现代控制理论

第4章 控制系统的状态空间设计 4.1 状态反馈和输出反馈 4.2 极点配置 4.3 解耦控制 4.4 状态观测器设计 第4章 控制系统的状态空间设计 4.1 状态反馈和输出反馈 4.2 极点配置 4.3 解耦控制 4.4 状态观测器设计 4.5 带状态观测器的状态反馈闭环系统

4.1 状态反馈与输出反馈 4.1.1 状态反馈 将被控系统（A，B，C）的状态变量，按照线性 反馈的规律反馈至输入端，构成闭环系统，这种控制规律称为状态反馈。其方框图如下 r ∫ A u x y C B K 其中：K称为状态反馈阵：r n常数阵

下面推导状态反馈闭环系统的数学模型 状态反馈律 u = r  Kx 简记为K[(A  BK),B,C] 由此可见，经过状态反馈后，系数矩阵C和B没有变化，仅仅是系统矩阵发生了变化，变成了(A  BK)。也就是说状态反馈矩阵K的引入，没有增加新的状态变量，也没有增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能。

4．1．2 输出反馈 输出反馈是将受控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端，构成闭环系统。这种控制规律称为输出反馈。经典控制理论中所讨论的反馈就是这种反馈，其结构图如下。 r ∫ A u x y C B H

状态反馈控制律为 u = r – H y 可得输出反馈闭环系统的状态空间表达式 简记为H[(A  BHC )，B，C]。 由此可见，与状态反馈一样，经过输出反馈后，闭环系统同样没有引入新的状态变量，仅仅是系统矩阵变成了（A  BHC）。比较这两种反馈形式，若令K = HC，则Kx = HCx = Hy。因此输出反馈只是状态反馈的一种特殊情况。

4.1.3 闭环系统的能控性和能观测性 定理4-1 状态反馈不改变受控系统0(A,B,C)的能控性，但却不一定保持系统的能观测性。 证明 因为原受控系统0(A,B,C )的能控性矩阵为 [ B AB … An1B ] 而状态反馈闭环系统K的能控性矩阵为 [ B (A  BK)B … (A  BK)n1B ] (ABK)B=AB  BKB,这表明(A  BK)B的列向量可以由[B AB]的列向量的线性组合来表示。(A BK)2B的列向量可以由[B AB A2B]的列向量的线性组合来表示。 [B (A  BK) … (A  BK) n 1B]的列向量可以由[B AB … A n 1B]的列向量的线性组合来表示。因此有

rank[ B (A  BK)B … (A  BK)n1B ]  rank [ B AB … An1B ] 而受控系统又可认为是系统K[(A  BK),B,C ]通过K阵正反馈构成的状态反馈系统。于是有 rank [ B AB … An1B ]  rank[ B (A  BK)B … (A  BK)n1B ] 要使两不等式同时成立，只能是 rank [ B AB … An1B ] = 所以状态反馈前后系统的能控性不变。

定理4-2 输出反馈系统不改变原受控系统0的能控性和能观测性. 证明 因为输出反馈是状态反馈的一种特殊情况，因此输出反馈和状态反馈一样，也保持了受控系统的能控性不变。 关于能观测性不变，可由输出反馈前后两系统的能观测矩阵 和 仿照定理4-1的证明方法，可以证明上述两能观测性矩阵的秩相等，因此输出反馈保持原受控系统的能观测性不变。

例4-1 设系统的状态空间表达式为 试分析系统引入状态反馈K = [3 1]后的能控性和能观测性。 1 2 1 Qo= = C CA 1 2 解： Qc=[B AB ] = 7 4 系统是能控的且能观测 。引入K = [3 1]后，闭环系统K的状态空间表达式 Qc= 1 2 Qo= 1 2 系统K是能控的，但不是能观测的。

4.2 极点配置 控制系统的稳定性和动态性能主要取决于系统的闭环极点在根平面上的分布。因此在进行系统设计时，可以根据对系统性能的要求，规定系统的闭环极点应有的位置。所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。 4.2.1 状态反馈极点配置 1． 极点配置定理 定理4-3 受控系统0(A，B，C )利用状态反馈矩阵K，能使其闭环极点任意配置的充要条件是受控系统0完全能控。 证明 为简单起见，设受控系统o为单变量系统，其状态空间表达式为

设0完全能控，则必存在非奇异线性变换 ，将它化成能控标准型 ⑴ 充分性：即若0完全能控，则闭环极点必能任意配置。 设0完全能控，则必存在非奇异线性变换 ，将它化成能控标准型

受控系统0的传递函数为 取状态反馈阵为 则闭环的系统矩阵 为

而闭环系统的传递函数为 其闭环特征多项式为 设希望的闭环极点为s1，s2，…，sn，则希望的闭环特征多项式为 (s s1) (s s2) … (s sn) = sn + a1*s n 1 +…+ an*

根据状态反馈控制律在线性变换前后的表达式 可得到原系统0的状态反馈阵为 ⑵ 必要性：即若原系统0可由状态反馈任意配置极点，则0完全能控。采用反证法，即假设0通过状态反馈可任意配置极点，但0为不完全能控。 因为系统0不完全能控，故必可采用线性变换，将系统分解为能控和不能控两部分， 引入状态反馈

系统变为 对应的特征多项式为 上式说明，利用状态反馈只能改变系统能控部分的极点，而不能改变不能控部分的极点。也就是说，在这种情况下，不可能任意配置系统的全部极点，这与假设相矛盾，因此系统是完全能控的。必要性得证。

2． 性质 ⑴ 状态反馈不能改变系统的零点。由上述定理的证明过程中，状态反馈前后传递函数的分子多项式相同，也就是说状态反馈不能改变系统的零点。 由于状态反馈可以任意配置极点，因此有可能使系统产生零、极点对消，从而使状态反馈不能保持原系统的能观测性。这就回答了前面曾提出的问题。只有当原系统不含有零点时，状态反馈才能保持原系统的能观测性。该性质适用于单输入系统，但不适用于多输入系统。

⑵ 当受控系统不完全能控时，状态反馈只能任意配置系统能控部分的极点，而不能改变不能控部分的极点。 ⑶ 上述极点配置定理对多输入多输出系统也是成立的，区别在于后者的状态反馈阵K不是唯一的，而对单变量系统K阵是唯一的。原因在于多输入多输出系统的能控标准形不是唯一的。

3． K阵的求法 在以上充分性的证明过程中实际上已经给出了求取状态反馈K阵的方法。 ⑴ 利用能控标准形求K阵。首先求将0变换成能控标准形的线性变换P阵。然后根据要求的极点配置，计算状态反馈阵 。 最后将 变换成对原系统0的状态反馈阵K， 。 该方法比较麻烦，但对高阶系统是一种通用的计算方法，在利用计算机求K阵时，通常采用这种方法。

⑵ 直接求K阵的方法。 首先根据要求的极点配置，写出希望的闭环特征多项式。然后令状态反馈闭环系统的特征多项式 | sI  (A  BK) | = 希望的特征多项式 得到n个代数方程。求解这个代数方程组，即可求出K阵。 这种方法适用于低阶系统手工计算K阵的场合。

例4-2 已知系统的状态空间表达式为 试求使状态反馈系统具有极点为 1和 2的状态反馈阵K。 解： 因为 原系统是完全能控的，通过状态反馈可以实现任意的极点配置。 设 K = [ k1 k2 ] 则状态反馈闭环系统的特征多项式为

而希望的特征多项式为 (s+1) (s+2) = s2 + 3s + 2 可解得： k1 = 4，k2 = 1 K =[ k1 k2 ] = [ 4 1 ]

1 u 2 x1 ∫ x2 1 y r 4

4．2．2 具有输入变换器和串联补偿器的状态反馈极点配置(自学) 4．2．2 具有输入变换器和串联补偿器的状态反馈极点配置(自学) r(t) F Gc(s) Gp(s) y(t) K x(t) 首先根据期望的闭环传递函数设计串联补偿器Gc(s)，实现要求的极点个数和要求的闭环零点。 然后通过状态反馈实现要求的闭环极点。 最后根据要求的闭环传递系数，确定输入变换器F。

试设计串联补偿器Gc(s)、状态反馈阵K和输入变换器F。 例4-3 已知原受控系统的结构图 u(t) s 1 s + 2 x2(t) x1(t) = y(t) 而期望的闭环传递函数为 试设计串联补偿器Gc(s)、状态反馈阵K和输入变换器F。 解：（1）设计Gc(s) 写出受控系统的状态空间表达式和传递函数分别为

与期望的闭环传递函数相比，需要增加一个闭环极点。由于闭环极点的位置可由状态反馈自由地移动，所以从实现方便着眼，可选串联补偿器的传递函数为

⑵ 设计状态反馈阵K 设状态反馈阵K为 K = [ k1 k2 k3 ] 则状态反馈闭环系统的特征多项式为 ︱sI  (A  BK)︱= s3 + (3.5+k3) s2 + (2.5 +2k2+ k3)s + 2k1 又由期望的闭环传递函数的分母多项式 (s2+14.4s+100) (s +40) = s3 + 54.4s2 + 676s + 4000

K = [ k1 k2 k3 ] = [ 2000 311.3 50.9 ] (3) 确定输入变换器F F = 4000/2 =2000 r(t) u=x3 s 1 s + 2 x2 x1= y(t) s + 2.5 u 2000 311.3 50.9

一般除上例所述情况外，有时还可能遇到下面几种情况： (1)需追加零点。如果期望的闭环传递函数存在零点，例如 而受控系统的传递函数为 补偿器的传递函数可选为

(2)需移动零点。 补偿器的传递函数可选为 (3)需消除零点。 补偿器的传递函数可选为

∫ 4.2.3 输出反馈极点配置 输出反馈有两种方式，下面均以多输入－单输出受控对象为例来讨论。 1．输出反馈至状态微分 4.2.3 输出反馈极点配置 输出反馈有两种方式，下面均以多输入－单输出受控对象为例来讨论。 1．输出反馈至状态微分 ∫ A u x y C B H 该受控系统的状态空间表达式为 则输出反馈闭环系统为

定理4-4 采用输出至状态微分的反馈可任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统状态完全能观测。 证明 用对偶原理来证明。若（A，B，C）能观测，则对偶系统（AT，CT，BT）能控。由状态反馈极点配置定理可知，(AT  CTHT)的特征值可任意配置。而(AT  CTHT)的特征值与(AT  CTHT)T = A  HC的特征值是相同的，故当仅当（A，B，C）能观测时，可以任意配置（A  HC）的特征值。证毕。 该定理也可以用证明状态反馈极点配置定理的类似步骤来证明，并且可以看出输出至状态微分的反馈系统仍是能观测的，也未改变闭环零点，因此不一定能保持原受控系统的能控性。

2．输出反馈至参考输入 ∫ A u x y C B H r u = r – H y 则输出反馈闭环系统的状态空间表达式为

定理4-5 对完全能控的受控系统（A，B，C），不能采用输出线性反馈来实现闭环极点的任意配置。 这一点用单输入单输出系统就可以说明，这时输出反馈阵H就是一个反馈放大系数。改变反馈放大系数，也就是改变开环传递系数。由根轨迹法可知，当改变开环传递系数时，闭环极点只能沿该系统的根轨迹曲线移动。所以闭环极点不能在根平面上任意配置。 如果要任意配置闭环极点，系统必须加校正网络。这就要在输出线性反馈的同时，在受控系统中串联补偿器，即通过增加开环零极点的途径来实现极点的任意配置。

4.3 解耦控制 解耦控制又称为一对一控制，是多输入多输出线性定常系统综合理论中的一项重要内容。对于一般的多输入多输出受控系统来说，系统的每个输入分量通常与各个输出分量都互相关联（耦合），即一个输入分量可以控制多个输出分量。或反过来说，一个输出分量受多个输入分量的控制。这给系统的分析和设计带来很大的麻烦。 所谓解耦控制就是寻求合适的控制规律，使闭环系统实现一个输出分量仅仅受一个输入分量的控制，也就是实现一对一控制，从而解除输入与输出间的耦合。 实现解耦控制的方法有两类：一类称为串联解耦，另一类称为状态反馈解耦。前者是频域方法，后者是时域方法。

4．3．1 解耦的定义 若一个系统(A，B，C)的传递矩阵G(s)是非奇异对角形矩阵，即

解耦实质上就是实现每一个输入只控制相应的一个输出，也就是一对一控制。通过解耦可将系统分解为多个独立的单输入单输出系统。 解耦控制要求原系统输入与输出的维数要相同，反映在传递函数矩阵上就是G(s)应是m阶方阵。而要求G(s)是非奇异的，等价于要求g11(s)，g22(s)，…，gmm(s)应均不等于零。否则相应的输出与输入无关。

4．3．2 串联解耦 y G0(s) Gc(s) H r 一般情况下，只要G0(s)是非奇异的，系统就可以通过串联补偿器实现解耦控制。换句话说，detG0(s)0是通过串联补偿器实现解耦控制的一个充分条件。

例4-4 设串联解耦系统的结构图如图4-9所示，其中H = I。受控对象G0(s)和要求的闭环传递矩阵G(s)分别为 求串联补偿器Gc(s)。 解：

∫ 4．3．3 状态反馈解耦 1.状态反馈解耦控制的结构 系统的控制规律为 u = Fr  Kx 闭环系统的传递矩阵为 r y u x F 4．3．3 状态反馈解耦 1.状态反馈解耦控制的结构 ∫ A u x y C B K r F 系统的控制规律为 u = Fr  Kx 闭环系统的传递矩阵为

如果存在某个K与F阵，使GK,F(s)是对角形非奇异矩阵，就实现了解耦控制。关于状态反馈解耦控制的理论问题比较复杂，下面不加证明地给出状态反馈实现解耦控制的充分必要条件以及K、F阵的求法。 定义两个不变量和一个矩阵: di = min{Gi(s)中各元素分母与分子多项式幂次之差}  1 解耦阶常数 可解耦性矩阵

定理4-6 受控系统（A，B，C）通过状态反馈实现解耦控制的充分必要条件是可解耦性矩阵E是非奇异的，即 detE  0 例4-5 设受控系统的传递矩阵为 试判断该系统是否可通过状态反馈实现解耦控制。 解： 由解耦阶常数di的定义，分别观察G(s)的第一行和第二行，可得d1 = 1  1= 0，d2 = 2  1= 1。

故该系统可以通过状态反馈实现解耦控制。

2．K、F阵的求法 ⑴ 首先由（A，B，C）写出受控系统的传递矩阵G(s)； ⑵ 由G(s)求系统的两个不变量di、Ei，i=1，…，m； ⑶ 构造可解耦性矩阵 判断系统是否可通过状态反馈实现解耦控制； ⑷ 计算K、F阵：

⑸ 写出状态反馈解耦系统的闭环传递矩阵和状态空间表达式 可以看出，解耦后的系统实现了一对一控制，并且每一个输入与相应的输出之间都是积分关系。因此称上述形式的解耦控制为积分型解耦控制。

例4-6 已知系统的状态空间表达式为 试求实现积分型解耦控制的K、F阵。 解： 由（A，B，C）可写出受控系统的传递矩阵

结 束