Electromagnetic field 电 磁 场 静电场 (6) 第11章 Static electric field

*§11-1 场的描述 §11-2 电荷 电力 自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。 电荷具有最小单元：e=1.610-19C。 在自然界中,带电体的电量都是这一最小电量e的整数倍： q=Ne   这个特性叫做电荷的量子化。 1964年,盖尔-曼(M.Gell-Mann)预言：更基本的粒子夸克和反夸克的电量应取±e/3或±2e/3。但我们至今尚未发现单独存在的夸克。 电荷间有电力的相互作用：同号电荷相斥,异号电荷相吸。

r r则表示两个点电荷之间的距离。 §11-3 库仑定律 真空中,点电荷q1对点电荷q2的作用力为 F (11-1) q2 §11-3 库仑定律 真空中,点电荷q1对点电荷q2的作用力为 (11-1) q1 q2 r F 图11-1 (1) er 是从点电荷q1指向点电荷q2的 单位矢量。 r则表示两个点电荷之间的距离。 (2)公式中的系数是SI制要求的。 真空的介电常数

r §11-4 电场和电场强度 一 .电 场 一个电荷要在它的周围产生电场。 F q2 两个电荷之间的相互作用力是通过电场来进行的。即 §11-4 电场和电场强度 一 .电 场 一个电荷要在它的周围产生电场。 q1 q2 r F 图11-1 两个电荷之间的相互作用力是通过电场来进行的。即 电荷 电场 电荷 电场是什么？电场是一种物质。场和(由基本粒子组成的)实物物质一样，具有能量、动量和质量。场和实物是物质存在的两种基本形式。 场和实物物质的主要区别是：实物独占一定的空间；而场总是弥漫在一定的空间内，具有可叠加性。

在静止电荷产生的静电场中的一场点，引入一个试验电荷qo(qo的电量、几何尺度必须很小), 它受的力为F，于是我们定义：该点的电场强度为 二.电场强度矢量E 在静止电荷产生的静电场中的一场点，引入一个试验电荷qo(qo的电量、几何尺度必须很小), 它受的力为F，于是我们定义：该点的电场强度为 (11-2) (1)式(11-2)表明,电场中某场点上的电场强度矢量等于置于该点的单位正电荷所受的力。 (2)电场强度矢量E是反映电场性质的物理量，与试验电荷qo无关。

三.场强叠加原理 设源电荷是由n个点电荷q1, q2,… qn构成,在该电场中试验电荷qo受的力为 (11-3) (11-4) 式中的Ei是电荷qi单独存在时产生的电场强度。  式(11-4)表示:在n个点电荷产生的电场中某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和,这一结果称为场强叠加原理。

.P r 四.场强的计算！ 1.点电荷q的电场 (11-5) q E 的大小： 图11-2 (11-5) E 的大小： 若q>0,电场方向由点电荷沿径向指向四周；若q<0,则反向。即点电荷的电场具有球对称性。

对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷元dq(点电荷), 用点电荷的场强公式积分： 2.点电荷系的电场   由n个点电荷q1, q2,… qn产生的电场，可利用点电荷场强公式，直接由叠加原理求得 (矢量和) (11-6) 3.带电体的电场 对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷元dq(点电荷), 用点电荷的场强公式积分： (11-7) 以上内容的学习重点：用积分的方法求电场。

r (1)建立适当的坐标系，如图11-3所示。 a x dEx dEy x dq dx (3)分析问题的对称性。 例题11-1 有一均匀带电直线，单位长度上的电量为 ，求离直线的距离为a的P点处的场强。 解 此类题可按下列步骤求解: (1)建立适当的坐标系，如图11-3所示。 (2)将直线分为长为dx的无限多个电荷元dq=dx(视为点电荷)，并写出一个有代表性(位置用变量x表示)的电荷元在P点产生的电场： o P a x y  图11-3 dEx dEy  x dq dx r (3)分析问题的对称性。 由于不同位置的电荷元在P点产生的场强dE方向不同,故应将dE向x轴和y轴方向投影,于是有

r dEx=dEcos dEy dEy=dEsin (4)统一积分变量,定积分限,完成积分,得到所求场强分量式 dEx a x dx P a x y  图11-3  dq dx r dEx=dEcos dEy=dEsin (4)统一积分变量,定积分限,完成积分,得到所求场强分量式 1 2 r=a/sin , x=-a.ctg , dx=ad /sin2

r dEy dEx a 讨论: (1)对无限长带电直线, x dx  1=0和 2=；代入得 dq y P 2 1  o  图11-3  dq dx r 讨论: (1)对无限长带电直线,  1=0和 2=；代入得 记住！ (2)对平面、柱面等形状,可利用带电直线公式积分。

r 例题11-2 求均匀带电的无限大平面外任一点的场强(设平面单位面积上的电量为 )。 解 分为若干长直导线积分。 例题11-2 求均匀带电的无限大平面外任一点的场强(设平面单位面积上的电量为 )。 解 分为若干长直导线积分。 由对称性可知，平面外P点的电场方向是垂直于平面向上的(即y方向)，所以 dx E= cos  2or dx 1 完成积分得: x y 图11-4 o a P . (11-8)  x dx r =.1dx

记住无限大平面电场！  (匀强电场) E=0  2 + - E=0

例题11-3 一均匀带电Q的圆弧，半径为R、圆心角为，求圆心o处的电场。 y x 解 由对称性可知，圆心o点的电场是沿角 的平分线(y轴)方向的。  R o Q 将圆弧划分为若干电荷元dq(点电荷)，利用点电荷公式积分： x o  y 图11-5 R dq  d

例题11-4 一半径为R的圆环，电荷线密度=ocos , 其中o为常量,求圆心o点的场强。 图11-6 x y o dq d 解 将圆环分为若干个点电荷dq积分。

r 即 例题11-5 一圆环半径为R、均匀带电q，求轴线上一点的场强。 x dq q 注意： 解 由对称性可知，轴线上的电场方向是沿轴线向上的。 p o R 图11-7 x q r  dq 即 注意： 任何均匀带电的旋转体(如圆形、球形、柱形)用圆环公式积分求电场最为方便。

例题11-6 一均匀带电的薄圆盘，半径为R、面电荷密度为，求圆盘轴线上一点的场强。 解 分为若干园环积分。 E 图11-8 x p x.2rdr 当R(x«R)时, 这正是无限大平面的电场。

例题11-7 一均匀带电的半球面，半径为R，电荷面密度为，求球心o处的电场。 解 图中圆环产生的电场：  d z R r o 图11-9  dq= .2 r.Rd z2+r2=R2,z =Rcos E

！ §11-5 高斯定理 一.电场线(电力线) 为了形象地描绘电场在空间的分布,按下述规定在电场中画出的一系列假想的曲线—电场线： §11-5 高斯定理 ！ 一.电场线(电力线) 为了形象地描绘电场在空间的分布,按下述规定在电场中画出的一系列假想的曲线—电场线： (1)曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向; (2)通过垂直于电场方向单位面积上的电场线条数等于该点电场强度的大小。 E 图11-10 ds E (11-9) de —通过ds的电场线条数

(a)正电荷 (b)负电荷 图11-11

(3)在没有电荷处,两条电场线不会相交,也不会中断。 (c)一对等量正电荷 (d)一对等量异号电荷 静电场电场线的特点： (1)电场线起自正电荷,止于负电荷,或延伸到无穷远处。 (2)电场线不形成闭合曲线。 (3)在没有电荷处,两条电场线不会相交,也不会中断。

电通量—通过电场中任一给定曲面的电场线总数。 二 .电 通量 E ds  图11-12 电通量—通过电场中任一给定曲面的电场线总数。 ds 从图11-12可以看出，通过面元dS的电通量和通过投影面dS⊥的电通量是一样的。因此通过dS的电通量为 de=E dS⊥=Edscos (11-10) 上式可以写为 (11-11)

(11-12) 对一个任意曲面S(图11-13), 通过的电通量应为 (11-13) 图11-13 en

通过一个封闭曲面S的电通量(图11-14)可表示为 (11-14) 对于闭合曲面,规定由内向外的方向为各处面元法向的正方向。 由de=E dS⊥=Edscos 知  en  en 图11-14 S 当电场线从面内穿出时, de 为正; 当电场线由面外穿入时, de 为负。 因此，式(11-14)中表示的通过整个封闭曲面的电通量e,就等于穿出与穿入该封闭曲面的电场线的代数和(净通量)。

三 .真空中的高斯定理 (11-15) 点电荷q位于一半径为r的球面中心，则通过这球面的电通量为 r q (a) 图11-15 球面

r s 对包围点电荷q的任意形状的曲面S来说, 显然 球面 q s 如果闭合面S不包围点电荷q, 如图11-15(c)所示,则 q (b)

s 设封闭曲面S内有n个点电荷q1,q2,…qn， q1 封闭曲面S外有m个点电荷Q1,Q2,Qm, qi 则任一点的电场为 qn +0 Qj Qm s 图11-15(d) 封闭曲面S外有m个点电荷Q1,Q2,Qm, 则任一点的电场为 +0 这就是高斯定理。

这就是说，通过一任意封闭曲面的电通量完全由该封闭曲面所包围的电荷确定,而与面外的电荷无关。 (11-15) (1)高斯定理表明:在真空中的静电场内,通过任意封闭曲面(高斯面)的电通量等于该封闭曲面所包围的电荷的电量的代数和(净电荷)乘以1/o倍 。 这就是说，通过一任意封闭曲面的电通量完全由该封闭曲面所包围的电荷确定,而与面外的电荷无关。 (2)高斯定理表达式左方的场强E是空间所有电荷(既包括封闭曲面内，又包括封闭曲面外的电荷)共同产生的场强的矢量和。 (3)高斯定理还表明:正电荷是发出电场线的源头,负电荷是吸收电场线的闾尾。 即:静电场是一个有源场。

(11-15) 问题： 1.如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷。 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无净电荷。 2.如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E不一定为零。 3.如果高斯面上E处处不为零，则该面内必有电荷。 如果高斯面上E处处不为零,则该面内不一定有电荷。 4.高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的场强一定为零。 高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上的场 强不一定处处为零。

§11-6 高斯定理的应用 用高斯定理计算场强的步骤： (1)分析场强分布的对称性，找出场强的方向和场强大小的分布。 (2)选择适当的高斯面，并计算出通过该高斯面的电通量。 (3)求出高斯面所包围的电量。 (4)按高斯定理求出场强。 高斯定理大约能求解三类问题： (a)球对称，如均匀带电的球体、球面、球壳。 (b)轴对称，如均匀带电的长直柱体、柱面。 (c)平面型，如均匀带电的无限大平面、平板。

例题11-8 一均匀带电q的球体，半径R，求球内外的场强。 解 由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。 取半径r的球面为高斯面， 由高斯定理 E.4 r2 R 图11-16 于是球对称中的高斯定理可写为 r 即 r是场点到球心的距离。 是以r为半径的球面内电荷的代数和。

R 图11-16 r r<R : q r>R :

+ 例题11-9 电荷体密度为 的球体内有一球形空腔，两球心相距a,如图11-17所示。求空腔中任一点P的电场。 解 空间任一点的电场可看作是带电的两个实心球体电场的叠加。 图11-17  a o o P + = o  r1 p o - r2 由上题的结果，球体内：

+ r1  r2 = a 空腔中任一点P的电场为 -r2 r1 大小： 方向：由o指向o。 a p P o o -  图11-17

例题11-10 两同心均匀带电球面，半径为R1和R2，分别带电q1和q2, 求空间电场分布。 解 由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。 由球对称中的高斯定理 R1 R2 o q1 q2 图11-18 r<R1: =0; q1 q1+q2

例题11-11 一带电球体，半径R，电荷体密度为 =o(1-r/R), o为常量；求:(1)球内外的电场；(2)场强的最大值及相应的半径。 解 (1)由高斯定理: R 图11-19 r dr r<R: E1.4 r2 = 完成积分得： r>R: E2.4 r2 =

(2)场强的最大值及相应的半径。 r<R: r>R: R 图11-19 场强最大值出现在球内： 由 得:

例题11-12一均匀带电的无限长直柱体，半径为R，电荷体密度为，求柱内外的场强。 解 由对称性知,电场方向垂直轴线指向四周, 如图11-20所示。 图11-20 R 选同轴封闭柱面为高斯面, 由高斯定理有： r l E 即 底面半径为r,高为l的柱面内电荷的代数和

图11-20 R r l E 底面半径为r,高为l的柱 面 内电荷的代数和 r<R: r>R:

例题11-13 两均匀带电的同轴长直柱面，半径R1<R2 ,单位长度的带电量分别是  ，求电场分布。 解 R1 R2 + - 图11-21 r<R1: =0 R1<r<R2: r>R2: =0

例题11-14 设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律： =ocosx分布在整个空间, o为幅值，求电场分布。 由此判断:电场方向沿x轴,且对yoz平面对称。 选如图所示的柱形高斯面,由高斯定理： o x Yoz平面 图11-22 x dx S x E

取立方体六个面为高斯面,则立方体内的净电荷为 例题11-15 空间的电场分布为:Ex=bx ,Ey=0, Ez=0;求图11-23中所示的边长为a的立方体内的净电荷。(a=0.1m,b=1000N/(c.m)) 解 高斯定理 取立方体六个面为高斯面,则立方体内的净电荷为 a x y z o 图11-23 E =o[-ba.a2 +b(2a).a2] = oba2=8.8510-12C。

！ ra r rb §11-7 电势 一 .静电场的保守性 环路定理 一 .静电场的保守性 环路定理 在点电荷q的电场中， qo由a点沿任一路径L移到b点,电场力对qo所作的功为 q ra rb a b L 图11-24 qo E r dr dl  dlcos=dr (11-18) 由此可见,在点电荷q的电场中,电场力的功只与路径的起点和终点位置有关,而与路径形状无关。

在点电荷系q1,q2,…qn的电场中，qo从a点沿任一路径L移到b点时，电场力对qo所作的功为

结论: 静电力的功,仅与路径的起点和终点的位置有关,而与路径形状无关。 所以, 静电场是保守力场。 显然 (11-21) 在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分(环流)为零。 这就是静电场的环路定理。

wa-wb=-(wb-wa) wa是qo在a点时系统的电势能; wb是qo在b点时系统的电势能。 二 .电势能 可见，静电场力的功可写为 二 .电势能 点电荷系 点电荷 可见，静电场力的功可写为 (11-22) wa-wb=-(wb-wa) 我们定义： wa是qo在a点时系统的电势能; wb是qo在b点时系统的电势能。 可见：电场力的功等于电势能增量的负值。

wa-wb=-(wb-wa) 若取b点为电势能的零点(零势点),则qo在a点的电势能为 (11-22) wa-wb=-(wb-wa) 若取b点为电势能的零点(零势点),则qo在a点的电势能为 上式的意义是：qo在场中某点a的电势能等于将qo从该点a经任意路径移到零势点时电场力对qo所作的功。

三 .电势和电势差 由电势能的定义式： 我们定义：场中a点的电势 ： (11-24) 电场中某点的电势等于单位正电荷在该点的电势能； 也等于将单位正电荷从该点经过任意路径移到零势点时电场力所作的功。

电势差(电压)=两点电势之差 (11-23) 即 得 得

公式小结 (1)原则上电势零点可任意选择，视方便而定 。 对有限大小的带电体,规定取无穷远为零势点,于是 (11-25) 在实际问题中,也常常选大地的电势为零。 (2)电势是相对量，随零势点的不同而不同。而电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。 (3)电势是标量,其值可正可负,与零势点的选择有关。

r §11-8 电势的计算 & 取无穷远为电势零点，由定义式有 P dr q 即点电荷的电势、电场为 1.点电荷q场中p点的电势 图11-25 r P q 即点电荷的电势、电场为 (11-26)

式中: Vi代表第i个点电荷qi单独存在时在a点产生的电势。 2.点电荷系(q1,q2,…qi…qn)场中的电势 因 ，Ei 为qi产生的电场。 即 (11-27) 式中: Vi代表第i个点电荷qi单独存在时在a点产生的电势。 式(11-27)表明:一个点电荷系的电场中任一点的电势等于每一个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和。这一结论称作电势叠加原理。

3.带电体电场中的电势 第一种方法：将带电体分为许多电荷元dq(点电荷)，利用点电荷的电势公式积分: (11-28) 第二种方法：按电势的定义式进行计算： & (用高斯定理求电场) 以上内容的学习重点：熟练掌握求电势、电势差及电场力的功的方法。

&

例题11-16 (1)正六边形边长a，各顶点有一点电荷，如图11-26(a)所示。将单位正电荷从无穷远移到正六边形中心o点的过程中,电场力的功为 -q (oa)。 解 a +q -q 图11-26(a) o +1 = - Vo Vo= 将uo代入功的式子，得

(2)电荷分布如图11-26(b)所示,将点电荷qo从a经半园b移到c的过程中,电场力对qo的功为 -qqo (6oR)。 解 R a o -q +q b c 图11-26(b)

(3)一点电荷带电量q=10-9C，A、B两点与点电荷q的距离分别为10cm、20cm。若取B点的电势为零，则A点的电势是多少？ 解 或：取无穷远为电势零点，则 A B q dr 取B点为电势零点，则A点的电势： =45V

例题11-17 一均匀带电直线段，长为L，电量为q;求直线延长线上离一端距离为d的P电报的电势。(取无穷远为电势零点) 解 将带电直线分为许多电荷元dq(点电荷),利用点电荷电势公式积分： dx dq x P d L q 图11-27

r 例题11-18 求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。(取无穷远为电势零点) 解 Vo= q dq Vp= P x q dq R o R R 例题11-18 求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。(取无穷远为电势零点) q o R 图11-28 dq R 解 Vo= Vp= R P x q 图11-29 r dq .o .o

d 例题11-19 均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为，求轴线上离盘心距离为x的P点的电势。(取无穷远为电势零点) 解 将圆盘分为若干个圆环,利用圆环公式积分。 .2rdr x P 图11-30 4od d dr r

例题11-20 一圆台的上下底面半径分别为R1和R2，它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，取无穷远为电势零点，求顶点o的电势。  解 将圆台分为若干个圆环积分。 x dx .2rdx 4ox 由于 r 得

例题11-21 一无限大平面, 中部有一半径为R的圆孔，设平面上的电荷面密度为 。求通过圆孔中心o并与平面垂直的直线上任一点p的场强和电势。 取o点的电势为零。 解 将平面分为若干个圆环积分。  x p o R 圆环: x p o R dr r x  2rdr

圆环: R r P x q 取o点的电势为零, 求p点的电势。  x p o R x p o R dr r

例题11-22 求半径为R、总电量为q的均匀带电球面的电势分布。 图11-31 q 解 由高斯定理求出其场强分布: 选定无限远处的电势为零, 由电势的定义式，有 r R: r R:

应当指出，电势是空间坐标的连续函数。而电场一般是不连续的。 例题11-23 电荷以相同的面密度均匀分布在两个半径分别为R1=10cm、R2=20cm的同心球面上，设无穷远处为电势零点，已知球心电势为300v，求: (1) =? (2)空间电势分布； (3) 两球面的电势差。 q1 q2 解 (1)设内外球面分别带电q1和q2, R1 R2 o 图11-32 球心电势可用带电球面的电势叠加得出：

球心电势也可用电势定义求得: R1 R2 o 图11-32 q1 q2 q1= .4 R12 q2= .4 R22 于是得

(2)各区域电势： r R1: R1 R2 o 图11-32 q1 q2 R1 r R2: r R2:

(3)两球面的电势差: R1 R2 o 图11-32 q1 q2 或

例题11-24 一均匀带电的球壳, 电荷体密度为，内外半径分别为R1<R2, 求各区域的电势。 解 可用球面电势公式积分; 也可用电势定义式求解。 R1 R2 o 图11-33 由高斯定理：

r  R1: R1 R2 o 图11-33 R1 r  R2: r  R2:

例题11-25 一带电球体，半径R，电荷体密度为 =Ar, A为常量；求: 球内外的电场和电势。 解 (1)电场 R 图11-34 r<R: r dr r>R: (2)电势 r<R: r>R:

求:(1)两极间的电场；(2)电子刚从阴极发出时所受的力；(3)电子到达阳极时的速度。 例题11-26 一真空二极管，其主要构件是一个半径R1=510-4m的圆筒形阴极A和一个套在阴极外的半径R2=4.5 10-3m的同轴圆筒形阳极B,如图11-35所示。阳极电势比阴极高U=300伏, 忽略边缘效应， 求:(1)两极间的电场；(2)电子刚从阴极发出时所受的力；(3)电子到达阳极时的速度。 解 (1) 设内外圆筒单位长度分别带电±，由高斯定理，两极间的电场(例题11-13): R1<r<R2: E.2r.l = B 图11-35 A R2 R1

两极间的电势差： A B 故电场为 (2)电子刚从阴极发出时所受的电场力: 方向沿半径指向阳极B 。 (3)电子到达阳极时的速度。 图11-35 A R2 R1 故电场为 (2)电子刚从阴极发出时所受的电场力: 方向沿半径指向阳极B 。 (3)电子到达阳极时的速度。 由动能定理： ,=1.03107(m/s)。

例题11-27 一半径为R的均匀带电球面，带电量为q；球面外有一均匀带电细线，电荷线密度为 , 长为l, 细线近端离球心距离为ro,如图11-36所示。求细线受的力和细线在球面电场中的电势能。 解 dx  R 图11-36 ro l o q dx dx x

在电场中,电势相等的点所组成的曲面叫等势面。 §11-9 场强与电势的关系 一 .等势面 在电场中,电势相等的点所组成的曲面叫等势面。 E +q 点电荷的等势面 图11-37 等势面与场强之间有如下的一般关系: (1)电场强度方向与等势面处处正交,并 指向电势降低的方向。 (2)等势面分布较密的地方,电场强度较大。 (3)电荷沿等势面移动时,电场力不作功。

设有两个十分接近的等势面1和2,如图11-38所示,其电势分别为V和V+dV,并设dV>0。 二 .电势梯度 设有两个十分接近的等势面1和2,如图11-38所示,其电势分别为V和V+dV,并设dV>0。 是沿等势面法线的单位矢量,方向指向电势升高的方向。 V V+dV 1 2 E 图11-38 dl dn 在同一场点,其电势沿不同方向的空间变化率也是不同的。 但沿法线方向的变化率最大。即 我们定义：场中某点电势梯度矢量的方向为该点电势增加率最大的方向， 其大小等于沿该方向单位长度上的电势增量。

(gradient梯度) — 梯度算符 V V+dV 1 2 E 图11-38 dl dn  a b 显然有 (11-30)

式(11-30)表明,静电场中任何一点的电场强度等于该点电势梯度矢量的负值。 电场强度E沿任一方向dl 的分量： V V+dV 1 2 E 图11-38 dl dn  a b 注意到dn=dlcos, 于是有 (11-29)

(11-29) 即电场强度在任一方向的分量等于电势沿该方向上的空间变化率的负值。 在直角坐标系中，显然有 — 梯度算符

问题：1.场强大的地方，电势一定高。 2.电势高的地方，电场一定大。 3.电场为零的地方，电势也一定为零。 4.电势为零的地方，电场也一定为零。 5.电势不变的空间，场强处处为零。 6.场强不变的空间，电势处处相等。

例题11-28 求半径为R、均匀带电q的圆环轴线上一点的电势和场强。 x q R r P 图11-39 解

例题11-29 设空间电势分布为: V=2xy2, 求空间电场分布。 解