第三章 扭转

第三章 扭 转 §3–1 概述 §3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 第三章 扭 转 §3–1 概述 §3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 §3–6 等直圆杆的扭转超静定问题

内容提要 重点、难点 扭矩与扭矩图 等直圆杆扭转时的应力与强度条件 等直圆杆扭转时的变形与刚度条件 扭矩与扭矩图 扭矩与扭矩图 等直圆杆扭转时的应力与强度条件 等直圆杆扭转时的变形与刚度条件 重点、难点 扭矩与扭矩图 圆轴扭转时的剪应力及强度条件 剪应力互等定理 圆轴扭转时的变形及刚度条件 扭转超静定问题

§ 3 - 1 概 述 一、工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。 M 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。 F M

3、机器中的传动轴工作时受扭。 M m 4、钻井中的钻杆工作时受扭。

二、扭转的概念 扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢表示符合右手 螺旋法则。 变形特点：轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴 线的相对转动。 A B O m  O B A 

扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。 m  O B A  以扭转变形为主的杆件  称为轴。

§3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图 1, 传动轴的外力偶矩 从动轮 主动轮 n m2 m1 m3

一传动轴，转速为 n转/min ，轴传递的功率由主动轮输入， 然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 Nk千瓦（kW)，则作用在该轮上的外力偶矩 m 可按以下方法求得。

_______________________________________________________ m——作用在轴上的力偶矩，( KN.m ) NK——轴传递的功率， (kW) P ——轴传递的功率， (PS) n——轴的转速 ( r/min )

11，扭矩和扭矩图 分析图示圆轴任一横截面 n—n上的内力。仍用 截面法。 n • 在n—n截面处假想将轴 截开取左侧为研究对象 • x x m • x 在n—n截面处假想将轴 截开取左侧为研究对象 m • x

n 横截面上的内力应是一个 力偶称为该横截面上 扭矩 • • 取右侧为研究对象 其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。 • x x m 横截面上的内力应是一个 力偶称为该横截面上 扭矩 • x m • x Mn 取右侧为研究对象 m • x 其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。 Mn

n m • x 扭矩符号的规定 右手螺旋法则：当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正， 反之为负。 m • x Mn m • x Mn

用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于 杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示 扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。 ①扭矩变化规律； ②| |max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。 目 的

例题：一传动轴如图所示，其转速 n = 300转/min ，主动轮输入的 功率为有N1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率， 三个从动轮输出的功率分别为N2 = 150 kW 、N3 = 150 kW 及N4 = 200 kW。试做扭矩图。 m4 A B C D m1 m2 m3 n

A B C D m1 m2 m3 n A B C D 解:计算外力偶矩

计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩 。假设 M n2为正值。 由平衡方程 (-) 结果为负号，说明M n2 应是负值扭矩 x B C D 2 计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩 。假设 M n2为正值。 B C x 由平衡方程 (-) 结果为负号，说明M n2 应是负值扭矩

注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号 相同。 1 3 同理，在 BC 段内 (-) A B C D 在 AD 段内 (+) 注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号 相同。

A B C D + 4.78 9.56 6.37 作出扭矩图 从图可见，最大扭矩 在 CA段内。

实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。 §3—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚 _______ ,r0：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。 1、实验：

圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。 2、变形规律： 圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量 。 4、定性分析横截面上的应力 （1） （2） 因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。 ⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。

_________________________________ 5、切应力的计算公式：  dα A0：平均半径所作圆的面积。 二、剪切胡克定律 在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。 _________________________________

____________________ G 称为材料的 剪变模量 。其单位是 Pa。 拉(压)，剪切弹性常数之间的关系 ____________________

思考题：指出下面图形的剪应变  2 剪应变为 剪应变为

(1) 在单元体左，右面（杆的横截面）上只有剪应力，其 方向于 y 轴平行。 三， 剪应力互等定理 (1) 在单元体左，右面（杆的横截面）上只有剪应力，其 方向于 y 轴平行。 x y dy dz a b d z dx c 由平衡方程 可知，两侧面的内力元素  dy dz 大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。

x y dy dz a b d z dx c 其矩为 ( dy dz) dx (2) 要满足平衡方程

x y dy dz a b d z dx c 在单元体的上，下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对 内力元素 它们组成的力偶，其矩为

x y dy dz a b d z dx c 此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx 数量相等而转向相反，从而可得

剪应力互等定理： y dz 单元体两个相互垂直平面上 x dy 的剪应力同时存在，且大小 相等，都指向（或背离）该 两平面的交线。 dx z a b d z dx c 剪应力互等定理： 单元体两个相互垂直平面上 的剪应力同时存在，且大小 相等，都指向（或背离）该 两平面的交线。

x y dy dz a b d z dx c 纯剪切应力状态： 单元体平面上只有剪应力 而无正应力，则称该单元 体为纯剪切应力状态。

§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件 ①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面 等直圆杆横截面应力 一、等直圆杆扭转实验观察： §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件 ①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面 等直圆杆横截面应力 一、等直圆杆扭转实验观察： 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。

____________________ 二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系： ____________________ ___________ 距圆心为  任一点处的与到圆心的距离成正比。 —— 扭转角沿长度方向变化率。

2. 物理关系： 胡克定律： 代入上式得： T ___________ t max t max

3. 静力学关系： T O dA  令 ___________ 代入物理关系式 得： ___________

—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。 4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。  —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。

单位：mm4，m4。 ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面： d D  O

对于空心圆截面： d D d  O

t t T T t t ④ 应力分布 max max max max （实心截面） （空心截面） ④ 应力分布 t t max max T T t t max max （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。

⑤ 确定最大剪应力： 由 知：当 Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。 ___________ 对于实心圆截面： 对于空心圆截面：

三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。

s t t t t t t x 1. 点M的应力单元体如图(b)： M 2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)： (a) a ´   (c) (d)

____________________________________ (d) s a n t ´   转角规定： 轴正向转至截面外法线 t a x 逆时针：为“+” 顺时针：为“–” 由平衡方程： t 解得： ____________________________________

s min t s max t 分析： 当 = 0°时， 当 = 45°时， 当 = – 45时， 当 = 90°时， 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 =  45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。 s 45° min t s ´ max t

四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： ([] 称为许用剪应力。) 对于等截面圆轴： 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：

例题： 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为 mA = 22 kN 例题： 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为 mA = 22 kN.m， mB = 36 kN.m ， mC =14 kN.m 。已知材料的许用剪应力[] = 80MPa，试校核该轴的强度。 A B C

解：作轴的扭矩图 A B C + 22 14 mA = 22 kN。m， mB = 36 kN。m mC =14 kN。m

A B C 分别校核两段轴的强度 + 22 14 因此，该轴满足强度要求。

§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 一、扭转时的变形 由公式 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 一、扭转时的变形 由公式 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为 _______________________________

二、单位扭转角 ： 或 _______________________________ GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 三、刚度条件 或 _______________________________ [ ]称为许用单位扭转角。

刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 有时，还可依据此条件进行选材。

， m2 = 955 N•m ， m3 = 637 N • m。截面 A与截面 B、C之间的 例题 ：图示传动轴系钢制实心圆截面轴 已知： m1 =1592 N • m 。 ， m2 = 955 N•m ， m3 = 637 N • m。截面 A与截面 B、C之间的 距离分别为 lAB = 300 mm 和 lAC = 500 mm。轴的直径d = 70 mm ，钢的剪变模量为 G = 80 GPa。试求截面 C 对截面 B 的对扭转角。 B C A 1 2

解法1 ：假设 A截面不动，先分别计算截面 B、C 对截 面 A 的相对扭转角φAB 和φAC 。 2 

B C A 1 2  与 转向同

B C A 1 2  与 转向同

1 2  C B A 截面 C 对截面 B 的相对扭转角 φBC 为 转向与 m3 相同

m1单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角φ BC1 ，先分别计算m1、m3 单独 作用下截面 C 对截面 B 的 相对扭转角φ BC1 和φBC2， 然后叠加，即采用叠加法。 A B C m1单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角φ BC1

m3 单独作用下截面 C 对 截面 B 的相对扭转角φBC2， A B C m3 C 截面对截面 B 的相对 扭转角 转向与m3同

解法 3 ：设截面 B 固定不动 mAC = - m3 mAB = m2 B A C lAB lAC mAC A mAB m3 m3 m2

m3 B A C lAB lAC m3 C mAC m2 A mAB 转向与 m3 同

例题 ： 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成， 钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩m=1.98KNm, 材料的许用剪应力 [] = 100MPa，剪变模量为 G = 80GPa ， 轴的许可扭角[] = 2 /m 。试校核轴的强度和刚度。 D d t m

D d t m 解：轴的扭矩等于轴传递的转矩 轴的内，外径之比

D d t m

由强度条件 由刚度条件

将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 max=96.1MPa 实心轴的直径为 d=47.2mm 实心轴的截面面积为 空心轴的截面面积为

两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的 横截面积之比， 在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴 轻，即节省材料。

§3–6 等直圆杆的扭转超静定问题 解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； ① 几何方程——变形协调方程； ② 物理方程； §3–6 等直圆杆的扭转超静定问题 解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； ① 几何方程——变形协调方程； ② 物理方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得； ③ 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 ④

[例]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0. 8 ，外径 D=0 [例]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。 解：①杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：

②几何方程——变形协调方程 ③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程： ④ 由平衡方程和补充方程得： 另:此题可由对称性直接求得结果。