第四节 随机变量函数的概率分布 X 是分布已知的随机变量，g ( · ) 是一个已知 的连续函数，如何求随机变量 Y =g(X ) 的分布？ 第四节 随机变量函数的概率分布 X 是分布已知的随机变量，g ( · ) 是一个已知 的连续函数，如何求随机变量 Y =g(X ) 的分布？ 比较常见的一些函数 y = g(x) 的形式是 线性函数 y = a + bx、幂函数 y = xk (特别 k = 2 )、 指数函数 y = e x、对数函数 y = ln x 等等； 概率论中的很多重要的分布都是通过一些 简单的分布变换得出来的。

则 Y = g(X) 也是一个离散随机变量，相应分布律是 P { Y = g(xk ) } = pk , k ≥ 1 。 一. 离散随机变量函数的概率分布 如果离散随机变量 X 具有分布律： P { X = xk } = pk , k ≥ 1 ； 则 Y = g(X) 也是一个离散随机变量，相应分布律是 P { Y = g(xk ) } = pk , k ≥ 1 。 需要把可能重合的一些 g (xk ) 的概率相加 思考1 X ~ B (1,p) ，则 Y = X2 服从什么分布？

例2.5.1 已知随机变量 X 具有如下的分布律， X – 1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 计算 Y = (X – 1)2 的概率分布。 解. (X – 1)2 4 1 0 1 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 整理后立刻得到 Y 的分布律， Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2 □

例2.5.2 (报童问题) 假定报童有 5 份报纸，卖出的数量 X 分布律如下 k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 他每卖掉一份报纸将获得报酬 1 元，没有卖出 而剩下的每份赔偿 0.5 元。计算最终所得的分布。 解. 以 Y 记报童最终的所得，因此有 Y = 1×X – 0.5×( 5 – X) = 1.5 X – 2.5

X 的分布律 k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 Y = 1.5 X – 2.5 的分布律 k – 2.5 –1 0.5 2 3.5 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 □

三、连续型随机变量函数的分布 例2 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. 解：设Y的分布函数为 FY(y)， FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) 于是Y 的密度函数

Y=2X+8 注意到 0 < x < 4 时， 即 8 < y < 16 时， 此时 故

例3 设 X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度. 解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ， 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 当 y>0 时, 求导可得

若 则 Y=X2 的概率密度为：

定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 或恒有 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为 x=h(y)是y=g(x)的反函数 其中， 此定理的证明与前面的解题思路类似.

下面我们用这个定理来解一个例题 .

例6 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度. 解： 在区间(0,1)上,函数lnx<0, 故 y=-2lnx>0, 于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数 注意取 绝对值 由前述定理得

已知X在(0,1)上服从均匀分布， 代入 的表达式中 得 即Y服从参数为1/2的指数分布.

正态分布的线性变换仍然服从正态分布 如果 X ~ N (, 2 ) ，常数 b ≠ 0 ，则有 Y = a + bX ~ N ( a + b , b2 2 ) 一般正态分布与标准正态分布的相互转化 (1) 如果 X ~ N (, 2 ) ，  Y = ——— ~ N (0,1) ； X –   (2) 如果 X ~ N ( 0,1 ) ，  Y =  +  X ~ N (, 2 )

练习2.5.3 X ~ U (0,1) ，那么 Y = 1 – X 服从什么分布？一般地，均匀分布的线性变换是否仍是均匀分布？ 随机变量平方的密度函数公式 如果随机变量 X 具有密度函数 pX (x) ， 则Y = X2 的密度函数具有如下形式： N2(0,1)的密度