第三讲 杆件结构有限元分析 元计算技术部

本讲通过对一维杆件进行理论分析和ELAB1.0有限元实现两种方式来介绍有限元的思想，并给出用有限元方法求解实际问题的流程： 基本方程 基本方程的最终弱形式 一维杆件有限元理论分析 一维杆件ELAB软件实现 建立有限元模型 确定杆单元的形函数 确定单元刚度，总体刚度 带入边界求解方程 工程建模 前处理 求解计算及后处理

一维杆件有限元理论分析 基本方程 杆件从构造上说是长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学中常常将承受轴力或扭矩的杆件统称为杆。根据桁架或者杆件承受的载荷不同，根据它们的变形不同可以将杆单元分为二维和三维桁架单元两种。承受轴向载荷等截面直杆的基本方程如下： 根据虚功原理，方程两边乘以虚位移δu，平衡方程可以写为： 其弱形式为：

基本方程的最终弱形式 其中，右端最后一项可以看作是节点力情况，所以可以不单独列出，同时 所以上式可以继续写为： 其中E表示弹性模量，A表示横截面积，方程左端得到单元的刚度矩阵。

建立有限元模型 现考虑一个由5个长度相同(le=1m)横截面积不同的杆件构成的一维杆件，各杆弹性模量都为E=1.0e10pa，A1=0.5m2，A2=0.4 m2，A3=0.3 m2，A4=0.2 m2，A5=0.1 m2，如图1所示，右端给定位移u右=0.1，左端固定位移u左，分析杆件内位移分布： 几何模型 将其划分为五个单元六个节点，即每根杆件作为一个单元，每个单元的节点关系如下图所示： 单元拓扑关系

确定杆单元的形函数 考虑其中一个杆单元，其两个端点分别为节点1，节点2，基本变量为节点位移u1，u2:： 设该单元的位移场为u(x)，这里要通过一个线性分布函数来进行插值以得到单元内的未知位移。 定义一个局部坐标系ζ： 由该式可得，在节点x1 处，ζ=-1，在节点x2处，ζ=1，如下图所示局部坐标系：

基于上坐标系来定义用于位移插值的形状函数： 确定了形状函数后，单元内的线性位移场就可以用节点位移u1，u2来表示： 通常来说形函数需满足以下条件： 在单元内，一阶导数必须存在； 在单元之间的连接处，位移必须连续；

推导该问题的单元刚度矩阵表达式 对于基本方程的最终弱形式： 在一个单元内： 因此： 由局部坐标系ζ，与整体坐标系的关系式及位移的插值函数可得：

由上面的关系式可得到： 对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：

确定该问题每个单元的刚度矩阵

确定该问题总体刚度矩阵 将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也进行组装。 刚度矩阵： 节点位移： 对于本问题没有节点力即： 整体刚度方程为：

边界处理及整体刚度方程求解 边界条件u1=0，u2=0.1，带入方程中去掉第一条和第六条方程得到： 求解上方程得到： 则所有的节点位移为：

一维杆件ELAB1.0软件实现 工程建模 1、点击“工程向导”进入公式库 2、选择“结构力学”→“桁架”→“二维直角坐标” 3、选择“坐标系”

4、选择“单元类型” 5、选择“问题类型” 6、定义工程名和工程路径，完成工程设置

定义材料参数 点击工具栏“参数设置”→“材料参数”，如下图所示： 材料参数对话框中设定相应的材料参数，如下图所示：

前处理 几何建模： 点击工具栏中“前处理”按钮进入GID，建立该工程的几何模型。 进入GID后要进行FELAC的数据转化data→problemtype→FELAC，如下图所示。 确定问题类型

，在GID下方command命令行中输入（5,0）回车，再输入（4,0）回车， 几何模型建立步骤： 点击左侧菜单中 ，在GID下方command命令行中输入（5,0）回车，再输入（4,0）回车， 再输入（3,0）回车，再输入（2,0）回车, 再输入（1,0）回车, 再输入（0,0）回车,单击鼠标中键结束，此时杆件创建完毕如下图所示。 一维杆件模型 赋予材料属性： 选择data→conditions，弹出图示对话框。选择 ，在下拉菜单中选择Line → trull2，在 Mate num中输入数值1，点击assign，选择左边第一条线，按鼠标中键结束。依次在Mate num中输入2、3、4、5，分别为另外四条线赋材料，如下图所示。 材料属性

， 在下拉菜单中选择point → lea，在对应的输入框中输入：u-l:-1，u-D:0， 添加边界条件： 在conditions对话框中选择 ， 在下拉菜单中选择point → lea，在对应的输入框中输入：u-l:-1，u-D:0， 点击assign，选择模型左端点，点击鼠标中键结束，在输入框中输入：u-l:-1，u-D:0.1，选择模型左端点，点击鼠标中键结束，即为模型添加边界(左端位移固定为0，右端位移为0.1)。如下图所示。 边界设定 划分网格： 选择Mesh → Structured → Lines → Assign size，此时弹出Enter value window对话框，将值改为10(该值大于所有线中的最大长度，使每一杆件为一个单元)，点击assign选择所有线，按鼠标中键结束。选择Mesh → generate mesh…，对弹出的窗口保持默认设置，划分网格，弹出网格划分信息的对话框，单击View mesh，效果图如下图所示。

工程求解 选择calculate → calculate，在弹出的对话框，点击OK，保存，前处理完毕。 网格划分 网格尺寸设置 网格划分信息 选择calculate → calculate，在弹出的对话框，点击OK，保存，前处理完毕。 工程求解 点击工具栏中“求解计算”按钮，完成模型的求解计算。

后处理 点击工具栏中的“后处理”按钮进入GID，查看计算结果，如下图所示。 结果分析： 本章针对一个变截面一维杆件，通过理论分析和ELAB1.0软件实现两种方式来分析，一方面对有限元的分析思路进行整理，一方面对ELAB1.0的操作过程进行介绍，对比两种方式的计算结果，其结果一致，且通过软件可以比较直观的看到结果云图，而对于复杂的模型，大家可以采用ELAB1.0方便的实现，对于结构力学问题来说，因为桁架和梁的基本理论都是建立在一维空间上，因此对于平面二维问题及空间三维问题，需进行坐标变换，此点在ELAB1.0软件中大家可以方面的使用,对于结构力学中其他结构的分析将在下讲进行！

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