人工压缩性方法 郭 红
问题背景 对于不可压N-S方程 连续性方程(2)中缺少时间导数项,因此压力梯度项 只在动量方程(1)中存在。由于不可压粘性流动中的 密度可以看作常数,因此压力只和流场中的速度有 关。压力和速度的关系是隐含在连续性方程中的, 这样无法从不可压N-S方程中直接求解流场中的压力 场。因此,如何构造求解压力场的方程成为一个关 键问题。
基本思想 为了解决上述难题,1967年,Chorin提出了人工压 缩性方法。即在连续性方程中引入人工压缩性,人 为地加入一项压力随时间的变化项。这样连续性方 程可写为: 其中 是人工压缩性参数, 越大,加入人工压缩项 的方程越接近原来的不可压N-S方程。
数值算法-MAC网格法 在交错网格上对方程(1)(3)离散化 对(1)(3)中的时间项采用 简单的显式格式,对(1) 中的其余项直接采用上 一时间步的结果,对(3) 中的其余项为将要计算 的时间步的未知量。
数值算法-迭代 1,在动量方程(1)中,取定 ,得到中间值 ; 2,对方程(3)中的时间项采用显式格式,其余项采用完全隐式格式: 1,在动量方程(1)中,取定 ,得到中间值 ; 2,对方程(3)中的时间项采用显式格式,其余项采用完全隐式格式: 3,(4)中的 可以由下式表示: 4,(5)代入(4)中,求得
数值算法-ADI 人工压缩性方法是为定常流设计的,所以尽量采用 隐式算法。在高维问题的数值算法中,尽量避免一 次求得所有未知量的情况,故交替方向隐式格式是 很好的选择。将方程(1)(3)改写为下列形式: 其中, ,E、F、G分别为三个方向的通量。对(6)中时间导数项应用梯形法则后得到
其中, 对(7)左端项进行对角Beam-Warming分解: 下面可以对(8)采用ADI格式