第四章 根 轨 迹 法 经典控制理论的两大代表性方法之一 W. R. Evans 1948年提出 第四章 根 轨 迹 法 经典控制理论的两大代表性方法之一 W. R. Evans 1948年提出 根据开环传递函数，分析改变系统参数对闭环极点的影响 D1(s) Y(s) R(s) G1(s) G 2(s) H(s) - D2(s) E(s)

本章主要内容 根轨迹基本概念 绘制根轨迹的基本依据及规则 参数根轨迹 串联校正的综合（自学）

4-1. 根轨迹基本概念 - 根轨迹的定义： 开环传递函数的某一参数从0变到∞时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。 D1(s) Y(s) R(s) G1(s) G 2(s) H(s) - D2(s) E(s) 常规根轨迹 参数根轨迹

例： R(s) Y(s) - -2 × j

当特征方程>2阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？ 由根轨迹图分析系统性能: １.稳定性 因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对所有的Ｋ>0都是稳定的。 ２.暂态性能 0<K≤0.5时，特征根为实根，过阻尼系统，响应为非振荡型； K＞0.5时，特征根为共轭复根，欠阻尼系统，响应为衰减振荡；可根据性能要求设置闭环极点。 j -2 -1 1 2 K=0 K=0.5 K=1 K=2.5 ３．稳态性能 开环传函有一个位于坐标原点的极点I型系统阶跃响应的稳态误差为0；闭环极点确定→K确定→其他响应的稳态误差确定。 　　 当特征方程>2阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？

4-2. 绘制根轨迹的基本依据和条件 特征方程为： 1+G(s)H(s)=0 即： G(s)H(s)= -1 - 幅值条件 相角条件 R(s) Y(s) 幅值条件 相角条件 -2 × j s平面 -1 j GH平面

零极点表达形式下的幅值条件和相角条件： 相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据 幅值条件主要用于特征根 s 确定时求 Kg

幅值条件和相角条件的几何意义 × p2 p1 s0 p3 O z1

4-3. 绘制根轨迹的基本规则 一．根轨迹的分支数 二．根轨迹的对称性 三．根轨迹的起点和终点 根轨迹的分支数=n， 与开环极点数相同。 4-3. 绘制根轨迹的基本规则 一．根轨迹的分支数 根轨迹的分支数=n， 与开环极点数相同。 二．根轨迹的对称性 特征方程的系数是实数，其特征根为实数或共轭复数，因此根轨迹对称于实轴。 三．根轨迹的起点和终点 起点对应于　　　时的特征根位置， 终点则对应于　　　 时的特征根位置。

如前面的二阶系统，起点：0，-2，无零点，n=2，m=0，n-m=2，两条根轨迹→∞ 特征方程可改写为 Kg=0 × Kg ∞ -1 jω σ Kg=0.5 -2 当　　　，必有　　 ，即起点是开环极点； 当　　　 ，必有　　 ，即开环零点是终点。 对于控制系统，一般n>m（有n-m个无穷远处零点），所以有m条根轨迹终止于m个开环零点，剩下的n-m条根轨迹将趋于无穷远处（终止于n-m个无穷远处零点） 。 如前面的二阶系统，起点：0，-2，无零点，n=2，m=0，n-m=2，两条根轨迹→∞

四．实轴上的根轨迹 在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。 依据： 四．实轴上的根轨迹　 在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。 jω σ × 依据： １．共轭复数零、极点到s1的相角之和为0°，相互抵消； ２．实轴上s1点左侧的开环零、极点提供的相角为0°，而右侧的相角均为180°。　

③ 实轴上右边开环零、极点数目之和为奇数的线段为根轨迹 例： ①　∵有三个极点，根轨迹有三条分支 × -2 -4 σ jω ②　∵ n=3,　m=2　　 　　∴ 有３-２＝１条 根轨 迹→∞， 　 ２条终止于开环零点。 o -3 -1 ③　实轴上右边开环零、极点数目之和为奇数的线段为根轨迹

仿真结构图 取 Kg = 2, 5, 10, 50

Kg↑ 极点与虚轴距离↑，2个极点→零点（偶极子） 快速性↑ 系统的单位阶跃响应 Kg=50 Kg=10 Kg=5 Kg=2 Kg↑ 极点与虚轴距离↑，2个极点→零点（偶极子） 快速性↑

五．根轨迹的渐近线 １．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处分支的渐近线的倾角为 当 时，求得的渐近线倾角最小， 当　　　　时，求得的渐近线倾角最小， k 增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线只有（n－m）条．

２. 渐近线与实轴的交点 渐近线的交点总在实轴上，即　 必为实数． 共轭复数零、极点的虚部相互抵消  计算时只须代入开环零、极点的实部．

例： 求根轨迹。 σ jω 解：① 在s平面中确定开环零、极点的位置； ② 确定实轴上的根轨迹； -0.423 Kg=6 ② 确定实轴上的根轨迹； ③ n=3,m=0,应有三个分支，并且都趋向 无穷远处； × -1 -2 -60° 60° ④ 确定渐近线的位置 σ

特点：Kg在分离点上取极值，或特征方程有重根。 注：两式等价，只须用其中之一，且只是必要条件 六. 分离点和会合点 　　两条根轨迹分支在Ｓ平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）。 特点：Kg在分离点上取极值，或特征方程有重根。 求解： 注：两式等价，只须用其中之一，且只是必要条件

续前例：求分离点上的坐标。 σ jω 系统的特征方程为 即 × 上式的根 分离点在０至 -１之间，应取 s1= -0.423 　续前例：求分离点上的坐标。 　系统的特征方程为 　即 × -1 -2 σ jω -0.423 Kg=6 -60° 60° 上式的根 分离点在０至 -１之间，应取 s1= -0.423　　　　 用幅值条件确定分离点的增益：

七. 根轨迹与虚轴的交点 在根轨迹与虚轴的交点处，特征方程出现虚根。 计算： （1）将 s=jω 代入特征方程求解； 七. 根轨迹与虚轴的交点 在根轨迹与虚轴的交点处，特征方程出现虚根。 计算： （1）将 s=jω 代入特征方程求解； （2）利用劳斯判据确定（见教材）。

续前例，将　　　代入特征方程。 × -1 -2 σ jω -0.423 Kg=6 -60° 60° 实部 虚部

利用 MATLAB 绘制根轨迹图 Command： a=zpk([ ],[0,-1,-2],1) rlocus(a) 或 a=tf([1],[1 3 2 0])

利用 MATLAB 根轨迹图获取信息 Command： a=zpk([ ],[0,-1,-2],1) rlocus(a) sgrid 绘制等阻尼比线

仿真结构图 取 Kg = 0.2, 0.385, 0.5, 1, 5 （ζ= 0.84） （ζ= 0.035） （分离点） （ζ= 0.51）

系统的单位阶跃响应 Kg=5 Kg=1 Kg=0.5 Kg=0.385 Kg=0.2

八. 根轨迹的出射角和入射角 出射角：根轨迹离开开环极点的切线方向与正实轴方向的夹角． 八. 根轨迹的出射角和入射角 出射角：根轨迹离开开环极点的切线方向与正实轴方向的夹角． 入射角：根轨迹到达开环零点的切线方向与正实轴方向的夹角． j 出射角 入射角

出射角和入射角的计算： j 出射角 入射角

p2 p1 p3 p4 z1 z2 z3 j 1 -1 -2 则开环零极点分布及实轴上的根轨迹如图 如何从p2,3 出发并趋向 z2,3？

根轨迹从p2出发的出射角: p2 p1 p3 p4 z1 z2 z3 1 -1 -2

根轨迹到达 z2 的入射角: p2 p1 p3 p4 z1 z2 z3 1 -1 -2

根轨迹图 j 响应性能与Kg的关系?

仿真结构图 取 Kg = 0.5, 1, 5, 10, 20, 50

系统的单位阶跃响应 Kg=50 Kg=20 Kg=10 Kg=5 Kg=1 Kg=0.5

九. 特征方程的根之和=开环极点之和 （n-m≥2） 计算时只须代入实部． 上式说明当某些根轨迹向左移动时，必有另一些根轨迹向右移动（见前面例）； 还可用于求解一个未知实数极点（其他已知时）。

闭环极点及传递函数的确定： 根据性能要求确定主导极点 由主导极点确定根轨迹增益 由根轨迹增益和已确定的极点计算其他闭环极点 σ 续前例： × -1 -2 σ jω -0.423 Kg=6 -60° 60° 根据性能要求确定主导极点 由主导极点确定根轨迹增益 由根轨迹增益和已确定的极点计算其他闭环极点 续前例： 要求一对主导极点的阻尼比ζ=0.707

1. 画出ζ线并确定主导极点

2．主导极点处对应的增益值用幅值条件求 0.73 1.66 0.54

如何用计算的办法确定主导极点及其对应的Kg？ 分别令实部和虚部为零，可得 虚部≠实部 时如何求？

3．求另一个闭环极点

4．求闭环传递函数 G(s) H(s) - R(s) Y(s) 若为单位反馈系统（H=1）， 则闭环传函为

零度根轨迹与根轨迹族的概念 K1从0变到+∞时，闭环极点的变化轨迹称为零度根轨迹。 零度根轨迹还可用于分析正反馈系统和非最小相位系统（有右半s平面零点或极点）。 G(s) H(s) - R(s) Y(s)

有右半s平面零点或极点的系统： 有右半s平面极点的情况同理。 G(s) H(s) - R(s) Y(s)

正反馈系统： G(s) H(s) R(s) Y(s) 根轨迹族：开环传递函数有多个参数变化时，闭环系统极点在s平面上的变化轨迹。

4-4. 参数根轨迹 例：已知系统结构图，绘制以α为可变参数 （从0变到 ∞）的根轨迹. - 相当于一种反馈校正

等效开环传函与原开环传函所对应的特征方程相同 （1）系统的开环传递函数与特征方程 - 特征方程为 （2）以　为参变量，特征方程可改写为 即 （等效开环传函） 绘制　　　 的根轨迹 等效开环传函与原开环传函所对应的特征方程相同 即改写前后的特征方程或特征根等效。

（3）开环极点 开环零点 （4）实轴上的根轨迹 （5）会合点 求 　　　，得 （6）出射角

α对响应性能的影响？ 若要求闭环极点 s1,2= -1，如何求闭环传函？

注意：闭环极点确定后求闭环传函时要用原开环传函Gk，不能用等效开环传函。 - 求闭环传递函数： α=1 注意：闭环极点确定后求闭环传函时要用原开环传函Gk，不能用等效开环传函。 练习：通过仿真验证α的作用

例： - 绘制以b为参变量的根轨迹。 R(s) Y(s) G(s) H(s) 相当于一种串联校正 特征方程为 绘制以 Kb 为参数, Gb 的根轨迹图（绘制过程略）.

b 对响应性能的影响？

根轨迹法分析系统的一般步骤： 绘制系统的根轨迹图； 分析根轨迹图，估计开环增益或其他参数对闭环极点分布的影响； 根据闭环零、极点的分布估算系统暂态响应性能； 对高阶系统要尽可能找出它的闭环主导极点； 若由根轨迹图无法确定满意的闭环极点，可通过增加校正装置（串联或反馈）来改变开环传函，从而改变根轨迹。

练习 B4.1, B4.4 (2) , B4.7