第八章 压 杆 稳 定 8-1 稳定的概念 轴向受压 单向偏心受压

与刚体平衡类似，弹性体平衡也存在稳定与不稳定问题。 细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效(failure by lost stability)，又称为屈曲失效(failure by buckling)。

压杆

桁架中的压杆

液压缸顶杆

高压输电线路保持相间距离的受压构件

脚手架中的压杆

什么是受压杆件的稳定性，什么是屈曲失效，按照什么准则进行设计，才能保证压杆安全可靠地工作，这是工程常规设计的重要任务之一。 本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念，包括：平衡构形、平衡构形的分叉、分叉点、屈曲以及弹性平衡稳定性的静力学判别准则。 然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界力。

压杆从直线平衡构形到弯曲平衡构形的转变过程，称为“屈曲”。由于屈曲，压杆产生的侧向位移，称为屈曲位移。  压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉 FP FP FP 压杆从直线平衡构形到弯曲平衡构形的转变过程，称为“屈曲”。由于屈曲，压杆产生的侧向位移，称为屈曲位移。 Δ

FP FP Δ O FP Δ FP FP FP 分叉点 (临界点) FP>FPcr 平衡路径 F´P FPcr FP<FPcr

平衡路径的分叉点— 平衡路径开始出现分叉 的那一点。 分叉载荷（临界载荷） —分叉点对应的载荷。 用FPcr 表示 FP FPcr Δ O

 判别弹性平衡稳定性的静力学准则 平衡构形—压杆的两种平衡构形 (equilibrium configuration) FP<FPcr : 直线平衡构形 FP FP>FPcr : 弯曲平衡构形 (在扰动作用下) FP

判别弹性平衡稳定性的静力学准则（statical criterion for elastic stability） FP FP<FPcr :在扰动作用下， 直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。 FP FP

判别弹性平衡稳定性的静力学准则（statical criterion for elastic stability） FP FP FP>FPcr :在扰动作用下， 直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。 FP

当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下，压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆，由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲（bifurcation buckling）。 稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点开始，平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称为临界载荷（critical load）或分叉载荷（bifurcation load），用FP表示。

图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力，其横截面积为32mm×1mm。按上面给出的强度条件，求钢板尺能承受的荷载.

§2 两端铰支细长压杆的临界压力 简化 1 剪切变形的影响可以忽略不计 2 不考虑杆的轴向变形

边界条件 挠曲线中点的挠度

欧拉公式 挠曲线为半波正弦曲线

§3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 L L L L

利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力

例 题 8.1  两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。 1.节点B的平衡 2.两杆分别达到临界力时F可达最大值

例 题 8.2  两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件) 压杆失稳可能有以下三种形式: 1.每根压杆两端固定分别失稳

例 题 8.2  两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件) 2.两杆下端固定上端自由，以z为中性轴弯曲失稳。

例 题 8.2  两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件) 3.两杆下端固定上端自由，以y为中性轴弯曲失稳。

例 题 8.3  一中心受压直杆如图所示，两端固定，但上端可沿水平方向移动，设EI为常数，求临界力。

将x=0,y=0, 代入上述二式得 X=L

§4 欧拉公式的应用范围 柔度 大柔度杆或细长杆 不能用欧拉公式.

临界应力总图 根据柔度的大小可将压杆分为三类: 1.大柔度杆或细长杆 压杆将发生弹性屈曲.此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极限. 2.中长杆 临界应力总图 压杆亦发生屈曲.此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力已超过材料的比例极限.截面上某些部分已进入塑性状态.为非弹性屈曲. 3.粗短杆 压杆不会发生屈曲,但将会发生屈服.

 例 题 8.4 1.分析那一根杆的临界荷载较大？ 2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。 例 题 8.4  图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试： 1.分析那一根杆的临界荷载较大？ 2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。 1. 计算柔度判断两杆的临界荷载 两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。

 例 题 8.4 1.分析那一根杆的临界荷载较大？ 2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。 例 题 8.4  图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试： 1.分析那一根杆的临界荷载较大？ 2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。 2. 计算各杆的临界荷载

例 题8.5  Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴转动；俯视图平面弯曲截面绕y轴转动。 正视图：

例 题 8.5  Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 俯视图：

§5 压杆的稳定校核

例题:结构用低碳钢A5制成,求:[P].已知:E=205GPa, s=275MPa,cr=338-1.12,p=90,s=50,n=2, nst=3; AB梁为N016工字钢,BC杆为圆形截面d=60mm. A B C 1 P 变形协调方程: (1) BC杆的稳定: (s < p)中柔度杆 cr=338-1.12 =338-1.12×66.6=258MPa

P A B C 0.312P 0.376P + -

例题：图示结构梁AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根63×63×5的角钢制成，梁及立柱的材料均为A3钢[]=170MPa，E=210GPa，试验算梁及立柱的安全性。 变形协调方程: q=48kN/m 2m 10 A B C D 63×63×5的角钢： iz=19.4mm 略去LDC

稳定 q=48kN/m 2m 10 A B C D + - 24 13.5 安全 iz=19.4mm

§6 提高压杆稳定性的措施 影响压杆承载能力的因素: 1. 细长杆 影响因素较多,与弹性模量E，截面形状，几何尺寸以及约束条件等因素有关。 §6　提高压杆稳定性的措施 影响压杆承载能力的因素: 1. 细长杆 影响因素较多,与弹性模量E，截面形状，几何尺寸以及约束条件等因素有关。 2. 中长杆 影响因素主要是材料常数a和b，以及压杆的长细比及压杆的横截面面积 2. 粗短杆 影响因素主要取决于材料的屈服强度和杆件的横截面面积。

提高压杆承载能力的主要途径 （1）尽量减少压杆杆长 为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下几方面： （1）尽量减少压杆杆长 对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。因此，减少杆长可以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减小杆长从而提高压杆承载能力的目的。 两种桁架中的①、④杆均为压杆，但图b中压杆承载能力要远远高于图a中的压杆。

提高压杆承载能力的主要途径 （2）增强支承的刚性 支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大。如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈数倍增加。 （3）合理选择截面形状 当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时,压杆将在刚度最小的平面内弯曲.这时如果只增加截面某个反方向的惯性矩,并不能提高压杆的承载能力,最经济的办法是将截面设计成空的,且尽量使从而加大截面的惯性矩.并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同.因此,对一定的横截面面积,正方形截面或圆截面比矩形截面好,空心截面比实心截面好. 当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时,应采用最大与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束.

（4）合理选用材料 在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。 但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。

   C A 例 题 8.7 压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（ ）和（ ）对临界压力的综合影响。 截面形状 约束 例 题 8.7  压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（ ）和（ ）对临界压力的综合影响。 截面形状 约束 两根细长压杆a与b的长度、横截面面积、约束状态及材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，则二压杆的临界压力Facr和Fbcr的关系为（ ）。 例 题 8.8  C A.Facr=Fbcr；B.Facr＜Fbcr；C.Facr＞Fbcr；D.不确定 例 题 8.9  A 材料和柔度都相同的两根压杆（ ）。 A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等； B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C. 临界应力和压力都一定相等； D. 临界应力和压力都不一定相等。

 B 例 题 8.10 图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（ ）。 A.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xy面内； 例 题 8.10  图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（ ）。 B A.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xy面内； B.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xz面内； C.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xy面内； D.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xz面内。

例 题 8.11  图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它们的（ ）相同。 B A.长度因数；B.相当长度；C.柔度；D.临界压力。

 在下列有关压杆临界应力σcr的结论中， （ ）是正确的。 D 例 题 8.12 A. 细长杆的σcr值与杆的材料无关； 例 题 8.12  在下列有关压杆临界应力σcr的结论中， （ ）是正确的。 D A. 细长杆的σcr值与杆的材料无关； B. 中长杆的σcr值与杆的柔度无关； C. 中长杆的σcr值与杆的材料无关； D. 短粗杆的σcr值与杆的柔度无关。

 图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ ）所示截面形状，其稳定性最好。 D (A) (B) (C) (D) 例 题 8.13  图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ ）所示截面形状，其稳定性最好。 D (A) (B) (C) (D)

  将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提高（ ）压杆的承压能力。 A 由低碳钢组成的细长压杆，经冷作硬化后，其（ ） 。 B 例 题 8.14  将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提高（ ）压杆的承压能力。 A A. 细长； B. 中长； C. 短粗 D. 非短粗。 例 题 8.15  由低碳钢组成的细长压杆，经冷作硬化后，其（ ） 。 B A. 稳定性提高，强度不变； B. 稳定性不变，强度提高； C. 稳定性和强度都提高； D. 稳定性和强度都不变。

本章作业 8－5， 8－8， 8－14， 8－15， 8－17， 8－18

例 题 9.6  A3钢制成的矩形截面杆，受力情况及两端销钉支撑情况如图所示，b＝40mm，h＝75mm，L＝2100mm，L1＝2000mm，E＝206GPa，试求压杆的临界应力。