五、 功 水压力和引力 (一)变力沿直线段作功: 恒力作功： O a b F(x) 设有一变力F(x) 随位移x 而变， 五、 功 水压力和引力 (一)变力沿直线段作功: 恒力作功： O a x x+dx b F(x) 设有一变力F(x) 随位移x 而变， 求它把物体由 a 移动到 b 所作的功。 取 x 为积分变量，它的变化区间为[a,b] ,在此区间上任取 小区间[x, x +dx],在此小区间上变力所作的功近似等于以 x 点的 力为恒力所作的功，这个小区间功的近似值即为功元素。 即功元素为: 于是所求的功为:

电荷从 r =a 沿 r 轴移动到 r =b 时，求电场力对它所作的功。 把一个带 +q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点 O 处， 有一个单位正电荷放在距离原点 O 为r 的地方，当这个单位正 例1 任一点r处单位点电荷受到的电场力为： 解： 在 上任取小区间 由物理学知： O R a b r r+dr 则功元素为: 所以电场力所作的功为： 注 在计算电场中某点的电位时，要计算将单位正电荷从该点 处（r =a）移到无穷远处时电场力所作的功。

例2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量气体。在等 推移到点 b 处，计算在移动过程中，气体压力所作的功。 温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞从点 a 处 解 先利用题设把力表示为 x 的函数 S 由物理学知道， 一定量的气体在等温条件下， 压强 p 与体积V 成反比， 即 所以 因为

当活塞离O点 x 处，气体 作用在活塞上的力为 功元素为 在 上任取小区间 故所求的功为

例3* 一圆柱形的贮水桶高为 Hm，底圆 较原例题稍有变化 半径为Rm，桶内盛满了水，试问要把桶内 的水全部吸出至少需作多少功？ O 分析: x x+dx R 把一个重量为 G的物体提高高度为 h， 最少需作的功是： 分析: 解 建立坐标系如图： 在[0，H]上任取小区间[x,x+dx] 得功元素： 水的密度 为103kg/m3 重力加速度 g取10m/s2 于是所求的功为：

例4 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉 击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入 1 厘米，如 果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤打击第二次时，铁钉 又击入多少？ 习题6-5 5 作业纸 10 解 建立坐标系如图: 由于铁钉受到的阻力与其进入木板 为 时， 所受到的阻力为 的深度成正比，当铁钉进入木板的深度 （其中 为比例系数） 在 上任取小区间 则功元素为 第一次所做的功

则第二次所做的功为 第二次锤击时又击入 解得： 舍去负值， 则

(二)液体的压力 由物理学知道，一面积为A 的平板 水平地放置在液体深为h处，平板一侧 所受液体的压力为： 如右图垂直放在液体中的薄板， 取深度x为积分变量，它的变化区间 为[a,b]，在[a,b]上取代表区间 [x，x+dx],可以得到相应小窄条薄 板一侧受到的液体压力元素： y = f (x) a O b x x+dx y

例5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛 有半桶水。设桶的底半径为 R ，水的比重 为 , 计算桶的一个端面所受水的压力。 解: 例5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛 有半桶水。设桶的底半径为 R ，水的比重 为 , 计算桶的一个端面所受水的压力。 解: 建立如图所示的坐标系， 则圆的方程为： x 2+ y 2= R 2 O X Y x x+dx R 水桶相应于这一小区间的窄条所受 水的压力的近似值即压力元素为 在OX轴上任取小区间[x,x+dx],

于是所求水的压力为： 水的密度 103kg/m3 在统一量纲计算时，值为1.

设有一长为 l，质量为M的均匀细杆，另有一质量为m的 质点与细杆在同一条直线上，它到杆的近端距离为a，计算细 杆对质点的引力。 (三)引力 从物理学知道，质量分别为 相距为 的两质点间 的引力的大小为： (其中G 为引力常数） 补充例题： 设有一长为 l，质量为M的均匀细杆，另有一质量为m的 质点与细杆在同一条直线上，它到杆的近端距离为a，计算细 杆对质点的引力。 m O x x+dx a l 解:建立坐标系如图。 以 x 为积分变量，在[0,l]上 取小区间[x，x+dx],相应于这段杆长为dx, 且看作集中在 x 点处。由万有引力公式：

注：这是一种较为简单的情况，如果质点与细杆不在一条直线 上，则必须将引力分解为水平和垂直两个方向分力，然后分别相加。

线密度为 的均匀细直棒，在其中 例6 垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点 试计算该棒对质 点的引力。 设有一长度为 解 建立如图所示的坐标系, 在区间 上任取一小区间 在这个小区间的一段细棒看成是质点， 它对于质点 的引力（即引力元素）为： 在水平方向的分力的大小为：

故细棒对质点的引力在水平方向的 分力的大小为 （方向由 指向原点 ） 由于对称性，引力在铅直方向的分力为： 当细棒的长度很大时，可视为 趋于无穷，此时引力大小 方向与细棒垂直，且由 指向细棒。

第六节 平均值 一、函数的平均值 1、n 个数的算术平均值： 设有n个数y1， y2， … yn 2、函数 y = f (x)在区间[a,b]上的平均值的定义： 把区间[a,b]分成 n 等分，每个小区间的长度为 在每个小区间内取一点xi，其相应的函数值为 f ( xi )

分法越细，近似值的精确度越高。当分法无限变细的时候， 也可记作：

例1 求从0到 T 秒这段时间内，自由落体运动的平均速度。 解：平均速度就是速度函数的平均值。 自由落体运动的速度 v = gt 定积分中值定理: O x y f() y=f(x) a b  可以看出：平均值的表达式 正是定积分的中值定理中的 f(). 见右图. 例1 求从0到 T 秒这段时间内，自由落体运动的平均速度。 解：平均速度就是速度函数的平均值。 自由落体运动的速度 v = gt

例2 计算纯电阻电路中正弦交流电 在一个周期上 的功率的平均值（简称平均功率）。 解 设电阻为 R，那么电路中的电压为： 从而功率： 则功率在一个周期的区间 上的平均值为

二. 均方根 称这个I 值为i(t) 的有效值。 等于取固定值 I 的恒定电流在 R 上消耗的功率时， 当 i(t) 在它的一个周期 T 内在负载电阻 R 上消耗的平均 1、周期性非恒定电流 i(t) 的有效值的定义 功率，

2、周期性非恒定电流 i(t) 的有效值的计算 固定值为 I 的电流在电阻 R 上消耗的功率为 I 2R 电流 i(t) 在 R上消耗的功率为： 它在 [0，T] 上的平均值为： 因此 从而非恒定电流 i(t) 的有效值

正弦电流 的有效值为 3、f(x) 在[a，b]上的均方根 我们把 叫做 f(x) 在[a，b] 上的均方根。 所以，上述非恒定电流 i(x)的有效值，就是这电流在一个 周期上的均方根。

小 结 作业: 总习题六 作业纸：P 45—46 学习指导：例6.19—6.25 例6.26—6.38选做 自测题 小 结 3．引力。（参见例题） １．变力F(x)沿直线有a到b所作的功： 2．水压力： 4．函数 f(x) 在[a，b]上的平均值： 5．函数f(x) 在[a，b]上的均方根： 作业: 总习题六 作业纸：P 45—46 学习指导：例6.19—6.25 例6.26—6.38选做 自测题