新疆奎屯市第一高级中学 人教版高一数学第二学期第五章 第5.3.2节 2019/4/25 《高中数学同步辅导课程》 平面向量的基本定理 人教版高一数学第二学期第五章 第5.3.2节 主讲：特级教师 王新敞 王新敞 源头学子

①平面内的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示； ②能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示． 教学目的： 1．了解平面向量基本定理的证明． 2. 掌握平面向量基本定理及其应用： ①平面内的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示； ②能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示． 教学重点： 平面内任一向量用两个不共线非零向量表示. 教学难点： 平面向量基本定理的理解. 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

1.向量加法的平行四边形法则 2.向量加法的三角形法则 一、复习引入 1.向量加法的平行四边形法则 D C B A 2.向量加法的三角形法则 C A B 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

一、复习引入 3.向量的数乘运算的定义 其方向和长度规定如下: 如：当λ＝3时的图示 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

若已知 ，能用 、 表示吗？ 已知 和 ,试作出d=2 +3 D O OD = d = 一、复习引入 4.向量的数乘、加法混合运算作图 若已知 ，能用 、 表示吗？ D O OD = d = 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

那么平面内的任一向量能否用两个不共线的向量来表示呢？ 5.实际问题的需要 火箭在飞行过程中的某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。在利用平行四边形法则对速度进行分解的过程中，我们看到一个速度可以分解为两个不共线方向的速度之和。 那么平面内的任一向量能否用两个不共线的向量来表示呢？ 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

设 、 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的任一向量， 二、重难点讲解 设 、 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的任一向量， 我们研究 与 、 之间的关系。 M A O N 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

二、重难点讲解 平面向量基本定理: 如果 、 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 、 使 如果 、 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 、 使 我们把不共线的向量 、 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底。 研究更一般的情况 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

(1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 新疆奎屯市第一高级中学 2019/4/25 二、重难点讲解 平面向量基本定理: 探究： (1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量 在给出基底 、 的条件下进行分解； (4)基底 给定时，分解形式唯一. 是由 、 、 唯一确定的数量 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子 王新敞 源头学子

(6)若基底选取不同，则表示同一向量的实数 、 是否相同？ 新疆奎屯市第一高级中学 2019/4/25 二、重难点讲解 平面向量基本定理 探究： （5）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） (6)若基底选取不同，则表示同一向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同） (7)特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ： = = 0 (8)特别的，若 与 共线，则有， 使得: 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子 王新敞 源头学子

三、例题讲解 例1 已知向量 、 ，求作向量 . 解:作图顺序如下： C B O A 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

例2 如图 ， ABCD的两条对角线相交于点M,且 、 ，用 、 表示 、 、 和 解 D C 在 ABCD中 M A B 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

例3 如图， 、 不共线， ， 用 、 , 表示 . P 解： B A O 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

C D E A B F 例4 ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？ 解： 取基底 则有 ∵ 共线，又无公共点, 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

四、练习 1.如图，已知向量 、 求作下列向量： A B A B O C O 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

四、练习 1.如图，已知向量 、 求作下列向量： B A A B C O O 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

四、练习 1.如图，已知向量 、 求作下列向量： O O C A B A B 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

2. 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、MN对应的向量中确定一组基底，将其他向 量用这组基底表示出来。 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

2. 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 参考答案： 取基底 ,则有 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.即 五、小结 本节学习了： （1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.即 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法. （2）能够在具体问题中适当的选取基底，使其它向量都能够统一用这组基底来表达. 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子

再见！ 作业 课本 P118-119 习题5.3 5 ~7 本节课到此结束，请同学们课后再做好复习。谢谢！ 2019/4/25 特级教师王新敞----源头学子