第二章 插值法 2.1 引言 2.2 拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式 2.4 差分与等距节点插值 2.5 埃尔米特插值 第二章 插值法 2.1 引言 2.2 拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式 2.4 差分与等距节点插值 2.5 埃尔米特插值 2.6 分段低次插值 2.7 三次样条插值

2.1 引言 在实际问题中，我们会遇到两种情况 变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值 变量间的函数关系可以表示，但计算复杂，只能计算特殊点的函数值 为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值，这就是我们研究插值的目的。

2.1 引言 设函数 在区间 上有定义，且 已知在点 上的值 ， ， ， ，若存在一简单函数 ，使： ， 成立，就称 为 的插值函数，点 设函数 在区间 上有定义，且 已知在点 上的值 ， ， ， ，若存在一简单函数 ，使： ， 成立，就称 为 的插值函数，点 为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值，这就是我们研究插值的目的。

插值的定义 设函数 在区间 上有定义，且 已知在点 上的值 ， ， ， ，若存在一简单函数 ，使： ， 成立，就称 为 的插值函数，点 设函数 在区间 上有定义，且 已知在点 上的值 ， ， ， ，若存在一简单函数 ，使： ， 成立，就称 为 的插值函数，点 称为插值节点，包含插值节点的区间 称为插值区间，求插值函数 的方法称为插值法。若 是次数不超过 代数多项式，即

插值的定义 其中 为实数，就称 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若 为分段多项式，就称为分段插值。若 为三角多项式，就称为三角插值。 称为插值节点，包含插值节点的 区间 称为插值区间，求插值函数 的方法称为插值法。若 是次数不超过 代数多项式，即

其中 为实数，就称 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若 为分段多项式，就称为分段插值。若 为三角多项式，就称为三角插值。

插值的几何意义 从几何上看，插值就是求一条曲线 使其通过给定的 个点 ， 并且与已知曲线有一定的近似度。

本章的主要内容 插值多项式 分段插值函数 样条插值函数 插值多项式的存在唯一性 插值多项式的收敛性 插值的误差估计

2.2 拉格朗日插值 2.2.1 线性插值与抛物线插值 2.2.2 拉格朗日插值多项式 2.2.3 插值余项与误差估计

2.2.1 线性插值与抛物线插值 线性插值：对两点 ， ，通过这两点 的插值多项式是一条直线，其方程为： 线性插值：对两点 ， ，通过这两点 的插值多项式是一条直线，其方程为： 这里的 就是我们所求的线性插值函数。 若记 ， ，则 称 ， 为关于 ， 的线性插值基函数 。

2.2.1 线性插值与抛物线插值 线性插值与其基函数示意图 若记 ， ，则 称 ， 为关于 ， 的线性插值基函数 。

2.2.1 线性插值与抛物线插值 线性插值与其基函数示意图

2.2.1 线性插值与抛物线插值 线性插值与其基函数示意图

2.2.1 线性插值与抛物线插值 抛物线插值：当 时，对于给定的三点： 我们可以求出一条通过这三个点的抛物线： 其中： 抛物线插值：当 时，对于给定的三点： 我们可以求出一条通过这三个点的抛物线： 其中： 称为关于点 ， ， 的2次插值基函数。

2.2.1 线性插值与抛物线插值 二次插值基函数示意图 其中： 称为关于点 ， ， 的2次插值基函数。

二次插值基函数示意图

拉格朗日插值多项式 定义：若 次多项式 在 个节点 上满足条件： 就称这 个 次多项式 为节点 上的 次插值基函数。 可以推出：

拉格朗日插值多项式 从而，插值多项式可表示为： 由基函数的定义，我们可以算得： 就称这 个 次多项式 为节点 上的 次插值基函数。 就称这 个 次多项式 为节点 上的 次插值基函数。 可以推出：

拉格朗日插值多项式 从而，插值多项式可表示为： 由基函数的定义，我们可以算得： 多项式 称为拉格朗日多项式。 引入记号 可以求得 于是得到

拉格朗日插值多项式 定理：在次数不超过 的多项式集合 中，满足插值条件的插值多项式 是存在唯一的。 多项式 称为拉格朗日多项式。 引入记号 定理：在次数不超过 的多项式集合 中，满足插值条件的插值多项式 是存在唯一的。 多项式 称为拉格朗日多项式。 引入记号 可以求得 于是得到

插值多项式的存在唯一定理 定理：在次数不超过 的多项式集合 中，满足插值条件的插值多项式 是存在唯一的。 定理的证明：仅需证明唯一性。反证: 定理：在次数不超过 的多项式集合 中，满足插值条件的插值多项式 是存在唯一的。 定理的证明：仅需证明唯一性。反证: 假设不唯一，即有 和 均满足插值条件。于是有 对 ， 成立，这表明多项式 有 个零点 ，这与 次多项式只有 个零点矛盾，故只能 。

插值多项式的存在唯一定理 根据存在唯一性定理，若令 ， ，可得： 若取 ，则 假设不唯一，即有 和 均满足插 值条件。于是有 对 ， 根据存在唯一性定理，若令 ， ，可得： 若取 ，则 假设不唯一，即有 和 均满足插 值条件。于是有 对 ， 成立，这表明多项式 有 个零点 ，这与 次多项式只有 个零点矛盾，故只能 。

根据存在唯一性定理，若令 ， ，可得： 若取 ，则

2.2.3 插值余项与误差估计 称为插值多项式的余项 定理2：设 在 上连续， 在 内存在，节点为 定理2：设 在 上连续， 在 内存在，节点为 是满足插值条件的插值多项式，则对任何 ，插值余项 这里 且依赖于 ， 如以前定义

2.2.3 插值余项与误差估计 证明：由已知条件得到： 于是有： 是满足插值条件的插值多项式，则对任何 ，插值余项 是满足插值条件的插值多项式，则对任何 ，插值余项 这里 且依赖于 ， 如以前定义

证明：由已知条件得到： 于是有： 其中 是与 有关的待定函数。 现在把 看成一个固定点，作函数 根据插值条件及余项定义，可知 在 点 及 处均为零，故 在

上有 个零点，根据Roll定理， 在 的每两个零点间至少有一个零点，故 在 内至少有 个零点，对 再用 其中 是与 有关的待定函数。 现在把 看成一个固定点，作函数 根据插值条件及余项定义，可知 在 点 及 处均为零，故 在

上有 个零点，根据Roll定理， 在 的每两个零点间至少有一个零点，故 在 内至少有 个零点，对 再用Roll定理，可知 在 内至少有 个零点，依此类推， 在 内至少有一个零点，记为 ，使得 且依赖于 于是结论成立。

由于 是不能确定，因此我们并不能确定 误差的大小，但如能求出 ， 那么用 逼近 的截断误差限是： Roll定理，可知 在 内至少有 个零点，依此类推， 在 内至少有一个零点，记为 ，使得 且依赖于 于是结论成立。

由于 是不能确定，因此我们并不能确定 误差的大小，但如能求出 ， 那么用 逼近 的截断误差限是： 当 时， 当 时

已知 ， ，用线性插值及抛物线插值 计算 的值并估计截断误差。 当 时， 当 时

例1 已知 ， ，用线性插值及抛物线插值 计算 的值并估计截断误差。 解：由题意令 线性插值时取 ，得插值公式：

例1 其截断误差为： 其中 ，因为 解：由题意令 线性插值时取 ，得插值公式：

其截断误差为： 其中 ，因为 可取 ，于是：

用抛物线插值时，所有节点全取，得到 可取 ，于是：

用抛物线插值时，所有节点全取，得到

用抛物线插值时，所有节点全取，得到

余项讨论： 其中： 于是： 我们注意到，这时精度已与6位函数表一致

2.3 均差与牛顿插值公式 Lagrange插值的优缺点： 公式结构紧凑，在理论分析中方便，但如遇节点增减，所有数据需全部重算。 为改变这种状态，我们寻求如下形式的插值多项式： 其中的 为待定系数，由插值条件确定

2.3 均差与牛顿插值公式 记函数 在 的值 ，称 为 关于 的零阶均差。 从零阶均差出发，归纳地定义各阶均差 记函数 在 的值 ，称 为 关于 的零阶均差。 从零阶均差出发，归纳地定义各阶均差 为改变这种状态，我们寻求如下形式的插值多项式： 其中的 为待定系数，由插值条件确定

均差的定义 记函数 在 的值 ，称 为 关于 的零阶均差。 从零阶均差出发，归纳地定义各阶均差 称 为函数 关于点 的一阶均差 记函数 在 的值 ，称 为 关于 的零阶均差。 从零阶均差出发，归纳地定义各阶均差 称 为函数 关于点 的一阶均差 一般地， 关于 的k阶均差为

均差的定义 性质1：均差可表示为函数值的线性组合，即： 称 为函数 关于点 的一阶均差 一般地， 关于 的k阶均差为

均差的基本性质 性质1：均差可表示为函数值的线性组合，即： 性质2：均差关于所含节点是对称的，即： 性质3： 性质4：设 在 存在n阶导数，且 则 ，使得

均差性质的证明 性质1可用归纳法证明； 性质2是性质1的直接推论； 性质3可由下式得到 性质2：均差关于所含节点是对称的，即： 性质3： 性质4：设 在 存在n阶导数，且 则 ，使得

均差性质的证明 性质1可用归纳法证明； 性质2是性质1的直接推论； 性质3可由下式得到 性质4的证明在下面的讨论中给出。

均差性质的证明 均差的计算一般用列均差表的方法，即 性质4的证明在下面的讨论中给出。

均差的计算 均差的计算一般用列均差表的方法，即 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差

牛顿插值公式 根据均差的定义，把 看成 上的一点，可得： 只要把后一式代入前一式，就得到：

牛顿插值公式 其中 只要把后一式代入前一式，就得到：

其中 显然满足插值条件，且次数不超过 它就是插值多项式，其系数为： 我们称 为牛顿均差插值多项式

例2 已知 的函数表，求4次牛顿插值多项式 从表中可以看到4阶均差几乎为常数，故取4次插值多项式即可，于是： 0.40 0.41075 已知 的函数表，求4次牛顿插值多项式 从表中可以看到4阶均差几乎为常数，故取4次插值多项式即可，于是： 0.40 0.41075 0.55 0.57815 1.11600 0.65 0.69675 1.18600 0.28000 0.80 0.88811 1.27573 0.35893 0.19733 0.90 1.02652 1.38410 0.43348 0.21300 0.03134 1.05 1.25382 1.51533 0.52493 0.22863 0.03126 -0.00012

于是： 截断误差为： 这说明截断误差很小。

截断误差的估计 这里的截断误差估计时，5阶均差 是用 来近似的，另一种方法是 ，用 来近似，从而求得 的近似值 截断误差为： 是用 来近似的，另一种方法是 ，用 来近似，从而求得 的近似值 截断误差为： 这说明截断误差很小。

差分和等距节点插值 在前面的讨论中，节点是任意分布的， 但实际上经常遇到等距节点的情况，这时 插值公式可以得到简化，为此，我们先介 绍差分的概念。 设函数 在等距节点 上的值 为已知，这里 为常数，称 为步长。我们来讨论差分的定义。

差分和等距节点插值 记号 设函数 在等距节点 上的值 为已知，这里 为常数，称 为步长。我们来讨论差分的定义。

差分的定义 记号 分别称为 在 处以 为步长的 向前差分、向后差分、中心差分 符号 、 、 分别称为向前差分算子、向后差分算子、中心差分算子

差分的定义 用一阶差分可以定义二阶差分 一般地可定义m阶差分为： 分别称为 在 处以 为步长的 向前差分、向后差分、中心差分 分别称为 在 处以 为步长的 向前差分、向后差分、中心差分 符号 、 、 分别称为向前差分算子、向后差分算子、中心差分算子

高阶差分 用一阶差分可以定义二阶差分 一般地可定义m阶差分为： 对于中心差分，因为 用到的 、 不在函数表上，因此，一阶中心差分应写 对于中心差分，因为 用到的 、 不在函数表上，因此，一阶中心差分应写 成 、 从而定义 、以此类推。

不变算子I、移位算子E 定义 从而可得： 于是得到： 同理，由于： 对于中心差分，因为 用到的 、 不在函数表上，因此，一阶中心差分应写 对于中心差分，因为 用到的 、 不在函数表上，因此，一阶中心差分应写 成 、 从而定义 、以此类推。

不变算子I、移位算子E 定义 从而可得： 于是得到： 同理，由于： 得到： 由于： 由差分的定义及不变算子和移位算子有

不变算子I、移位算子E 性质1：各阶差分均可用函数值表示，如： 得到： 由于： 由差分的定义及不变算子和移位算子有

差分的性质 性质1：各阶差分均可用函数值表示，如： 性质2：某点的函数可用各阶差分来表示：

差分的性质 性质3：均差与差分有如下关系： 性质2：某点的函数可用各阶差分来表示：

性质3：均差与差分有如下关系： 性质4：差分与导数有如下关系：

差分的计算 计算差分可用差分表的方式：

等距节点插值公式 将牛顿插值公式中的各阶均差用相应的差 分代替，即得各种形式的等距节点插值公式 牛顿前插公式 令 ， 有 令 ， 有 从而可得插值多项式和余项分别为：

等距节点插值公式 牛顿后插公式 令 ， 有 从而可得插值多项式和余项分别为：

牛顿后插公式 令 ， 有 从而可得插值多项式和余项分别为：

已知 在 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计 算 及 的近似值并估计误差。 解：先构造差分表如下页。用牛顿向前

例3 已知 在 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计 算 及 的近似值并估计误差。 解：先构造差分表如下页。用牛顿向前 已知 在 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计 算 及 的近似值并估计误差。 解：先构造差分表如下页。用牛顿向前 插值公式计算 的近似值，取 ， ，用差分表的上半部差 分，得

1.00000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534 -0.00500 -0.01493 -0.02473 -0.03428 -0.04348 -0.05224 -0.00993 -0.00980 -0.00955 -0.00920 -0.00876 0.00013 0.00025 0.00035 0.00044 0.00012 0.00010 0.00009 -0.00002 -0.00001

用牛顿向后插值公式计算 的近似 值，取 ， ， ， 用差分表的下半部差分，得

2.5 埃尔米特插值 拉格朗日和牛顿均只保证函数插值； 实际问题有时需要导数也插值； 满足这种需要的插值称为埃尔米特插值

埃尔米特插值的一般提法 埃尔米特插值的一般提法为：设函数 在节点 的函数值与导数值为： 其中 是正整数，寻求一个次数尽 在节点 的函数值与导数值为： 其中 是正整数，寻求一个次数尽 可能低的多项式 ，使满足：

埃尔米特插值的一般提法 可以证明，存在唯一的满足插值条件的 次数不超过 的多项式 ，即所 谓的埃尔米特多项式 其中 是正整数，寻求一个次数尽 次数不超过 的多项式 ，即所 谓的埃尔米特多项式 其中 是正整数，寻求一个次数尽 可能低的多项式 ，使满足：

可以证明，存在唯一的满足插值条件的 次数不超过 的多项式 ，即所 谓的埃尔米特多项式 其中 是 多项式，且满足条件：

当 时有： 而多项式的次数为不超过 ， 记为 ，因此： 满足条件： 其中 是 多项式，且满足条件：

较为实用的简单情况 当 时有： 而多项式的次数为不超过 ， 记为 ，因此： 满足条件： ， ， 从几何上看，即要求 与 在 当 时有： 而多项式的次数为不超过 ， 记为 ，因此： 满足条件： ， ， 从几何上看，即要求 与 在 个节点处有相同的切线（即曲线相 切），此时 称为二重节点。这种 带导数的插值法称为密切插值。

较为实用的简单情况 定理：设 ，则在区间 上满足插值条件的不超过3次的多项式 是存在唯一的，且可如下构造： ， ， 定理：设 ，则在区间 上满足插值条件的不超过3次的多项式 是存在唯一的，且可如下构造： ， ， 从几何上看，即要求 与 在 个节点处有相同的切线（即曲线相 切），此时 称为二重节点。这种 带导数的插值法称为密切插值。

二点三次埃尔米特插值 定理：设 ，则在区间 上满足插值条件的不超过3次的多项式 是存在唯一的，且可如下构造： 其中 称为插值基函数。 定理：设 ，则在区间 上满足插值条件的不超过3次的多项式 是存在唯一的，且可如下构造： 其中 称为插值基函数。 如果 ，那么插值余项为：

二点三次埃尔米特插值 其中 称为插值基函数。 如果 ，那么插值余项为：

插值基函数

插值基函数 先证明 满足插值条件。易验证：

定理的证明 先证明 满足插值条件。易验证：

定理的证明

从而证明 满足插值条件，这同时也 证明了 的存在性。

唯一性证明。设有两个不超过3次的多项 式 和 同时满足插值条件，显然 是次数不超过3次的多项式 从而证明 满足插值条件，这同时也 证明了 的存在性。

唯一性证明。设有两个不超过3次的多项 式 和 同时满足插值条件，显然 是次数不超过3次的多项式 且有 这表明 和 都是 的二重根，从而 这是不可能的，除非 ，即 ， 因此

再证余项公式。 设 ，则有： 且有 这表明 和 都是 的二重根，从而 这是不可能的，除非 ，即 ， 因此

再证余项公式。 设 ，则有： 所以， ， 都是 的二重根，从而 可表示为： 对于任何固定的 ， ， ， 构造自变量为 的辅助函数

则 ， ， 是 在 上的三个互异的 零点，且 和 为二重零点，因此，存在 及 ，使得： 所以， ， 都是 的二重根，从而 可表示为： 对于任何固定的 ， ， ， 构造自变量为 的辅助函数

则 ， ， 是 在 上的三个互异的 零点，且 和 为二重零点，因此，存在 及 ，使得： 同时有 ，故 为 在 内的四个互异的零点，因此 在 中有一个零点，而 而 ，因此由 得到：

现在推导 形式的由来。 对于 个节点，每个节点都满足函 数插值，导数插值，即 同时有 ，故 为 在 内的四个互异的零点，因此 在 中有一个零点，而 而 ，因此由 得到：

现在推导 形式的由来。 对于 个节点，每个节点都满足函 数插值，导数插值，即 共有 个条件，可唯一确定一个次数不 超过 的多项式 ，其形式为： 目标：求出所有的 ；方法：基函数法

先求插值基函数 基函数都是 次多项式，且满足： 共有 个条件，可唯一确定一个次数不 超过 的多项式 ，其形式为： 目标：求出所有的 ；方法：基函数法

先求插值基函数 基函数都是 次多项式，且满足： 这样 可表示为： 显然有：

现在求 及 ，令 其中 从而有： 这样 可表示为： 显然有：

现在求 及 ，令 其中 从而有： 由此即得： ， 故： ，

由 的表达式可得： 于是得到： 由此即得： ， 故： ，

由 的表达式可得： 于是得到： 同理可得 取 ，节点为 ， ，即得前面给出的

本节通过一个实例说明该类问题的解法 例：求多项式 ，满足条件： ， ， ， 同理可得 取 ，节点为 ， ，即得前面给出的

低阶缺导数项的埃尔米特插值 本节通过一个实例说明该类问题的解法 例：求多项式 ，满足条件： ， ， ， 并求余项表达式。 例：求多项式 ，满足条件： ， ， ， 并求余项表达式。 分析：这是一种缺导数项的埃尔米特插 值，用基函数方法来做，求3次多项式：

低阶缺导数项的埃尔米特插值 其中基函数 ， ， ， 满足条件： ， ， ， 并求余项表达式。 分析：这是一种缺导数项的埃尔米特插 其中基函数 ， ， ， 满足条件： ， ， ， 并求余项表达式。 分析：这是一种缺导数项的埃尔米特插 值，用基函数方法来做，求3次多项式：

其中基函数 ， ， ， 满足条件： ， ， ， 因此，设：

从而有： ， ， ， 因此，设：

从而有： 所以有

于是： 从而： 所以有

于是： 从而： 故：

由于 是 的三重根，且 ，故有 至于 ，它应有因子 ，故设 故：

由于 是 的三重根，且 ，故有 至于 ，它应有因子 ，故设 则 从而应有：

因为 所以： 代入： 则 从而应有：

因为 所以： 代入： 得到： 从而求得：

故： 得到： 从而求得：

故： 从而：

最后看 ，显然可设： 则： 从而有： 从而：

最后看 ，显然可设： 则： 从而有： 因为： ，所以有： 故： ，

从而： 因此： 最终得到插值多项式为： 因为： ，所以有： 故： ，

从而： 因此： 最终得到插值多项式为：

再看牛顿插值方式，为了满足插值条件 和 ，可设

再看牛顿插值方式，为了满足插值条件 和 ，可设 其中 与 是待定常数，由条件 和 来确定。通过简单计算可得

最后看余项 ，因为 可设： 其中 与 是待定常数，由条件 和 来确定。通过简单计算可得

最后看余项 ，因为 可设： 构造辅助函数： 则 在 处为零，且 为3重零点， 这样，利用Roll定理可以证明：

2.6 分段低次插值 高次插值的病态性质 对于一个确定的区间，如果插值节点 之间的距离较小，自然插值节点就增多， 2.6 分段低次插值 高次插值的病态性质 对于一个确定的区间，如果插值节点 之间的距离较小，自然插值节点就增多， 如果用一个多项式插值，自然次数就会升 高，也就是说要用高次多项式插值。 20世纪初，Runge就给出了一个等距 节点插值多项式 不收敛到 的例子。

2.6 分段低次插值 设 ，它在 上各阶导数均 存在，在该区间上取 个等距节点 如果用一个多项式插值，自然次数就会升 2.6 分段低次插值 设 ，它在 上各阶导数均 存在，在该区间上取 个等距节点 如果用一个多项式插值，自然次数就会升 高，也就是说要用高次多项式插值。 20世纪初，Runge就给出了一个等距 节点插值多项式 不收敛到 的例子。

Runge的例 设 ，它在 上各阶导数均 存在，在该区间上取 个等距节点 构造拉格朗日插值多项式为 令 ，则 ，下表列 出了 的 和 的值。

2 0.137931 0.759615 -0.621684 4 0.066390 -0.356826 0.423216 6 0.054463 0.607879 -0.553416 8 0.049651 -0.831017 0.880668 10 0.047059 1.578721 -1.531662 12 0.045440 -2.755000 2.800440 14 0.044334 5.332743 -5.288409 16 0.043530 -10.173867 10.217397 18 0.042920 20.123671 -20.080751 20 0.042440 -39.952449 39.994889

从表中可以看出，随着 的增加， 的绝对值几乎成倍地增加，这说明当 时 在 上不收敛。Runge证明了，存 在一个常数 ，使得当 时， 而当 时 发散。 下图给出 时， 及 在 的图形。

定义拉格朗日插值基函数的程序 function y=Ln(t,x,n,i) s=1; s1=1; x for i1=0:n if i1~=i s=s.*(t-x(i1+1)) end s1=s1.*(x(i+1)-x(i1+1)) y=s/s1

计算插值多项式等的程序 function y=L(t,x,n) sum=0; for i1=0:n sum=sum+f1(x(i1+1))*Ln(t,x,n,i1) end y=sum 定义被插函数 function y=f1(x) y=1./(1+x.*x) 绘制图形的程序 t3=-5:0.1:5; y1=f1(t3); y2=L(t3,x,10); plot(t3,y1,'-r',t3,y2,'-b') legend('被插函数','插值多项式')

高阶差分计算舍入误差的影响 例：设 在一组等距节点的值为： 现假定在一个节点 处 产生误差 试分析高阶差分的误差传播。 例：设 在一组等距节点的值为： 现假定在一个节点 处 产生误差 试分析高阶差分的误差传播。 应该从序列 出发计算各阶差 分，而实际上是从序列 出发计 算各阶差分，这里 ， 误差 ，显然

高阶差分计算舍入误差的影响 例：设 在一组等距节点的值为： 现假定在一个节点 处 产生误差 试分析高阶差分的误差传播。 例：设 在一组等距节点的值为： 现假定在一个节点 处 产生误差 试分析高阶差分的误差传播。 应该从序列 出发计算各阶差 分，而实际上是从序列 出发计 算各阶差分，这里 ， 误差 ，显然

r －r -2r -3r 3r -r -4r 6r -5r 10r -10r 5r -6r 15r -20r

可见，误差在传播中被放大。 因此，在实际应用中，对于节点较多的 情况，一般采用分段低次插值的方法来求 解问题。

分段线性插值 分段线性插值特别简单，从几何上看，就是用折线逼近曲线。 分段线性插值的数学定义 设 是区间 上的函数，在节点 上的函数值为 ， 设 是区间 上的函数，在节点 上的函数值为 ， 记： ，如果函数 满足： （1） （2） （3）在 上， 是次数 的多项式。 则称 为 的分段线性插值函数。

分段线性插值 考虑最简单的情形：设 记如此情形的分段线性插值函数为 ，则 当 时， 上的函数值为 ， 记： ，如果函数 满足： 记如此情形的分段线性插值函数为 ，则 当 时， 上的函数值为 ， 记： ，如果函数 满足： （1） （2） （3）在 上， 是次数 的多项式。 则称 为 的分段线性插值函数。

分段线性插值基函数 考虑最简单的情形：设 记如此情形的分段线性插值函数为 ，则 当 时， 当 时，

分段线性插值基函数 当 时， 定义：上述定义的 ，称为以 当 时，

当 时， 定义：上述定义的 ，称为以 为节点的分段线性插值基函数。 它们的图形如下页所示。

显然 是 的线性组合： 在区间 上的值为： 在区间 上还成立：

现在证明 ，考虑 这里 是函数 在区间 上的连续模， 在区间 上还成立：

现在证明 ，考虑 这里 是函数 在区间 上的连续模， 即对于任意两点 ，只要 ， 就有 ，称 为 的连续 模。当 时，就有 ，由 前式可知：当 时有：

因此，只要 ，就有 在 上一致成立，故 在 上一致 即对于任意两点 ，只要 ， 就有 ，称 为 的连续 模。当 时，就有 ，由 前式可知：当 时有：

因此，只要 ，就有 在 上一致成立，故 在 上一致 收敛到 。

接着，我们讨论余项。 分段线性插值的误差估计可利用线性 插值的余项公式，从而得到 或 其中 。

分段二次插值的数学定义 设 是区间 上的函数，在节点 上的函数值为 ， 记： ，如果函数 满足： 或 其中 。

分段二次插值 分段二次插值的数学定义 设 是区间 上的函数，在节点 上的函数值为 ， 记： ，如果函数 满足： （1） （2） 设 是区间 上的函数，在节点 上的函数值为 ， 记： ，如果函数 满足： （1） （2） （3）在 上， 是次数 的多项式。 则称 为 的分段二次插值多项式。

分段二次插值 由定义，分段二次插值多项式在小区间 上应满足三个插值条件 故相应的抛物线插值公式为： （1） （2） （1） （2） （3）在 上， 是次数 的多项式。 则称 为 的分段二次插值多项式。

由定义，分段二次插值多项式在小区间 上应满足三个插值条件 故相应的抛物线插值公式为：

其整体表达式为： 其中 是由各小区间上的抛物线或直 线连接而成的分段拉格朗日插值基函数。

其整体表达式为： 其中 是由各小区间上的抛物线或直 线连接而成的分段拉格朗日插值基函数。

可以看到， 的支集是 跨两个小区间， 的支集是 的支集是 ， 的支集是 。 最后，二次分段插值多项式的局部误差估 计式为： 其中： ，而整体误差估计式为：

分段三次埃尔米特插值 分段线性插值和分段抛物线插值在节点 处导数均不存在。如果需要插值函数在节 点处也可导，并且在节点处有函数值和导 数值均插值，则可用分段埃尔米特插值。 计式为： 其中： ，而整体误差估计式为：

分段三次埃尔米特插值 分段线性插值和分段抛物线插值在节点 处导数均不存在。如果需要插值函数在节 点处也可导，并且在节点处有函数值和导 数值均插值，则可用分段埃尔米特插值。

分段三次埃尔米特插值的数学定义 设 是区间 上的函数，在节点 上的函数值为 ， 函数值为 ，记： ， 如果函数 满足：（1） （2） （3）在 上， 是次数 的多项式。 则称 为 的分段三次埃尔米特插值 函数。

先考虑两种简单情形： 情形1：设 记满足此条件的分段三次埃尔米特插值多 项式为 ，则有，当 时 如果函数 满足：（1） （2） （3）在 上， 是次数 的多项式。 则称 为 的分段三次埃尔米特插值 函数。

先考虑两种简单情形： 情形1：设 记满足此条件的分段三次埃尔米特插值多 项式为 ，则有，当 时

当 时，

当 时， 当 时，

情形2：设 记满足此条件的分段三次埃尔米特插值多 项式为 ，则有，当 时

当 时，

当 时，

定义：由前面定义的分段三次函数 与 称为以 为节点的 分段三次Hermite插值基函数，从而，分段 三次Hermite插值函数 是基函数的线性 当 时，

定义：由前面定义的分段三次函数 与 称为以 为节点的 分段三次Hermite插值基函数，从而，分段 三次Hermite插值函数 是基函数的线性 组合： 在区间 上，

组合： 在区间 上，

而且，若 ，则有：

2.7 三次样条插值 样条函数的背景和定义 分段线性插值导数不连续； 埃尔米特插值导数连续但需要已知； 本节讨论一种特殊类型的分段三次插 2.7 三次样条插值 样条函数的背景和定义 分段线性插值导数不连续； 埃尔米特插值导数连续但需要已知； 本节讨论一种特殊类型的分段三次插 值，称为三次样条插值。 比拉格朗日插值多两个条件，二阶导 数连续。

2.7 三次样条插值 设位移曲线为 ，则在力学上， 表示弯矩，呈折线形 本节讨论一种特殊类型的分段三次插 值，称为三次样条插值。 2.7 三次样条插值 设位移曲线为 ，则在力学上， 表示弯矩，呈折线形 本节讨论一种特殊类型的分段三次插 值，称为三次样条插值。 比拉格朗日插值多两个条件，二阶导 数连续。

位移函数的力学性质 设位移曲线为 ，则在力学上， 表示弯矩，呈折线形 表示剪力，呈台阶形 因此，这种样条曲线 是分段三次多项式 设位移曲线为 ，则在力学上， 表示弯矩，呈折线形 表示剪力，呈台阶形 因此，这种样条曲线 是分段三次多项式 在内节点处二阶导数连续。

位移函数的力学性质 定义：对于区间 上给定的一个分划 如果函数 在子区间 上都是不超 过 次的多项式 ，并且 阶导数 定义：对于区间 上给定的一个分划 如果函数 在子区间 上都是不超 过 次的多项式 ，并且 阶导数 因此，这种样条曲线 是分段三次多项式 在内节点处二阶导数连续。

样条函数的数学定义 定义：对于区间 上给定的一个分划 如果函数 在子区间 上都是不超 过 次的多项式 ，并且 阶导数 在内节点 处连续，则称 定义：对于区间 上给定的一个分划 如果函数 在子区间 上都是不超 过 次的多项式 ，并且 阶导数 在内节点 处连续，则称 为区间 上以 为节点的 次 样条函数。

样条函数的数学定义 进而，对于函数 ，若 还 满足插值条件： 则称 为 在区间 上的 次样条插 在内节点 处连续，则称 进而，对于函数 ，若 还 满足插值条件： 则称 为 在区间 上的 次样条插 在内节点 处连续，则称 为区间 上以 为节点的 次 样条函数。

进而，对于函数 ，若 还 满足插值条件： 则称 为 在区间 上的 次样条插 值函数。

三次样条插值的定解条件 三次样条 是节点 上的分段三 次多项式 ，故可写成： 其中 为待定系数，共有 个未知 数，而 应满足的条件为： 三次样条 是节点 上的分段三 次多项式 ，故可写成： 其中 为待定系数，共有 个未知 数，而 应满足的条件为： (1)插值和函数连续条件 个； (2)内节点处一阶导数连续 个条件； (3)内节点处二阶导数连续 个条件；

三次样条插值的定解条件 即： 总共由 个条件，因此，要确定 个 数，而 应满足的条件为： (1)插值和函数连续条件 个； 总共由 个条件，因此，要确定 个 数，而 应满足的条件为： (1)插值和函数连续条件 个； (2)内节点处一阶导数连续 个条件； (3)内节点处二阶导数连续 个条件；

即： 总共由 个条件，因此，要确定 个系 数，还需要附加两个条件。 在实际应用中，我们一般使用如下三种 类型的条件。

固支条件：即已知两个端点的一阶导数值 已知两个端点的二阶导数值： 数，还需要附加两个条件。 在实际应用中，我们一般使用如下三种 类型的条件。

三次样条的边界条件 固支条件：即已知两个端点的一阶导数值 已知两个端点的二阶导数值： 特别地，当 时称为自由边界 周期条件： 同时要求 .

例：三次样条的待定系数法 已知函数 在三个点处的值为 在区间 上，求 在自然边界条件下 的三次样条多项式。 特别地，当 时称为自由边界 已知函数 在三个点处的值为 在区间 上，求 在自然边界条件下 的三次样条多项式。 特别地，当 时称为自由边界 周期条件： 同时要求 .

例：三次样条的待定系数法 已知函数 在三个点处的值为 在区间 上，求 在自然边界条件下 的三次样条多项式。 解：这里 ，区间 分成两个子区 已知函数 在三个点处的值为 在区间 上，求 在自然边界条件下 的三次样条多项式。 解：这里 ，区间 分成两个子区 间，故设：

例：三次样条的待定系数法 由插值条件和函数连续条件： ，得： 解：这里 ，区间 分成两个子区 间，故设：

由插值条件和函数连续条件： ，得： 由内节点一、二阶导数连续条件： 由自然边界条件： ，得：

从而可解得： ， ， 从而问题的解为： 从而可解得： ， ， 从而问题的解为： 由内节点一、二阶导数连续条件： ，得： 由自然边界条件： ，得：

从而可解得： ， ， 从而问题的解为： 此法称为待定系数法。

三弯矩算法 待定系数法要解一个 阶的线性方程组 本方法只需求解一个不超过 阶的线性方 程组，而且有明确的力学含义。 对于 上的节点 ，记 待定系数法要解一个 阶的线性方程组 本方法只需求解一个不超过 阶的线性方 程组，而且有明确的力学含义。 对于 上的节点 ，记 注意到 为折线，若记 在节点 处的待定值为：

三弯矩算法 则 可用分段线性插值表示为： 对于 上的节点 ，记 注意到 为折线，若记 在节点 处的待定值为：

则 可用分段线性插值表示为： 这隐含了 满足内节点处的二阶导数连续 条件。对 作二次不定积分，可得：

其中 为待定参数，利用插值条件： ，可得： 这隐含了 满足内节点处的二阶导数连续 条件。对 作二次不定积分，可得：

其中 为待定参数，利用插值条件： ，可得：

故有：

故有：

从而有：

于是由 ，得： 即： 从而有：

于是由 ，得： 即： 若记： 则上式可简记为：

这就是待定值 满足的线性方程组， 因为其中含有三个弯矩值 ，故 称之为三弯矩方程。 若记： 则上式可简记为：

这就是待定值 满足的线性方程组， 因为其中含有三个弯矩值 ，故 称之为三弯矩方程。 三弯矩方程中共有 个未知数，但只 有 个方程，另外两个由边界条件得到。

对于第一种边界条件，即： 则有： 故有：

对于第二种边界条件，直接可得： 对于第三种边界条件，有： 故有：

对于第二种边界条件，直接可得： 对于第三种边界条件，有： 这样，有：

即： 令： 这样，有：

即： 令： 得：

把三种边界条件所得到的关系分别与 前面的方程联立，得到对应的线性方程组 如下： I:

II:

III:

把上面三个方程写成统一形式： 注意到 且 ，其中的系数矩阵 是三对角矩阵或仅比三对角矩阵多两个 元素的严格对角占优矩阵，因此各方程组 的解存在唯一，都可用追赶法求解，而且 是数值稳定的。把求出的弯矩值 代 入 的表达式，即得到三次样条插值多 项式：

三次样条插值函数的存在唯一性 如前所述：三类边界所对应的问题各自 归结到一个线性方程组，而各方程组的解 存在唯一，因此三次样条插值函数是存在 唯一的。

三弯矩算法 对于区间 的划分 ， 设已知函数 在插值节点的值 ， (1) 计算参数

(2) 计算与边界条件有关的参数 I: II: III:

(3) 求解与边界条件对应的三弯矩方程，得 到弯矩值 ； (4) 把 代入公式，得到三次样条插 值多项式 。

三次样条的收敛和误差估计定理 设 为问题I和问题II的插值 函数，令 称为分划比，则有估计式： 其中 是 范数， ，

三次样条的收敛和误差估计定理 设 为问题I和问题II的插值 函数，令 称为分划比，则有估计式： 其中 是 范数， ，

实例 设 给定边界条件 试求三次样条函数 解：先求出三弯矩方程的参数：

于是，三弯矩方程组为： 求出的解为：

代入 的分段表示式，得到：

三转角方程推导的提示 问题：求三次样条函数插值多项式 ， 使其满足： 1） 2） 在所有的内节点有二阶连续导数 问题：求三次样条函数插值多项式 ， 使其满足： 1） 2） 在所有的内节点有二阶连续导数 要求：结合三类边界条件，写出以 为待定参数的求解方法。 方法：利用埃尔米特插值公式，其中用到 的一阶导数现在未知，故将其作为 参数。

设 从而可得： 在 的表达式为：

由 的表达式可求得 ，进而求出 得出 及 ，由 在内节点连 续，可得 个方程，从而分别结合边界 条件，写出三转角方程。