9.7 直线和平面所成的角与二面角 1. 平 面 的 斜 线 和 平 面 所 成 的 角 X
一. 复 习 1. 线线角——异面直线所成的角 直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1∥a, b1∥b, 我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
2. 射 影 p 自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影； O 这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。 A B C 斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。 斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影； 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长 A C B O 射影长 定理 从平面外 一点向这个平面所引 的垂线段和斜线段中， （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长 （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长 （3）垂线段比任何一条斜线段都短
a b B A
A G F E D C B H HC与FG在平面ABCD上的射影分别是什么？ DC与BC FG与EA在平面ABCD上的射影分别是什么？ BC与A点 HC与EF在平面ABCD上的射影分别是什么？ DC与AB
三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 O a A P 三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
θ1 θ2 θ 二. 新 授 1. 线面角——平面的斜线和平面所成的角 二. 新 授 1. 线面角——平面的斜线和平面所成的角 AO是平面 的斜线，A是斜足，OB是平面 的垂线，B是垂足，AB是斜线在平面的射影，θ1 是斜线与射影所成的角.AD是平面 上任一过斜足A的直线 θ1 B A D θ1 ——∠OAB,简称斜射角（即线面角） θ2 ——∠BAD,简称射（射影）非（非射影）角 θ ——∠OAD,简称斜(线）非（非射影）角 θ1与θ的大小关系如何？ θ2与θ的大小关系如何？
最小角原理 θ1与θ的大小关系如何？ ∴θ1＜θ 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。 θ1与θ的大小关系如何？ 在Rt△OAB中， θ1 A B D 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。 C 在Rt △AOC中， ∵OB＜OC，∴sinθ1＜sin θ ∴θ1＜θ 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
平面的斜线和平面所成的角 直线和平面所成角的范围是[0，90]。 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角(即斜射角)，叫做这条直线和这个平面所成的角。 一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角。 直线和平面所成角的范围是[0，90]。
例题 求证：cos =cos cos 变式： 斜非角的余弦等于线面角的余弦与射非角余弦的积 O 例1.如图，OA是平面的斜线，OB⊥平面 于B，AC是 内不与AB重合的任意直线，∠OAB= ，∠BAC= ，∠OAC= ， 求证：cos =cos cos A B C 变式： 斜非角的余弦等于线面角的余弦与射非角余弦的积 ——线面角（斜射角）， ——射非角 ——斜非角
练习 A B O 如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？ 3. AB与平面斜交，B为斜足，AO与平面垂直，O为垂足，BD是内的直线， ∠ABD=60 ,∠OBD=45，求斜线AB和平面所成的角。 β A B O 4.已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，求斜线和平面β所成的角。 如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。 5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？ 如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？
6 4 1 1 6 4 例2.线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的余弦值。 N ∠MOM'就是MN与β所成的角 M N N' M' O 6 1 4 移出图 O β M N M' N' O M' M O N' N 6 1 4 移出图