数学实验 实验1 数学建模初步

§1.1 什么是数学建模 模型是人们为了一定的目的,对客观事物的某一部分进行 简缩、抽象、提练出来的原型的替代物，它集中反映了原型 中人们所需要的那一部分特征。 数学模型可以描述为：为了认识客观对象在数量方面的特征、定量的分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。 简而言之：为了定量地解决一个实际问题，从中抽象、归纳出来的数学表述。 我们所说的数学建模，包括模型的建立、求解、分析和 解释以及检验的全过程。

例、甲乙两地相距750km，船从甲地到乙地顺水航行需30小 时，从乙地到甲地逆水航行需50小时，问船的速度是多少？ 解. 设x，y分别表示船速和水速，列出方程 简化 现实对象 的信息 数学模型 验证 求解 求解得到 阐明 预测/解释 数学结论 上题包含了建立数学模型的基本内容： ⑴简化假设：航行中的船速和水速为常数； ⑵用符号代表有关的量 x代表船速，y代表水速； ⑶利用物理规律得到数学表述——二元一次方程； ⑷求解方程，得到 ⑸回答原问题，船速为20km/h； ⑹对于实际问题，以上结果必须用实际信息来检验。

作图 plot（v，d，‘ro’） grid on §1.2 数学建模的实例与数学实验方法 例1、汽车刹车距离. 汽车司机在行驶过程中发现前方出现突发事件,会紧急刹车.人们把从司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车行驶的距离,称为刹车距离. 现做了一组实验：用固定牌子的汽车,由同一司机驾驶,在不变的道路、气候条件下，对不同的车速测量其刹车距离，得到的数据如下表所示，试建立刹车距离与车速之间的数学模型. 车速km/h 20 40 60 80 100 120 140 刹车距离m 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118.0 153.5 问题分析: 作图 plot（v，d，‘ro’） grid on 刹车距离由反应距离和制动距离两部分构成；反应距离由反应时间和车速决定；制动距离与制动器的作用力、车重、车速及道路、气候等因素有关

d=k1v + k2 v2 模型假设： ⑴刹车距离d=反应距离+制动距离= d1+d2 ⑵反应距离与车速成正比； ⑶刹车时使用最大制动力F,F做的功等于汽车动能的改变. 模型建立： 由假设⑵，有 d1=k1v 牛顿第二定律 由假设⑶，有 d2=k2 v2 于是 d=k1v + k2 v2 车速km/h 20 40 60 80 100 120 140 刹车距离m 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118.0 153.5

例2、 市场经济中的蛛网模型 经济现象：很多商品在市场上的供应量与其价格之间呈现不断 交替变化的规律。 问题：商品数量和价格的交替变化(震荡现象)是否能达到稳定点？或是永远循环下去？是什么原因促使这种稳定或不稳定？ 步骤：1. 通过图形方法建立反映上述现象的图示模型； 2. 研究市场经济趋向平稳的条件； 3. 建立数学模型，对结果予以分析； 4. 讨论当经济趋向不稳定时，政府可能采取的干预方式。

记商品第k时段的上市数量为xk，价格为yk，这里我们把时间 离散化为时段，1个时段相当于1个生产周期。 一、 蛛网模型 记商品第k时段的上市数量为xk，价格为yk，这里我们把时间 离散化为时段，1个时段相当于1个生产周期。 价格yk取决于商品上市数量xk，由统计资料得到其关系为 yk = f ( xk ) x y o 称其为需求函数，其图形称为需求曲线。它应该是一条下降的曲线。一般说来，f 与消费者对商品的需求程度和他们的消费水平有关。消费者收入增加时，f将上移。 f(x)

下一时段某商品的上市量xk+1由上一时段的价格yk所决定， 其函数关系记作： xk+1=h(yk) 或者 yk= g(xk+1) 这里g是h的反函数，反映生产者的供应关系，称为供应函数， 其曲线称为供应曲线。它应该是一条上升的曲线。 x y o g(x)也是根据各时段供应数量 与价格的统计资料得到。它取 决于生产者的生产能力和经营 水平，当生产能力技术水平提 高时，g向右移。 g(x)

稳定的平衡点蛛网模型 不稳定的平衡点蛛网模型 一旦某时段k的上市量xk=x0，则 k以后的各时段的上市量和价格 y o f(x) g(x) P0 x0 y0 稳定的平衡点蛛网模型 不稳定的平衡点蛛网模型 一旦某时段k的上市量xk=x0，则 k以后的各时段的上市量和价格 将永远保持在P0(x0,y0)点。但事 实上由于各种干扰，商品数量与 价格是不可能保持在P0点的。 x y o f(x) g(x) P0 x0 y0 x y o f(x) g(x) P0 y2 x3 y4 y3 y1 x4 x2 x1 用Kf 和Kg分别表示 f 和 g在P0 处的斜率的绝对值，则当Kf < Kg 时P0稳定， 而当Kf > Kg时P0不稳定，需求曲线越平，供应曲线越陡越有利于稳定。

yk- y0 = -a (xk-x0)，xk+1-x0 = b (yk- y0 ) ，a , b >0 -α 1/β o 二、 建立数学模型 pk ƒ 为了定量分析，我们在P0附近用直线近似需求曲线 y=f(x)和供应 曲线y = g(x)。 T Pk+1 Q p0 p1 由 yk= f (xk)和 xk+1= h( yk )，假定在P0附近 f 和h 的斜率分别为-a 和b ，上述关系可以用一次函数表示为： x1 yk- y0 = -a (xk-x0)，xk+1-x0 = b (yk- y0 ) ，a , b >0 消去yk即得： xk+1-x0 = -a b (xk-x0) 递推解出： xk+1-x0 = (-a b )k (x1-x0) 结论：仅当ab <1，即 当k→∞时xk→x0，P0点稳定。 而当ab >1，即 当k→∞时 xk→∞，P0点不稳定。

三、对结果的解释 a 的含义：商品上市量每减少一个单位时，价格上涨的幅度。 它反映消费者需求的敏感程度。 b 的含义：商品价格每上涨一个单位时，下一时段供应量的 增加。它反映生产经营者对价格的敏感程度。 消费者需求的敏感程度与生产经营者对价格的敏感程度对经 济稳定与不稳定的影响的解释： 四、 政府的调控 对价格上涨的限制 对商品上市量的限制

已知20世纪美国人口统计数据如下，试计算表1 中这些年份的人口增长率。 例3、人口预报 已知20世纪美国人口统计数据如下，试计算表1 中这些年份的人口增长率。 人口/百万 3.90 5.30 7.20 9.60 12.90 17.10 23.20 31.40 38.60 50.20 62.90 表1 20世纪美国人口统计数据 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口/.百万 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 人口指数增长模型: 阻滞增长模型: 两边取对数,得 利用 求得 r, x0

机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理意义。 §1.3 数学建模的基本方法和步骤 一、基本方法 机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理意义。 如果掌握了一些内部机理的知识，所建模型也要求具有反映内在特征的物理意义，通常选择这种以机理分析为主的建模方法。 测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”，通过对测量数据的 统计分析，找出和数据拟合得最好的模型。 对研究对象内部规律基本上不清楚，所建模型也不需要反映内部特性(如仅限于对输出作出预报)，就可采用测试分析为主的方法。 用机理分析建立模型的结构而用测试分析确定模型参数的综合方法。

模型准备 模型假设 模型构成 模型检验 模型分析 模型求解 模型应用 二、一般步骤 模型准备 模型假设 模型构成 模型检验 模型分析 模型求解 模型应用 根据假设，用数学语言、符号 描述对象的内在规律，用尽可 能简单的数学工具得到一个数 学结构。 了解实际背景、明确建模目的、 弄清主要特征、形成清晰问题。 抓住问题本质，忽略次要因素， 作出必要、合理的简化假设。 结果与实际现象、数据比较，检 验模型的合理性和适定性，必要 时修改、补充假设，重新建模。 对求解结果进行数学上的分析，如误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等 使用各种数学方法、数学软件 和计算机技术求得数学问题的 解答。 根据问题的性质、建模的目的及最终的结果，决定模型的一般应用与推广。 数学建模步骤示意图

数学建模 编程求解 结果分析与验证 数学实验中对实验报告的要求 一、明确实验目的 （每次实验内容中都已写明） 一、明确实验目的 （每次实验内容中都已写明） 数学建模 二、简单明了地写出实验内容（即要求简要抄写题目，在怎么 条件下要求做什么要一目了然） 三、实验中所必需的主要数学原理与工具 四、按数学建模的一般要求建立必要的数学模型 编程求解 五、使用的数学软件求解数学模型中的数学问题，写出必要的 函数文件和命令脚本文件（M文件）； 六、记录程序运行后屏幕显示的内容； 结果分析与验证 七、对数学软件运行结果结合建模进行分析、讨论，需要重复 实验的对结果作出比较、分析，回答“二”中提出的问题，必要 时可以提出自己的猜想和新问题继续实验，找出答案。用实际信息进行验证。

一、阅读p34 §2 几个数学建模实例中的 1.2.1 汽车刹车距离 1.2.3汽车厂生产计划 几个建模实例，进一步了解数学建模的步骤、方法。 了解实验报告的内容与要求。 二、上机作业： 1、P20.6 2、在1.2.2节的珠网模型中,若生产者用今年和去年商品价 格的平均值来决定明年的产量,即 像 (6)一样地用一次函数近似后,与(5)式一起得到一个二阶差分方程,也可以递推求解。试代入 ，观察P0点稳定条件是否比原来有所变化，如何解释这种变化。