第一章 行列式 Determinant

行列式的历史 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

联合收入问题 R,S,T三公司有右图股份关系。R公司拥有T公司60%股份，T公司掌握R公司20%股份…，R,S,T各自营业净收入分别是10、8和6万元。求各公司联合收入及实际收入。 R S T 0.6 0.8 0.2 0.1 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

联合收入问题 R S T 0.6 0.8 0.2 0.1 联合收入=本公司营业净收入+其在他公司股份比例的提成收入 实际收入=联合收入－其他公司股份提成 设：R,S,T联合收入分别为x,y,z，则三公司实际收入分别为0.8x, 0.1y, 0.2z 整理为 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.1 目的要求 熟练掌握按第一列展开的行列式定义 掌握余子式、代数余子式的定义 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的定义 由n行n列共n2个元素组成, 称为n阶行列式. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

arj的余子式Mrj 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的定义 其中 Mrj为arj的余子式. 定义arj的代数余子式为Arj= (－1)r+jMrj, 则 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例1. 二阶行列式 － + 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例2. 三阶行列式 4阶及4阶以上行列式不遵循此规则! + － 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例3. 比较下列两行列式的第一列元素余子式，你有怎样的结论？ 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.2-1.4 目的要求 熟练理解和掌握行列式的性质 了解用归纳法证明的步骤与模式 能够利用行列式性质计算行列式的值 熟练掌握两个重要公式(性质10) 掌握和应用Cramer法则 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质1 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

归纳法 （对行列式阶数） 验证结论对n = 1(或2)时成立 归纳假设对任意满足命题条件的n－ 1阶行列式命题成立 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质2 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质3 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质4 = 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质5 = 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质6 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质7 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质 性质5’ 若行列式A的两列相同，则A=0. 性质6’ A, B, C是三个n阶行列式, 若C的第r列元素是A的第r列元素和B的第r列元素的和, 即 cir=air+bir, i=1,2,…,n, 而A, B, C的其他列元素 cij=aij=bij, j≠i, i,j=1,2,…,n, 则C=A+B. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

A=a1j A1j+a2j A2j+…+anj Anj. A=ai1 Ai1+ai2 Ai2+…+ain Ain. 行列式的性质 性质7’ 将行列式某一列乘以常数c, 则行列式值为原来的c倍; 即行列式某一列的公因子可以提到行列式外面. 性质4’ 互换行列式任意两列, 行列式值改号. 性质8 (行列式按第j列展开) A=a1j A1j+a2j A2j+…+anj Anj. 性质8’ (行列式按第i行展开) A=ai1 Ai1+ai2 Ai2+…+ain Ain. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质9(重要公式) 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式性质10 = 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

Cramer法则 若该方程组的系数行列式的值不为0,则方程组有唯一解, xi=Ai / A, i=1,2,…,n. 其中Aj是一个n阶行列式, 它由A去掉第j列换成由方程组常数项b1, b2, …, bn组成的列得到. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 计算A41+A42+A43及A44+A45. 其中 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

问题: 线性方程组系数行列式≠0呢? 线性方程组方程个数≠未定元个数呢? 行列式该如何计算? 哪些行列式性质在行列式计算中用途最广? 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的性质 上(下)三角行列式的值为其所有对角元之积. 将行列式某行(列)乘以常数c, 则行列式值为原来的c倍; 即行列式某行(列)的公因子可以提到行列式外面. 互换行列式任意两行(列), 行列式值改号. 行列式两行(列)对应元素成比例, 则行列式值为0. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的性质 将行列式的一行(列)乘以某个常数c加到另一行(列)上去, 行列式值不变. 以上结论对列也成立. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.5 目的要求 利用行列式性质, 掌握计算行列式的典型方法 掌握用归纳法求行列式的值 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的计算 普遍法则 三角化法： 降阶法： 对行列式通过恒等变形化为上(下)三角行列式. 直接降阶: 按行列式中非零元素较少的行(列)展开. 间接降阶: 利用行列式性质, 使行列式的某行(列)具有较少的非零元, 再按其展开. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例1 例2 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例3 例4 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例5 例6 归纳法II 归纳法I 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例7 归纳法III 设a, b是 的根, 则 化为归纳法I或II 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例8* 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的计算 特殊行列式计算 1. 消去第一列（行）后成三角行列式 直接按第一行（列）展开 削去行列式第二列后所有对角元或次对角元，再展开 直接按第一列展开 2. 加边法，化原行列式如2.形式 最后一行（列）消去其他各行（列），化为型如2.形式 3. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的计算 常用技巧 归纳法： I II III a ≠ b时化为 II 的情形, a = b时化为I的情形. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.6 目的要求 掌握行列式的等价定义，了解其含义 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

逆序数 定义 由1, 2, …, n组成一个有序数组称为一个n级排列. 在一个n级排列(k1, k2, …, kn)中, 如一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数, 那么就称为一个逆序. 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数, 记为N(k1, k2, …, kn). 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

逆序数的计算 法1 (按位置)在(k1, k2, …, kn)中, 设k1后有m1个数比k1小, k2后有m2个数比k2小, …, kn-1后有mn-1个数比kn-1小. 则 N(k1, k2, …, kn)= m1+ m2+…+ mn-1. 法2 (按值)在(k1, k2, …, kn)中, 设n后有ln个数比n小, n-1后有ln-1个数比n-1小, …, 2后有l2个数比2小. 则 N(k1, k2, …, kn)= ln + ln-1 +…+ l2. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

奇排列 偶排列 定义 若排列(k1, k2, …, kn)的逆序数为偶数(含0), 则称之为偶排列; 若排列(k1, k2, …, kn)的逆序数为奇数, 则称之为奇排列. 引理 设 (k1, k2, …, kn)为一个n级排列, 若将其中ki与kj位置对换, 其余保持不动, 则改变排列的奇偶性. 引理 在n!个不同的n个数的全排列中, 奇排列与偶排列各占一半. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例1 求下列排列的逆序数 N(5, 2, 1, 4, 2), N(1, 2, …, n), N(n, n-1, …, 2, 1) 例2 选适当的i, k使 1 2 7 4 i 5 6 k 9 成偶排列 1 i 2 5 k 4 8 9 7 成奇排列 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量 由n个元素组成的n维列向量 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量的运算 两向量α与β的和 数k与向量α的数乘 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量运算律 交换律：α+β = β+α 结合律： (α+β ) +γ = α+ (β+γ) 零向量： 0 +α=α+ 0 = α 负向量：α+ (－α) = 0 1·α=α k(α+β )= kα+ kβ (k+l)α= kα+ lα (kl)α= (kl)α 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

n维标准单位向量 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的等价定义-1 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的等价定义-2 注1 n阶行列式展开式共有n!项 注2 每项为取自不同行不同列的n个元素之积 注3 每项前面的正负号行下标组成的全排列的逆序数(及列下标组成的全排列的逆序数)之和 注4 行列式的结果是一个数值 注5 行列式所有性质均可由此定义推出 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例3 求 例4 由n(>1)阶行列式 证明奇偶排列各半. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例5 写出5阶行列式中含有因子a32a13并带正号的所有项 例6 求f (x)中x4与x3的系数, 其中 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

行列式的等价定义-3 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

再议行列式的计算 常用技巧 提取因子法： 拆分法：A=B+C 行和相等时，各行加到第一行，提取公因子 文字行列式，当文字取某些值时可使行列式为零，则行列式含此因子；结合行列式定义，可得行列式值 各列 拆分法：A=B+C 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例7 计算下列行列式 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116 §1.7 目的要求 理解Laplace定理的含义，会用其解决实际问题 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

k阶子式、余子式、代数余子式 k 阶子式 k 阶余子式 k 阶代数余子式 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

Laplace定理-1 设A是n阶行列式, 在A中任取k行(列), 那么含于这k行(列) 的全部k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于A. 即若取定k个行: 则 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例1 固定2, 4两行, 按照Laplace定理写出计算4阶行列式的公式. 并计算下列行列式的值. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

Laplace定理-2 引理 n阶行列式A的任一k阶子式与其代数余子式之积展开式中每一项都是A的展开式中的一项. 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例2 求下列行列式的值 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例3 求下列行列式的值 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116