第 4 章 空 间 力 系 空间 汇交力系 空间 平行力系 空间 任意力系

§4-1 空间汇交力系

一、力在直角坐标轴上的投影 A B C D F G E 已知： 直接投影法

A B C D E F G 间接（二次）投影法 已知：

二、空间汇交力系的合成与平衡条件 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过汇交点. 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理 合力的大小 方向余弦

空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.

例题：物块Q重为420N,由撑杆AB和链条AC,AD所支撑,如AB=116cm,AC=64cm,AD=48cm,矩形CADE平面是水平的,而平面Ⅰ,Ⅱ则是铅垂的,试求杆AB的内力和链条AC,AD的拉力. Q B A C E D Ⅰ Ⅱ 解题步骤： 1.取研究对象，画受力图； 2.列平衡方程； 3.解未知量。

解：取A节点为研究对象. FAB = 580N （压力） TAC = 320N TAD = 240N z x TAD TAC FAB y Q E D Ⅰ Ⅱ x TAD TAC FAB y FAB = 580N （压力） TAC = 320N TAD = 240N

§4-2 力对点的矩和力对轴的矩

一、  力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 O 说明： （2)方向：右手螺旋 (3)矩矢的解析表达式

又 则 力对点O的矩 在 三个坐标轴上的投影为 ★

F z Fz 二.力对轴的矩 P Fxy o h 说明： （1）代数量，符号判断：右手螺旋法则

力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零. （2）何时 F z Fz P Fxy o h 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.

(3) 解析表达式 ★幻灯片 8

三、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 即力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩.

例题：力F作用在边长为a的立方体上如图所示.求力F对三个坐标轴的矩. x y z

例题：已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 求：力P对三个坐标轴的矩

解：1.根据定义

2.根据力对点的矩与轴的矩之间的关系

§4-3 空 间 力 偶

一、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢 力偶矩矢 空间力偶的三要素 （1） 力偶矩大小：力与力偶臂的乘积； （2） 力偶矩矢的方向：右手螺旋； （3） 作用面：力偶作用面。 转向：右手螺旋

二、空间力偶的性质 (1）力偶中在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改变而改变。 力偶矩矢

空间力偶等效定理：作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果力偶矩矢相等，则他们彼此等效。

（3）只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. =

(4)只要保持力偶矩矢不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变. =

三．空间力偶系的合成与平衡条件 1．空间力偶系的合成 空间力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.

合力偶矩矢的大小和方向

2．空间力偶系的平衡 空间力偶系平衡的充分必要条件是 合力偶矩矢等于零 称为空间力偶系的平衡方程. 各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和为零

例题：已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计.

解：取整体分析 由于力偶只能与力偶平衡，A,B处的约束力应形成力偶

§4-4 空间任意力系向一点的 简化·主矢和主矩

一．  空间任意力系向一点的简化 ★ 其中，各 ， 空间汇交力系与空间力偶系.

空间汇交力系的合力 称为空间力系的主矢 空间力偶系的合力偶 称为空间力系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系

§4-5 空间任意力系的平衡方程

一.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.

说明： （1）6个方程，求解6个未知量； （2）也有四矩式、五矩式、六矩式，条件比较复杂； （3）空间平行力系的平衡方程

例题 :重为G的均质正方形板置于水平面内,求球铰链O和蝶铰链A处的约束力及绳的拉力. z y x o D 600 B C b 47

A z y x o D 600 B C 解:以板为研究对象，画受力图 FAz FOZ Ft FOy Fox FAx G b 48

A z y x o D 600 B C FAz FOZ Ft FOy Fox FAx G b 49

例题. 边长为a 的正方形薄板由六根杆支持如图所示.不计板的重量,并把杆看作二力杆. 求当板上有一力偶M作用时各杆的内力. D B C D' A' B' C' 1 2 3 4 5 6 M

解：取薄板为研究对象 画受力图. z M F6 F5 F2 y F4 a F1 x A D B C D' A' B' C' 1 2 3 4

x z y a A D B C D' A' B' C' 1 2 3 4 5 6 M F5 F6 F2 F3 F4 F1

x z y a A D B C D' A' B' C' 1 2 3 4 5 6 M F5 F6 F2 F3 F4 F1

§4–6 重 心

一、平行力系的中心 平行力系合力作用点的位置称为平行力系的中心

投影式

二．  物体的重心 重力可看作平行力系 对均质物体:

对均质等厚度的薄板 对均质等截面的细杆 均质物体重心为几何形状中心（形心）

例题：求图示平面图形的形心. 5m 15m 20m

解: (1)分割法 A1=75m2,C1(2.5,7.5) 坐标如图，把平面图形分为 Ⅰ和Ⅱ两部分. Ⅱ Ⅰ x y o 解: (1)分割法 坐标如图，把平面图形分为 Ⅰ和Ⅱ两部分. C1 A1=75m2,C1(2.5,7.5) Ⅱ Ⅰ C2 A2=75m2,C2(12.5,2.5)

(2) 负面积法 取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A. A1=15×20m2， C1(10,7.5) A 以及负面积的矩形B. x o (2) 负面积法 5m 15m 20m x y o 取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A. C2 B A1=15×20m2， C1(10,7.5) A C1 以及负面积的矩形B. A2=－15×10m2， C2(12.5,10)