第二章 第六节 对数与对数函数

对数的化简与求值 【例1】　求解下列各题： (1)计算：(lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25； (2)计算：(log32＋log92)×(log43＋log83)； (3)计算： (4)已知log23＝a,3b＝7.求 的值． 自主解答：

解析：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋ ＋1) lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝ (3)原式＝

(4)由题意可知3b＝7，∴log37＝b. 原式＝log＝ 点评：在对数运算中，要注意以下几个问题： (1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则和换底公式、对数恒等式进行运算． (2)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．

变式探究 1．(1)(2012·杭州西湖高级中学测试)化简： log3 ＋lg 25＋2lg 2＋eln 2＝________. (2)若2a＝5b＝10，则 ＝________. 解析：(1)log3 ＋lg 25＋2lg 2＋eln 2＝log33－ ＋2(lg 5 ＋lg 2)＋2＝－ ＋2＋2＝ . (2)由已知a＝log210，b＝log510，则 ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. 答案：(1) 　(2)1

对数函数的图象特征、单调性的运用 【例2】　若0<a<b<1，试确定logab，logba，log a，log b 的大小关系． 自主解答： 解析：∵0<a<b<1， 由对数函数的性质可知0<logab<1，logba>logbb＝1.

点评：(1)比较两个指数幂或对数值大小的方法： ①分清是底数相同还是指数(真数)相同； ②利用指数、对数函数的单调性或图象比较大小； ③当底数、指数(真数)均不相同时，可通过中间量过 度处理． (2)多个指数幂或对数值比较大小时，可对它们先进行 0,1分类，然后在每一类中比较大小．

变式探究 2．(2012·英德一中模拟)设a＝log23，b＝log43，c＝0.5，则 (　　) A．c<b<a　　　　　　 B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b 解析：a＝log23＝log49，c＝0.5＝log44 ＝log42，根据函数y＝log4x的单调性知a>b>c.故选A. 答案：A

求与对数函数有关的函数的定义域、值域 【例3】　求函数y＝log (1－x)(x＋3)的定义域与值域． 思路点拨：这是与对数函数有关的复合函数，可以利用对 数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，由对数函数的 定义域可得关于x的不等式，对于求形式较为复杂的函数的值域 则可以考虑利用换元法．

解析：由(1－x)(x＋3)>0得(x－1)(x＋3)<0， 所以y＝log (1－x)(x＋3)的定义域是{x|－3<x<1}． 设t＝(1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 由－3<x<1，得 0<t≤4. 所以y＝log t≥log 4＝－2，即函数y的值域为[－2，＋∞)．

点评：与对数函数有关的函数一般是复合函数或是 几个简单对数函数的代数和构成的函数，求这些函数的 定义域和值域，要充分利用对数函数的图象和性质寻找 解题方法．

变式探究 3．(1)函数y＝ 的定义域是(　　) A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1或1＜x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜1或1＜x≤2} (2)(2012·华南师大附中综合测试)函数y＝lg(x2＋3kx＋k2 ＋5)的值域为R，则k的取值范围是________．

解析：(1)由 得0＜x＜1或1＜x≤2.故选D. (2)若要函数的值域为R，则其真数f(x)＝x2＋3kx＋k2＋5必需取到所有正实数，故该二次三项式的判别式Δ＝9k2－4(k2＋5)≥0，即k2≥4，解得k≤－2或k≥2. 答案：(1)D　(2)(－∞，－2]∪[2，＋∞)

利用对数函数的单调性解决对数方程、不等 式问题 【例4】　解答下列问题： (1)设函数f(x)＝ 则满足f(x)≤2的x的取值范围是___． (2)方程log4(3x－1)＝log4(x－1)＋log4(3＋x)的根是______． 思路点拨：对于(1)，分x≤1和x＞1两种情况，分别解指 数不等式和对数不等式 对于(2)，对数方程去掉对数符号，转化为整式方程求解， 但要注意检验．

解析：(1)当x≤1时，由21－x≤2，知x≥0，即0≤x≤1 解析：(1)当x≤1时，由21－x≤2，知x≥0，即0≤x≤1.当x＞1时，由1－log2x≤2，知x≥ ，即x＞1，所以满足f( x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)． (2) log4(3x－1)＝log4(x－1)＋log4(3＋x)变形为log4(3x－1)＝log4[(x－1)(3＋x)]，即 3x－1＝x2＋2x－3， 所以x＝2 或x＝－1，经检验，x＝2. 答案：(1)[0，＋∞)　(2)2 点评：解对数方程要注意同解变形，所以验根是必不可 少的一个环节．

变式探究 4．(1)已知函数f(x)＝|lg x|.若f(a)＝f(b)且a≠b，则a＋b 的取值范围是________． (2)方程 lg(4x＋ 2)＝lg 2x＋lg 3的解是________． 解析：(1)∵函数f(x)＝|lg x|，f(a)＝f(b)且a≠b， ∴lg b＝－lg a，ab＝1.∴a＋b＞2 ＝2. (2)由lg(4x＋2)＝lg 2x＋lg 3得4x＋2＝3×2x. ∴(2x)2－3×2x＋2＝0. ∴2x＝1或2x＝2. ∴x＝0或x＝1. 答案：(1)(2，＋∞)　(2)x＝0或x＝1

对数函数的综合应用 【例5】　设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0. (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立(注：e 为自然对数的底数)． 解析：(1)因为f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0， 所以f′(x)＝ －2x＋a＝－ .

由于a>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)． (2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e， 由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立， 只要 解得a＝e.

点评：利用单调性可以解决与对数函数有关的值域 问题．对数函数本身是非奇非偶函数，但是与对数函数 有关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用 相关的概念和性质解决问题．

变式探究 5．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)． (1)求f(log2x)的最小值及对应的x值； (2)x取何值时，f(log2x)＞f(1)，且log2f(x)＜f(1)． 解析：(1)∵f(x)＝x2－x＋b， ∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b， 由已知(log2a)2－log2a＋b＝b， ∴log2a(log2a－1)＝0.

∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2. 又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2. 故f(x)＝x2－x＋2. 从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝ 2＋ . ∴当log2x＝ ，即x＝ 时，f(log2x)有最小值 . (2)由题意 ⇒ ⇒0＜x＜1.