垂直关系 立体几何初步 北师大版 必修2 抚州市电教馆黄根

6.1平面与平面垂直的判定 目录 课前热身 标题 讲授新课 练习 范例 小结 作业

课前热身 1、直线与直线垂直 2、直线与平面垂直 3、平面与平面垂直 在空间中，空间图形有哪几种垂直关系？ 文字语言 图形语言 符号语言 n 1、直线与直线垂直 m m⊥n m m⊥α 2、直线与平面垂直 α   ⊥  3、平面与平面垂直 

平面与平面垂直的判定  

讲授新课 二面角 角 “二面角” “角” 演示图 演示图 迁移与拓展 ： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做? 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 一部分都叫做—— 想一想 射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做——— 半平面 迁移与拓展 ： 讲授新课 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做? 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做-? 二面角 角 “二面角” 演示图 “角” 演示图

“角”形成的动画演示图 动画演示后 的返回键

“二面角”形成的动画演示图 对比演示图

“角”形成的动画演示图 “二面角”形成的动画 演示图

二面角的棱; 二面角的面。 或者二面角α-AB-β 或者二面角C-AB-D 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 β 这条直线叫做 二面角的棱; α 这两个半平面叫做 二面角的面。 这样的二面角记作：二面角α-l-β 或者二面角α-AB-β 如图示 或者二面角C-AB-D 备注：版权声明 本资源盘由数学中国网站（www.mathschina.com）提供全部资源并全力支持出版、发行的电子出版物。少年智力开发报·数学专页、数学中国网站对该系列光盘拥有版权和总发行权。未经许可，任何组织或个人，不得以盈利为最终目的，非法拷贝、复制、解密该系列光盘，不得将其中的资源用于或者变相用于出版、发行之目的，否则将追究法律责任。 β α A B C D A β α B

上述二面角的运动变化过程中，两个半平面形成的 “二面角”形成的动画演示图 ？ 再看一次动画演示图 上述二面角的运动变化过程中，两个半平面形成的 “角度”的大小如何来确定 ？

定义 构成 表示法 图形 角 B O 边 顶点  面 棱 a  从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 二面角 B O 边 顶点  面 棱 a  图形 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 。 定义 二面角 构成 边—点—边 （顶点） 面—直线—面 （棱） 二面角α-AB-β 表示法 ∠AOB 或二面角α-a-β

α β F C D O OC是垂直于EF的射线 E OD也是垂直于EF的射线 2)过点O在α作垂线OC 3)过点O在β作垂线OD

C D 二面角的平面角应注意什么？ 1）角的顶点在棱上； 2）角的两边分别在两个面内； 3）角的两边都要垂直于二面角的棱； O C D E F α β 二面角的平面角应注意什么？ 1）角的顶点在棱上； 2）角的两边分别在两个面内； 3）角的两边都要垂直于二面角的棱； 4）二面角是用它的平面角来度量的， 一个二面角的平面角多大，就说这个 二面角是多少度的二面角； a β α O D C ∠COD= 90 备注：版权声明 本资源盘由数学中国网站（www.mathschina.com）提供全部资源并全力支持出版、发行的电子出版物。少年智力开发报·数学专页、数学中国网站对该系列光盘拥有版权和总发行权。未经许可，任何组织或个人，不得以盈利为最终目的，非法拷贝、复制、解密该系列光盘，不得将其中的资源用于或者变相用于出版、发行之目的，否则将追究法律责任。 5）二面角的取值范围一般 规定为___ ； 6）平面角是直角的二面角 叫做直二面角。如图示 [0,π] 二面角演示图 继续

“二面角”形成的动画演示图 返回f

面面垂直的定义： 除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢? 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 图形两种不同画法 记作 β α⊥β α α 除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢?

问题： 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？

问题： 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。  符号表示：  简记：线面垂直，则面面垂直 关键：找垂直平面的线

面面垂直的判定定理 β 那么这两个平面相互垂直． α A D B E C 作BE⊥CD。 在平面β内过B点， ＡＢ⊥β，ＣＤ⊥β ∵ ∴ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面相互垂直． 已知：直线AB平面，直线AB平面。 求证：平面 平面。 证明： 在平面β内过B点， 作BE⊥CD。 ＡＢ⊥β，ＣＤ⊥β ∵ α ∴ ＡＢ⊥ＣＤ 故∠ＡＢＥ是二面角－ＣＤ－的平面角 A ∵ ＡＢ⊥β，ＢＥ⊥β D β B E ∴ ＡＢ⊥ＢＥ ∴ 二面角－ＣＤ－β为直二面角 C 即平面 平面

√ √ √ 判断是非 1.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( ) 3.若平面内有一条直线垂直于平面 内的两条 相交直线，则一定有α⊥β . ( ) 2.若平面内有一条直线垂直于平面内无数条直线，则一定有 α⊥β ( ) 1.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( ) 4.若平面与不垂直,则平面内所有直线与 都 不垂直. ( ) √ √ √

例题详讲：（一） 指出或作出二面角的平面角 【例1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过C1、B、D三点作一个平面，试作出二面角C1－BD－C的平面角，并说明作图的根据．

【变式训练1】 如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试作出二面角A－BD－C的平面角，并说明作图的依据．

【例2】 如图，AB是 ⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是 圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 证明: 设已知⊙O平面为α ＰＡ⊥面，ＢＣ⊥面 ∴ＰＡ⊥ＢＣ 又∵ＡＢ为圆的直径 ∴ＡＣ⊥ＢＣ ∵ＰＡ　ＡＣ＝Ａ　　 ＰＡ　面ＰＡＣ，ＡＣ　面ＰＡＣ　 ∴ＢＣ⊥面ＰＡＣ ∵ＢＣ　面ＰＢＣ ∴面ＰＡ⊥面ＰＢＣ

【例2】 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，证明：平面PAC⊥平面PBC 1.你还能发现哪些面互相垂直？ 探究问题 在例2中 面PAC ⊥面ABC; 面PAB ⊥面ABC 2.三棱锥P-ABC的四个面的形状是怎样的？ A B O C P 都是直角三角形 3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗？ ∠PCA

小结 二面角－ l－  l 1、二面角及其它的平面角 2、平面与平面垂直的判定定理  A  二面角的范围：[ 0°, 180 °]． O A B 二面角－ l－  二面角的范围：[ 0°, 180 °]． α β l 2、平面与平面垂直的判定定理

3.两个平面垂直的判定方法： 证明面面垂直的本质和关键是什么？ 1)定义法： 2)判定定理： 找二面角的平面角 说明该平面角是直角。 2)判定定理： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 证明面面垂直的本质和关键是什么？  本质：线面垂直 面面垂直 关键：找垂直平面的线  线线垂直 面面垂直 线面垂直

1.课后作业1 课后作业 2.课后作业2 备注：版权声明 本资源盘由数学中国网站（www.mathschina.com）提供全部资源并全力支持出版、发行的电子出版物。少年智力开发报·数学专页、数学中国网站对该系列光盘拥有版权和总发行权。未经许可，任何组织或个人，不得以盈利为最终目的，非法拷贝、复制、解密该系列光盘，不得将其中的资源用于或者变相用于出版、发行之目的，否则将追究法律责任。

AC、AE都垂直于二面角的棱AF，它就是二面角的平面角 课后作业1：如图所示，DB、EC都垂直于正 所在的平面，且EC=BC=2BD，求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小。 解：延长ED交CB于F，连AF，则平面ABC∩平面ADE=AF， AF就是平面ADE与平面ABC的交线，也就是这两个平面所成的二面角的棱 ∴∠CAF=900,由三垂线定理AE⊥AF ∴∠EAC为二面角E-AF-C的平面角。在直角三角 形 ACE中，AC=EC， ∴∠EAC=450 因此平面ABC与平面ADE所成的角为450. AC、AE都垂直于二面角的棱AF，它就是二面角的平面角 备注：版权声明 本资源盘由数学中国网站（www.mathschina.com）提供全部资源并全力支持出版、发行的电子出版物。少年智力开发报·数学专页、数学中国网站对该系列光盘拥有版权和总发行权。未经许可，任何组织或个人，不得以盈利为最终目的，非法拷贝、复制、解密该系列光盘，不得将其中的资源用于或者变相用于出版、发行之目的，否则将追究法律责任。

课后作业2：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为CC1中点，O为底面ABCD的中心．求证：A1O⊥平面GBD.

分析：要证明线面垂直，可在平面GBD内找两条相交直线与A1O垂直． 证明：∵A1A⊥BD， AC⊥BD， A1A∩AC＝A， ∴BD⊥平面A1AO. 又A1O⊂平面A1AO， ∴BD⊥A1O.

又∵BD∩OG＝O， ∴A1O⊥平面GBD. 点评：(1)在证明线线垂直时，有时需从数量关系，即勾股定理的逆定理，或三角形的全等来找到垂直关系； (2)在证明线面垂直时，一定要在平面内找到和这条直线都垂直的两条相交直线，至于这两条直线是否与已知直线有交点是无关紧要的，但平面内的两条直线不能缺少“相交”这一条件．

又AB＝AD，所以AO⊥BD；BC＝CD，所以CO⊥BD. 因此，∠AOC为二面角A－BD－C的平面角． 解：取BD的中点O，连接AO、CO， 因为BD是二面角A－BD－C的棱， 又AB＝AD，所以AO⊥BD；BC＝CD，所以CO⊥BD. 因此，∠AOC为二面角A－BD－C的平面角． A C B o D

因为BD是二面角C1－BD－C的棱，ABCD－A1B1C1D1为正方体，O是底面正方形ABCD对角线BD的中点， 解：取BD的中点O，连接CO、C1O， 因为BD是二面角C1－BD－C的棱，ABCD－A1B1C1D1为正方体，O是底面正方形ABCD对角线BD的中点， 所以CO⊥BD，又C1D＝C1B，所以C1O⊥BD. 因此，∠C1OC即为二面角C1－BD－C的平面角 A B C D A1 B1 C1 D1 o