第十二章 分离变量法 本章中心内容 本章基本要求 用分离变量法求解各种有界问题; 掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
第十二章 分离变量法 问题的引入 (1) (2) (3) 行波法 达朗贝尔公式
前一章所讲的行波法,适用范围会受到一定限制.本章介绍的分离变量法(又称为本征函数展开法)是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法. 其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程,其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题.
第十二章 分离变量法 本章中心内容 本章基本要求 用分离变量法求解各种有界问题; 掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
掌握求解非齐次方程的本征函数展开法 掌握将非齐次边界条件齐次化的方法 着重掌握在柱、球坐标系中对 和 分离变量会得到哪些特殊函数微分方程
12.1 分离变量理论 12.1.1 偏微分方程变量分离及条件 具备什么条件? 对于任何二阶线性(齐次)偏微分方程 (12.1.1) 对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件? 对于任何二阶线性(齐次)偏微分方程 (12.1.1)
通过适当的自变量变换转化为下列标准形式: (12.1.2) 根据方程(12.1.2)类型直接可知: 方程是双曲型的 它是抛物型的 它是椭圆型的
其中 假设 (12.1.2)的解有下列分离的形式 (12.1.3) 分别是单个变量的二次可微函数。 代入 (12.1.2)即有 (12.1.4)
讨论: 1. 常系数偏微分方程 若(12.1.4)的系数均为常数,并分别用小写的 代表 ,将方程两边同 除以XY, 则
要等式恒成立,只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数,记为 ,从而得到两个常微分方程
2. 变系数偏微分方程 对于变系数函数 ,假设存在某一个函数 ,使得方程除以 后变为可分离的形式
上式要恒成立,只有它们均等于同一个常数,记为 ,从而得到两个常微分方程
由以上讨论知道:对于常系数二阶偏微分齐次方程,总是能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 需要满足一定的条件,即必须找到讨论2中适当的 函数才能实施变量分离.
12.1.2 边界条件可实施变量分离的条件 一维的情形(设在边界点 处),常见的 三类边界条件为 第一类边界条件 第二类边界条件
第三类边界条件 假设具体定解问题(以弦的横振动为例)的边界 条件为齐次的:
求定解问题的不恒等于零的解 须 因此得 可见,只有当边界条件是齐次的,方可分离出单变量未知函数的边界条件.此外,进行分离变量时,还须根据具体情况确定直角坐标系,球坐标系以及柱坐标系.
12.2直角坐标系中的分离变量法 12.2.1 分离变量法介绍 例12.2.1:具体考虑长为 ,两端固定的均匀弦的自 由振动 泛定方程 泛定方程 (12.2.1) 边界条件 (12.2.2) (12.2.3) 初始条件
【解】 用分离变量法求解定解问题,具体分如下四个步骤: 第一步:分离变量 变量分离形式的试探解 代入(12.2.1)和(12.2.2)
定解问题的泛定方程变为
要使等式恒成立,只能是它们等于一个既不依赖于t, 也不依赖于x的常数,不妨设常数为 要使等式恒成立,只能是它们等于一个既不依赖于t, 偏微分方程分离成两个常微分方程: (12.2.4) (12.2.5)
由齐次边界条件有 (12.2.6) 否则得零解,对于齐次微分方程是无意义. 我们所谓的求解是指的求出非零解 故得 (12.2.7)
注意: 第二步:求解本征值(或称为固有值)问题 边界条件是齐次的,才得出(12.2.7)这样简单的结论,而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件. 第二步:求解本征值(或称为固有值)问题 (12.2.5) 上面推导的方程 (12.2.7)
定义: 本征值 不能任意取,只能根据边界条件(12.2.7)取某些特定值。 本征函数 不同 (12.2.5)所对应的解 本征值问题 不同 (12.2.5)所对应的解 本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题
附录: 二阶常系数微分方程: 特征方程: 根的三种情况: 得常系数微分方程的通解:
三种可能逐一加以分析 求解(12.2.5),将 (1) (12.2.5)的解为 和 由(12.2.7)确定,即有
由此解出 被排除 (2)、 方程(12.2.5)的解是
和 由(12.2.7)确定,即 解出 也被排除.
(3) (12.2.5)的解 和 由(12.2.7)确定,即 如 ,则仍然解出
只剩下一种可能性: (12.2.8) 与 对应的函数为 (12.2.9) (12.2.9)正是傅里叶正弦级数的基本函数族.
常数 的这种特定数值叫作本征值,相应的解叫作 本征函数.方程(12.2.5)和条件(12.2.7)则构成 本征值问题或固有值问题.
第三步:先求特解,再叠加求出通解 ,由方程(12.2.4)求出相应的 对于每一个本征值 方程的解: 其中 和 是待定常数. (12.2.10) 方程的解: (12.2.11) 其中 和 是待定常数.
(12.2.9)和(12.2.11)代入到解 得到变量分离形式的特解 (12.2.12)
线性叠加后的解 (12.2.13) 这就是满足(12.2.1)和条件(12.2.2)的通解
第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 初始条件(12.2.3)确定叠加系数 (12.2.14)
可确定待定系数: (12.2.15) 至此,定解问题(12.2.1)-(12.2.3)的解已经求出
注意: 分离变量法是有条件的,会受到一定的限制 (1)第一个限制:变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离 (2)第二个限制:二阶线性偏微分方程的解, 不一定是分离变量的乘积形式
12.2.2. 解的物理意义 特解 (12.2.12) 改写为 (12.2.16) 驻波叠加
振幅: 初位相: 频率: 波节: 波腹:
点数为2,3,4的驻波形状 图12.1
(成倍增长)、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的. 于是我们也可以说解 是由一系列频率不同 (成倍增长)、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的. 所以分离变量法又称驻波法.各驻波振幅的大小和位相 的差异,由初始条件决定,而圆频率 与初始条件无关,所以也称为弦的本征频率.
中最小的一个 称为基频, 相应的 称为基波. 称为谐频, 相应的 称为谐波. 基波的作用往往最显著.
式中方程的分离.在直角坐标系中热传导方程为 2. 三维形式的直角坐标分离变量 具体以直角坐标系中的三维齐次热传导方程为例来说明三维形 式中方程的分离.在直角坐标系中热传导方程为 坐标变量和时间变量分离
从前面讨论的例子容易看出,分离变量的本征值通常是正数, 所以在上式中我们采用实数的平方形式来表示.得
上式即为亥姆霍兹方程. 又可以表成如下分离形式: 由于上式中函数的每一项都是单一自变量的函数. 而且彼此独立,因此只有当每一项分别等于某一任意的
分离常数时,上述等式才成立,于是,得到 其中 的分离方程,这些分离 上面三个方程,就是
方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合.若是有限区域的情形,这些分离方程还应配有相应的齐次边界条件,即构成本征值问题.在这种情况下,这些分离的常数 应是一系列离散值(例如它们分别与一系列整数关),这些离散值即本征值;与此相应的解即本征函数,而时间部分的解为 因此,三维形式中热传导问题的完整解为
12.2.3直角坐标系分离变量例题分析 例12.2.2 研究定解问题: 上面我们已经研究的例题12.2.1讨论的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题.下面讨论的例题12.2.2是既有第一类,也有第二类齐次边界条件的定解问题;而例题12.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的定解问题,注意到本征值和本征函数的区别. 例12.2.2 研究定解问题:
【解】用分离变量法求解. 令
代入(12.2.17),(12.2.18),得本征值问题 及 对本征值问题(12.2.22)~(12.2.23)讨论: ( 1)若 ,则方程(12.2.22)的解为
待定常数和由边界条件(12.2.23)确定,即有 只能得到无意义的解 ,应该排出.
,则(12.2.22)的解为 (2) 若 只能得到无意义的解 由(12.2.23)得 ,应该排出 (3)若 ,则方程的解是 , 由(12.2.23)则
且要得到非零解,只有 注意到 .在 条件下, 可以是任意常数.条件 ,即 故得到本征值为 相应的本征函数是
系数B可以在求通解时考虑进去,故此将系数认为是 归一化的 . 代入(12.2.24)解得 由 叠加得
系数由定解条件确定 傅里叶展开式系数可确定为
例12.2.3 解下列两端自由棒的自由纵振动定解问题: 例12.2.3 解下列两端自由棒的自由纵振动定解问题: 鱼群探测换能器件或磁致伸缩换能器的核心是两端自 由的均匀杆,它作纵振动.即下列定解问题
【解】按照分离变量法的步骤,先以变量分离形式的试探解 代入(12.2.28),(12.2.29)得
求解(12.2.34)~(12.2.35)本征值问题,对 进行讨论 (1) 若 ,类同于前面的讨论,只能得到无意义的解; (2) 若 ,则方程(12.2.34)的解为
代入(7)得到 ,于是得到 ,否则得到无意义的零解.由于通解中还另有待定系数, 故可取归一化的本征函数 (3)若 ,方程(12.2.34)的解为 常数由(12.2.35)确定,即
由于 ,所以 如果 则得无意义的解 ;因此
于是 情况下的本征值. 这是 相应的(归一化的)本征函数是
从上面的讨论我们可以将本征值 和对应的本征函数统一为 将本征函数值代入到T的方程得到 当
其对应的解为 均为独立的任意常数. 其中 所以,原定解问题的形式解为
注意到上式正是傅里叶余弦级数的基本函数族. 所有本征振动的叠加得到通解 系数由初始条件确定.有
把右边的函数 展开为傅里叶余弦级数,然 后比较两边的系数,得到
例12.2.4 求边长分别为的长方体中的温度分布, 设物体表面温度保持零度,初始温度分布为 【解】定解问题为: (12.2.36) 例12.2.4 求边长分别为的长方体中的温度分布, 设物体表面温度保持零度,初始温度分布为 【解】定解问题为: (12.2.36) (12.2.37) (12.2.38) (12.2.39) (12.2.40)
(1) 时空变量的分离: 代入方程式,可得: (2) 空间变量的分离 : 代入(12.2.41)式及(12.2.37). 关于 的常微分方程及边界条件,构成本征值问题:
同时, 满足 (12.2.42) 再令 代入(12.2.42)式及(12.2.38)式可得另外两个本征值问题
和 (3) 求本征值问题 这三个本征值问题的本征值与本征函数分别为:
把(12.2.43)、(12.2.44)、(12.2.45)式的本征值相加, 得到关于 的本征值问题的本征值: (12.2.46) 再将上述三式写成 的本征函数:
(4) 求解关于 的常微分方程 :将(12.2.46)式代入 中,可得通解: (5) 将所有的常微分方程的解叠加起来,代入初值有
其中, 14.3 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 例 12.3.1 物理模型:
带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度 是竖直的,方向向下.水平架设的输电线 处于这个静电场之中,输电线是导体圆柱,柱面由于静 电感应出现感应电荷,圆柱邻近的静电场也就不再是匀 强的了,如图12.2所示.不过离圆柱“无远限远”处的静 电场仍保持为匀强的.现在研究导体圆柱怎样改变了 匀强静电场,求出柱外的电势分布.
解题分析:首先需要把这个物理问题表示 为定解问题.取圆柱的轴为Z轴.如果圆 柱“无限长”,那么,这个静电场的电场强 XY平面上加以研究就行了.图12.2画出了 XY平面上的静电场分布,圆柱面在 XY平 面的剖口是圆 其中 是圆柱的半径.
普拉斯方程 当作零,从而写出边界条件 柱外的空间中没有电荷,所以电势 满足二维的拉 (在圆柱外) 导体中的电荷既然不再移动,这说明导体中各处电势相同. 又因为电势只具有相对的意义,完全可以把导体的电势 当作零,从而写出边界条件
问题就在于求解定解问题(12.3.1)~(12.3.3) 在“无限远”处的静电场仍然保持为匀强的 由于选取了 轴平行于 ,所以在无限远处, 因而还有一个非齐次的边界条件 (12.3.3) 问题就在于求解定解问题(12.3.1)~(12.3.3)
【解】以变量分离形式的试探解 (12.3.4) 代入拉普拉斯方程(12.3.1),得 上式左边是 的函数,与 无关;右边是 的函数, 与 无关.两边只能取同一个常数
这就分解为两个常微分方程 (12.3.5) (12.3.6) 常微分方程(12.3.6)隐含着一个附加条件. 事实上,一个确定地点的极角可以加减 的整倍数,而电势 在确定的地点应具有确定数值,
这叫作自然的周期条件. 所以 ,即 ,即 常微分方程(12.3.5)与条件(12.3.7)构成本征值问题 读者容易求得方程(12.3.5)的解为