第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量 第五节 两个随机变量的函数的分布

§1 二维随机变量 二维随机变量： n维随机变量： 设E是一个随机试验, 样本空间S={e}. 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量, 向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量. n维随机变量： 设随机试验E的样本空间S={e}. X1, X2, … ,Xn是定义在S上的n个随机变量, 则称向量 (X1, X2, … ,Xn )为n维随机变量（向量）. [注]二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X 和Y有关,且 还依赖于两者的相互关系.

分布函数(联合分布函数) 定义 设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数. x y O x O x1 y2 x2 y1 y (x,y)

分布函数F(x,y)的性质: 1) F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数,即 对任意固定的y, 当x2 >x1时,有F(x2, y) F(x1 ,y); 对任意固定的x ,当y2 > y1时,有F(x, y2) F(x ,y1). 2) 0 F(x,y)  1,且 F(-, y)=0, F(x, -)=0, F(-,-)=0, F(+,+)=1 . 3) F(x,y)关于 x右连续, 关于 y右连续, 4) 对于任意x1 <x2 , y1 < y2 ,有 F(x2, y2)-F(x2, y1)+ F(x1,y1)-F(x1,y2)0

二维离散型随机变量 (X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对. 二维离散(X,Y)的分布律(联合分布律): (X,Y)的所有可能取值(xi , yj ), i, j=1, 2…, 满足 Y X 分布函数

例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律. 解: X=i, i=1,2,3,4, Y=j, ji. 1 2 3 4 1 2 3 4 Y X 25/48 13/48 7/48 1/16 1/4 1 1/4 0 0 0 1/8 1/8 0 0 1/12 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/16 1/16 返回

二维连续型随机变量 定义 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y), 若存在一个非负函数f (x, y)，使得对任意x, y ，有 则称(X,Y)为二维连续型随机变量， f (x,y)称为(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度． 性 质

例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (1) 确定常数C; (2) 求概率P{X+Y 1}; (3)求F(x,y)． O x y x+y=1 x+y1 解 (1) D 1

v (3) u v=u 当x<0 或 y<0 时, F(x,y) = 0 当x y<1, 0 x<1 时， u (x,y) 当x >y, 0  y < 1时， 当y  1, 0  x <1时， 当 x  1, y  1 时，

(3) 0, 当x<0 或 y<0 时, 当x y<1, 0 x<1 时， F (x,y) = 当x >y, 0  y < 1时， 当y  1, 0  x <1时， 1, 当 x  1, y  1 时，

概念的推广： 设E是一随机试验，S是其样本空间，X1,X2,...Xn是定义S在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn )为定义在S上的n维随机向量或n维随机变量． 对个任意实数x1,x2,…xn ，令 称为n维随机变量(X1,X2,...Xn )的分布函数． 类似可以定义离散型及连续型n维随机变量的分布律及概率密度，它们都具有类似于二维时的性质．

§2 边缘分布 一、边缘分布函数 定义1 设(X,Y)为二维随机变量，其分布函为F(x,y) (X,Y)关于X的边缘分布函数 (X,Y)关于Y的边缘分布函数 [注] 边缘分布函数可以由X与Y的联合分布函F(x,y)唯 一确定:

二 、 离散型随机变量的边缘分布律 若(X,Y)分布律为 (X,Y)关于X的边缘分布律 (X,Y)关于Y的边缘分布律

离散型随机变量的边缘分布律列表 Y X 1 例1

例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律. 解: X=i, i=1,2,3,4, Y=j, ji. 1 2 3 4 1 2 3 4 Y X 25/48 13/48 7/48 1/16 1/4 1 1/4 0 0 0 1/8 1/8 0 0 1/12 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/16 1/16

三、 连续型随机变量的边缘概率密度 设(X,Y) 概率密度为f (x, y)，则 由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为 三、 连续型随机变量的边缘概率密度 设(X,Y) 概率密度为f (x, y)，则 由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为 同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为 分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度．

二维常见分布 均匀分布：设G为一面积为A平面有界区域，若 (X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在域G上服从均匀分布．

例2 设(X,Y)在域 G: x2+y2r2, y0 上服从均匀分布，求其边缘概率密度． 解 r -r o x r x

y r -r -r o o r x r x

§4.3 条件分布 离散型随机变量的条件分布 定义1 设(X,Y)是二维随机变量，其分布律为 对固定i , 若 §4.3 条件分布 离散型随机变量的条件分布 定义1 设(X,Y)是二维随机变量，其分布律为 对固定i , 若 -------在条件X=xi 下,随机变量Y的条件分布律． 对固定 j, 若 ------在条件 Y=yj 下,随机变量X的条件分布律.

解 据题意(X,Y)的所有可能取值为(i, j), i, j=0,1,2 例1 将两封信随机往编号为1,2,3的三个信箱内投.以X表示第一个信箱内信的数目，Y表示第二个信箱内信的数目，求X和Y的联合分布律及条件分布律． 0 1 2 Y X 条件分布律用表格表示: 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 0 1/9 0 0 1 2 4/9 4/9 1/9 4/9 1/9 i 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2 0 1 0 0 P{X=i|Y=0} P{X=i|Y=1} P{X=i|Y=2} 同理可求P{Y=j|X=i} i, j=0,1,2 解 据题意(X,Y)的所有可能取值为(i, j), i, j=0,1,2

连续型随机变量的条件分布 定义２ 给定y，设对于任意的 >0， 若对于任意实数x，极限 存在，则称此极限值为在条件Y=y下随机变量X的 条件分布函数,记为 或 类似可定义 .

连续型随机变量的条件分布 定义2 设(X,Y)的概率密度f(x, y) , (X,Y)关于Y的边缘 概率密度为 fY(y). 若对固定的y, fy(y)>0, 则称 为在Y= y的条件下X的条件概率密度； 条件分布函数 若对固定的x, fX(x)>0, 则称 为在X= x,的条件下Y的条件概率密度. 推导

例2 设(X,Y)的联合概率密度如下， 求条件概率密度. 解 y 1 x O 对于任意给定的值x (0<x<1),在X=x条件下,有

对于y (0<y<1), 在Y=y条件下,有 O 特别：在Y=y=1/2条件下,有

§4 相互独立的随机变量 X与Y相互独立的条件等价于: §4 相互独立的随机变量 定义１ 设F(x, y),FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数．若对所有x, y ，有 则称随机变量X与Y是相互独立的. X与Y相互独立的条件等价于: (连续型) (离散型)

两个重要结论： 例1 设X，Y 相互独立，将其余数值填入表中空白处。 Y y1 y2 y3 pi. X x1 x2 1/8 1/24 1/12 1/4 3/8 1/4 3/4 p.j 1/6 1 1/2 1/3 两个重要结论： 二维正态随机变量 X与Y相互独立 定理 设随机变量X与Y相互独立,令 其中 为连续函数，则U与V也相互独立．

例2 学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在7~9时,设两人到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相差不超过5分钟的概率. 解 设X，Y分别表示甲，乙到达教室的时刻, 则 图 由于X与Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为

G1 x o y 7 9 G

推广: 设(X1, X2 , …, Xn)的分布函数为F(X1, X2 , …, Xn), 若对任意实数 ，均有 若对任意实数 ，均有 则称 X1, X2 , …, Xn相互独立. 若对任意实数 x1,x2 , …,xm ; y1,y2 , …,yn均有 F(x1,…,xm , y1,…,yn)=F1 (x1,…,xm )F2(y1,…,yn) 则称 X1, X2 , …,Xn与Y1, Y2 , …, Yn相互独立. 定理 设(X1,X2,…,Xm)与(Y1,Y2,…,Yn) 相互独立, 则 Xi(i=1,2,…, m)与Yj (j=1,2,…, n)相互独立. 又若 h, g为 连续函数, 则h(X1,X2 ,…,Xm)与g(Y1,Y2 ,…,Yn)相互独立.

§5 二维随机变量的函数的分布 离散型随机变量的函数的分布 Y §5 二维随机变量的函数的分布 离散型随机变量的函数的分布 Y 例1 设(X,Y)的分布律为 求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY 的分布律. 0 1 2 X -1 2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 解 (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2) (X,Y) -1 0 1 2 3 4 Z=X+Y Z=XY 0 -1 -2 0 2 4 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 Z=XY -1 -2 0 2 4 0.3 0.1 0.3 0.1 0.2

连续型随机变量的函数的分布 设(X,Y)的概率密度为f (x, y), 求Z=g(X,Y)的分布. 一般方法：分布函数法

一、 Z=X+Y 的分布 设(X,Y)的概率密度为f (x, y), Z=X+Y的分布函数为 y x o x+y =z G

Z=X+Y 的概率密度: 当X,Y 相互独立时, 卷积公式

例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设 R1, R2相互独立，它们的概率密度均为 x z z=x+10 求总电阻R=R1+R2的概率密度. 20 z=x 解 10 即 10

三、最大值、最小值的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函 数分别为FX(x),FY(y). 求 M=max{X,Y}及 N=min{X,Y} 的分布函数. 对任意实数z,

推广： 设X1,…,Xn相互独立,其分布函数分别为 ,则 M=max{X1,X2,…,Xn} 的分布函数为 N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数为 特别, 当X1,…,Xn相互独立且有相同分布函数F(x)时，有

例5 设系统L由两个相互独立的子系统L组成,其寿命分别为X, Y． 其概率密度分别为 其中>0,>0,. 试求联接方式为： (1) 串联，(2) 并联,(3)备用时系统L的寿命Z的概率密度． 解 (1)串联系统：此时有 Z=min{X,Y} L2 X Y L1

L2 X Y L1 （2）并联系统： 此时有 Z=max{X, Y} (3)备用系统： 此时有 Z=X+Y L2 X Y L1

课后作业 习题 2、9、15、20、22、23