分离

从前面讨论的例子容易看出，分离变量的本征值通常是正数， 所以在上式中我们采用实数的平方形式来表示．得

上式即为亥姆霍兹方程． 又可以表成如下分离形式： 由于上式中函数的每一项都是单一自变量的函数． 而且彼此独立，因此只有当每一项分别等于某一任意的

分离常数时，上述等式才成立，于是，得到 其中 的分离方程，这些分离 上面三个方程，就是

　　方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合．若是有限区域的情形，这些分离方程还应配有相应的齐次边界条件，即构成本征值问题．在这种情况下，这些分离的常数 　应是一系列离散值（例如它们分别与一系列整数关），这些离散值即本征值；与此相应的解即本征函数，而时间部分的解为 因此，三维形式中热传导问题的完整解为

12.2.3直角坐标系分离变量例题分析 例12.2.2 研究定解问题： 　　　上面我们已经研究的例题12.2.1讨论的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题．下面讨论的例题12.2.2是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题；而例题12.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征值和本征函数的区别． 例12.2.2 研究定解问题：

【解】用分离变量法求解. 令

代入（12.2.17），(12.2.18)，得本征值问题 及 对本征值问题（12.2.22）­~（12.2.23）讨论： （ 1）若 ，则方程（12.2.22）的解为

待定常数和由边界条件（12.2.23）确定，即有 只能得到无意义的解 ，应该排出．

，则（12.2.22）的解为 (2) 若 只能得到无意义的解 由（12.2.23）得 ，应该排出 （3）若 ，则方程的解是 ， 由（12.2.23）则

且要得到非零解，只有 注意到 ．在 条件下， 可以是任意常数．条件 ，即 故得到本征值为 相应的本征函数是

系数B可以在求通解时考虑进去，故此将系数认为是 归一化的 . 代入（12.2.24）解得 由 叠加得

系数由定解条件确定 傅里叶展开式系数可确定为

例12.2.3 解下列两端自由棒的自由纵振动定解问题： 例12.2.3 解下列两端自由棒的自由纵振动定解问题： 鱼群探测换能器件或磁致伸缩换能器的核心是两端自 由的均匀杆，它作纵振动．即下列定解问题

【解】按照分离变量法的步骤，先以变量分离形式的试探解 代入（12.2.28），(12.2.29)得

求解（12.2.34）～（12.2.35）本征值问题，对 进行讨论 (1) 若 ,类同于前面的讨论，只能得到无意义的解； (2) 若 ，则方程（12.2.34）的解为

代入（7）得到 ，于是得到 ，否则得到无意义的零解．由于通解中还另有待定系数， 故可取归一化的本征函数 （3）若 ，方程(12.2.34)的解为 常数由（12.2.35）确定，即

由于 ，所以 如果 则得无意义的解 ；因此

于是 情况下的本征值． 这是 相应的（归一化的）本征函数是

从上面的讨论我们可以将本征值 和对应的本征函数统一为 将本征函数值代入到T的方程得到 当

其对应的解为 均为独立的任意常数． 其中 所以，原定解问题的形式解为

注意到上式正是傅里叶余弦级数的基本函数族． 所有本征振动的叠加得到通解 系数由初始条件确定．有

把右边的函数 展开为傅里叶余弦级数，然 后比较两边的系数，得到

例12.2．4 求边长分别为的长方体中的温度分布， 设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 【解】定解问题为： (12.2.36) 例12.2．4 求边长分别为的长方体中的温度分布， 设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 【解】定解问题为： (12.2.36) (12.2.37) (12.2.38) (12.2.39) (12.2.40)

(1) 时空变量的分离： 代入方程式，可得： (2) 空间变量的分离 ： 代入（12.2.41）式及（12.2.37）． 关于 的常微分方程及边界条件，构成本征值问题：

同时， 满足 （12.2.42） 再令 代入（12.2.42）式及（12.2.38）式可得另外两个本征值问题

和 (3) 求本征值问题 这三个本征值问题的本征值与本征函数分别为：

把（12.2.43）、（12.2.44）、（12.2.45）式的本征值相加， 得到关于 的本征值问题的本征值： （12.2.46） 再将上述三式写成 的本征函数：

(4) 求解关于 的常微分方程 ：将（12.2.46）式代入 中，可得通解： (5) 将所有的常微分方程的解叠加起来，代入初值有

其中， 14．3 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 例 12.3.1 物理模型：

带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度 是竖直的，方向向下．水平架设的输电线 处于这个静电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由于静 电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀 强的了，如图12.2所示．不过离圆柱“无远限远”处的静 电场仍保持为匀强的．现在研究导体圆柱怎样改变了 匀强静电场,求出柱外的电势分布．

解题分析：首先需要把这个物理问题表示 为定解问题．取圆柱的轴为Z轴．如果圆 柱“无限长”，那么，这个静电场的电场强 XY平面上加以研究就行了．图12.2画出了 XY平面上的静电场分布，圆柱面在 XY平 面的剖口是圆 其中 是圆柱的半径．

普拉斯方程 当作零，从而写出边界条件 柱外的空间中没有电荷，所以电势 满足二维的拉 （在圆柱外） 导体中的电荷既然不再移动，这说明导体中各处电势相同． 又因为电势只具有相对的意义，完全可以把导体的电势 当作零，从而写出边界条件

问题就在于求解定解问题（12.3.1）~（12.3.3） 在“无限远”处的静电场仍然保持为匀强的 由于选取了 轴平行于 ，所以在无限远处， 因而还有一个非齐次的边界条件 （12.3.3） 问题就在于求解定解问题（12.3.1）~（12.3.3）

【解】以变量分离形式的试探解 （12.3.4） 代入拉普拉斯方程（12.3.1），得 上式左边是 的函数，与 无关；右边是 的函数， 与 无关．两边只能取同一个常数

这就分解为两个常微分方程 （12.3.5） （12.3.6） 常微分方程（12.3.6）隐含着一个附加条件． 事实上，一个确定地点的极角可以加减 的整倍数，而电势 在确定的地点应具有确定数值，

这叫作自然的周期条件． 所以 ，即 ，即 常微分方程（12.3.5）与条件（12.3.7）构成本征值问题 读者容易求得方程(12.3.5)的解为